初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑿

1212500初一數(shù)學(xué)賽講座第抽屜原理把5個(gè)蘋(píng)果放到4個(gè)抽屜中必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋(píng)果這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：第一抽原理：把（＋）個(gè)物放入n個(gè)抽，其中有一個(gè)抽屜至少有（＋1個(gè)物體使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類(lèi)、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。例11，2，3，?這100個(gè)數(shù)中任意挑出個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；（2）有2個(gè)數(shù)的差為；（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。證明：（1）將個(gè)數(shù)分成50組：{1，2}，{3，4}，?，100}。在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2數(shù)屬于同一組，這一組中的2數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。（2）將100個(gè)數(shù)分成組：{1，51}，{2，，?，100}。在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，?；第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，?；第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，?；第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，?；第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，?。第五組中有22個(gè)數(shù)選出的51個(gè)數(shù)至少有個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1。例2求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然，它是1996的倍數(shù)。證明：因1996÷＝499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。得到500個(gè)余數(shù)rr?由于余數(shù)只能取012，?這499個(gè)值所以根據(jù)抽屜原理必有個(gè)余數(shù)是相同的這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)這個(gè)差的前若干位是1后若干位是0??和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。1

1991233341991233343566676899例3在一個(gè)禮堂中有99學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其中的66人識(shí)那么可能出現(xiàn)這種情況他們中的任何4人中都一定有2人不相（假定相識(shí)是互相的）。分析：注意到題中的說(shuō)法“可能出現(xiàn)?”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果而僅僅是一種可能性因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可。解：將禮堂中的人記為a，，?，將99人分為3組：（a，，?），（a，a，?），（a，a，?），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的人只在B，中，同時(shí)，B，C的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66也只在A，和，B。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情況就可能出現(xiàn)。因?yàn)槎Y堂中任意4人可看做4個(gè)蘋(píng)果，放入，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜即必有2人來(lái)自同一組那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2中因此他們兩人不相識(shí)。例4如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，，?的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上開(kāi)始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。分析此題中沒(méi)有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋(píng)果的數(shù)量關(guān)系需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度。解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋(píng)果，再需構(gòu)造出少于個(gè)抽屜。注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面而最初的8對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8個(gè)蘋(píng)果至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。例5有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤(pán)的車(chē)間，由于工藝上的原因，只能控制盤(pán)的重量在指定的20克到20.1克之間在需要重量相差不超過(guò)克的兩只鐵盤(pán)來(lái)裝配一架天平問(wèn)最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤(pán)子才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤(pán)子？解：把20～20.1克之間的盤(pán)子依重量分成20組：第1組：從20.000克到20.005克；第2組：從20.005克到20.010克；??第20組：從20.095克到20.100克。這樣，只要有21個(gè)盤(pán)子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤(pán)子屬于同一組，這2個(gè)盤(pán)子就符合要求。2

例在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19籌碼，為什么？分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋(píng)果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋(píng)果”之間有19個(gè)籌碼。解：依順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼1，2，?然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：（1，21，41，，81）；（2，22，42，，82）；??（20，40，60，，100）。將41個(gè)紅籌碼看做蘋(píng)果，放入以上20個(gè)抽屜中，因41=2×20＋1，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3個(gè)）蘋(píng)果，也就是說(shuō)必有一5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容——第二抽屜原理中說(shuō)明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有個(gè)籌碼。下面我們來(lái)考慮另外一種情況若把個(gè)蘋(píng)果放到6個(gè)抽屜中則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：第二抽原理：把（mn-1）物體放n個(gè)抽，其中有一個(gè)抽屜至多有（個(gè)物體例在例6留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有個(gè)相鄰。分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：如右圖，將同色3個(gè)籌碼ABC置于圓周上，看是否能用另2個(gè)籌碼將其隔開(kāi)。解如圖將同色的個(gè)籌碼放置在圓周上將每個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜將其余2個(gè)籌碼看做蘋(píng)果將個(gè)蘋(píng)果放入3個(gè)抽屜中則必有1個(gè)抽屜中沒(méi)有蘋(píng)果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒(méi)有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。例8甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問(wèn)：甲是否一定能將某一面的條棱全部涂上紅色？解：不能。如右圖將12條棱分成四組：3

11233422344112334223441334112441223112n12000122000123234199819992000199920001200012122000第一組：{AB，B，A，第二組：{AB，B，A，第三組：{AB，B，A，第四組：{AB，B，A。無(wú)論甲第一次將哪3條棱涂紅抽屜原理知四組中必有一組的條棱全未涂紅乙只要將這組中的3條棱涂綠就無(wú)法將某一面的條棱全部涂紅了。下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形——平均值原理。我們知道n個(gè)數(shù)a，a，?的和與的商是aa，?這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值理：如果n數(shù)的平均值，那其中至有一個(gè)數(shù)不于a，也至少有一不小于a例9圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，?每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是，，?，則其和a＋+?=0+1+2+?+1999=1999000下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：（a＋＋a）+（＋＋＋?+a＋a）＋（a＋a＋a）＋（a＋a＋=3（a＋＋?）＝3×1999000。這2000組和中必至少有一組和大于或等于但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于。例一家旅館有90個(gè)房間，住100名旅客，如果每次都恰90名旅客同時(shí)回來(lái)那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這名旅客才能使得每次客人回來(lái)時(shí)每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開(kāi)一個(gè)房門(mén)住進(jìn)去并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開(kāi)，因此90個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)。另一方面990把鑰匙已經(jīng)足夠了只要將90把不同的鑰匙分給個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。最后我們要指出解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。例設(shè)有4×28的方格棋盤(pán)，將每一格上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。4

證明我們先考察第一行中個(gè)小方格涂色情況用三種顏色涂個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面?zhèn)€小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形。（2）這三行中每一行前面10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。我們先考慮這個(gè)×7長(zhǎng)方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第至4列。再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色。（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況用藍(lán)黃兩色涂3個(gè)小方格由抽屜原理知至少有2個(gè)方格是同色的無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形?？傊?，對(duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。例試卷上共有4道選擇題，每題3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任3人，都有一道題目的答案互不相同。問(wèn)：參加考試的學(xué)生最多有多少人？解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為，b，c。（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為abc的三組學(xué)生中必有一組不超過(guò)人去掉這組學(xué)生在余下的學(xué)生中，定7人對(duì)第一題的答案只有兩種7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能對(duì)于這5關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知必可選出3人他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種于是對(duì)于這3人來(lái)說(shuō)沒(méi)有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?jiàn)，所求的最多人數(shù)不超過(guò)人。另一方面若9個(gè)人的答案如下表所示則每3人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同。5

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)121.（1班有名學(xué)生數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績(jī)除3人外均在86分以上后就說(shuō)：“我可以斷定，本班同學(xué)至少4人成績(jī)相同?！闭?qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？2.現(xiàn)有64只乒乓球，個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6乒乓球，至少有幾個(gè)乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？3.某校初二年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)且都不大于厘米不小于150厘米。問(wèn)：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有個(gè)人身高相同？4.從1，2，?這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：（1）有兩個(gè)數(shù)的和為；（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是的倍數(shù)。5.在3×7的方格表中，有個(gè)白格，證明（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4中每列都恰有兩個(gè)白格；（2）只有一個(gè)白格的列只有列。6.某個(gè)委員會(huì)開(kāi)了次會(huì)議每次會(huì)議有10人出席已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開(kāi)兩次或更多的會(huì)議委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？7.一個(gè)車(chē)間有一條生產(chǎn)流水線，由臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開(kāi)動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作共有8個(gè)工人在這條流水線上工作一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場(chǎng)為了保證生產(chǎn)要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱(chēng)為一輪問(wèn)最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？8.有9名數(shù)學(xué)家每人至多能講種語(yǔ)言每3人中至少有2人能通話求證：在這9名中至少有3名用同一種語(yǔ)言通話。練習(xí)13答案1.對(duì)。解：因?yàn)?9-3=3×（）+1，即46=3×也就是說(shuō)，把從100至分的個(gè)數(shù)當(dāng)做抽屜，（人）的成績(jī)當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績(jī)相同。2.4個(gè)。解18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分份，每份有÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1、2、3只、4只、5只6乒6

513513121235123513乓球，即個(gè)盒子中放了只乒乓球，3個(gè)盒中放了只乒乓球??個(gè)盒子中放了6乒乓球。這樣，個(gè)盒子中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。把以上6不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子（除已放滿6只乒乓球的抽屜外都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1抽屜中的3個(gè)子里的乒乓球數(shù)相等如剩下1乒乓球放進(jìn)原來(lái)2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來(lái)裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有個(gè)盒子里裝有3乒乓球。所以至少有個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。3.34個(gè)。解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜（個(gè)）。根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生3×個(gè)）。4.證：（1）將100數(shù)分成50：｛1，100，｛2，99，?50，。在選出的51數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。（2）將個(gè)數(shù)分成10：｛,｛3,6,12,24,48,96｝,｛,｛7,14,28,56｝｛9,18,36,72｝｛11,22,44,88,｛13,26,52,｛｝,?｛｝｛其余數(shù)｝。其中第10組中有個(gè)數(shù)。在選出的51數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中還有10數(shù)從前9組中選必有兩數(shù)屬于同一組這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。（3）將選出的個(gè)數(shù)排成一列：aaa??？紤]下面的51個(gè)和：aa，a+a+a，?a+a+a+?。若這51個(gè)和中有一個(gè)是的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這個(gè)和中沒(méi)有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以，余數(shù)只能是1，2，?中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是51個(gè)數(shù)（aaa?）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。5.證：（1）在其余列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3中，將3表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5蘋(píng)果，根據(jù)第二抽屜原理，5（×）個(gè)蘋(píng)果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋(píng)果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原來(lái)3列只含一個(gè)白格外還有列含1白格，這與題設(shè)只1白格的列只有列矛盾。所以不會(huì)有1有3個(gè)白格然也不能再有1列只有1白格知其余列每列恰好有個(gè)白格。（2）假設(shè)只含白格的列有列，那么剩下的9個(gè)白格要放入列中，而9=2×，由第二抽屜原理知，必1至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3。7

191291213191191291213191231111111314136.能。解