正交陣實對稱陣的正交化標準形及在歷年考碩試卷中的相模板

資料內容僅供您學習參考，如有不當或者侵權，請聯(lián)系改正或者刪除。正交陣實對稱陣的正交化標準形及在歷年考碩試卷中的相關題型分析摘要:實對稱陣的正交化標準形涉及正交陣,施密特正交變換以及矩陣的特征值,特征向量和對角形等方面的知識點,在矩陣函數(shù)的學習內容中占據(jù)著極其重要的基礎地位,是我們全面掌握矩陣與二次型函數(shù)相關內容的關鍵環(huán)節(jié)。關鍵詞:實對稱陣正交陣標準形對角陣正交化定義1.,若,則稱A為正交陣.正交陣的等價定義還有:即同一行的乘積之和等于1,不同行的乘積之和等于0。定理1若A為正交陣,則︱A︱=1或-1引理1正交陣的特征值的模為1,如果有實特征值B能是1,以上定理及引理證明顯然,我們不給出證明過程。定義2正交矩陣A能夠對角化,即存在復可逆矩陣T,使,其中為A的全部特征值,即下面我們給出史密特(shmidt)正交化的概念設正交化。令,單位化。令若令,則為正交矩陣引理2設A是實對稱陣,則A的特征值皆為實數(shù)證明:設是A的特征值,于是有非零向量滿足令其中是的共軛復數(shù),則考察等式其左邊為,右邊為。故有又因是非零向量。故。即是一個實數(shù)引理3設A是實對稱矩陣,的定義如下:為n維歐氏空間上的一個線性變換,則對或證明:只要證明后一個等式就行了,實際上引理4設是對稱變換,是一子空間,則也是的一子空間證明:設即,,也是的一子空間引理5設A是實對稱陣,則中屬于A的不同特征值的特征向量必正交證明:設是A的不同的兩個特征值,分別是屬于的特征向量:定義線性變換如(1),于是,,有因為,因此=0,因此正交定理2對于任意的一個n級實對稱陣A,都存在一個n級正交矩陣T,使對三角形。證明:由于實對稱矩陣和對稱變換的關系,只要證明任意的n維歐氏空間中對稱變換有n個特征向量做成標準正交基就行了。我們對空間的維數(shù)n作歸納法當n=1顯然定理的結論成立。設n-1的定理的結論成立,對n維歐氏空間v,線性變換有一特征向量,其特征值為實數(shù),把單位化,還用代表它,作L()的正交補,設為v1,由引理4,v1是的不變子空間,其維數(shù)為n-1,又,顯然也滿足(2),仍是對稱變換,據(jù)歸納假設,有n-1個特征向量作為v1的標準正交基,從而是v的標準正交基,又是的n個特征向量,定理得證。對于正交陣,實對稱陣在考研試卷中的頻繁考察,是一個十分普遍的現(xiàn)象,主要的考察類型有多個角度,下面我將比較類型的幾種形式:Eg1(華中師范大學)設A=是正交陣,求a,b,c,d,e解:由A的第一行,第二列和第三行得解得再由A的第1列和第3列得當a=時,由A的每1,2列正交得無論bc正負號怎么取都不能使1式成立∴a=-當a=-時,由A的第1,3行正交當b=時,由第1,2行正交,可得由第2,3行正交可得d=當b=時,仿上可求得c=綜上知(a,b,c,d,e)=或(a,b,c,d,e)=Eg2(山東工業(yè)大學)設A是奇數(shù)階的正交陣,︱A︱=1,證明:A有特征值1。證:Eg3(武漢大學,1997)求正交變換,即求正交矩陣T,使得變換,化二次型為標準型(即平方和)。解:(1)寫出此二次型的矩陣A=(2)求出A的特征值(3)求出相應的特征向量當時,由,即解齊次線性方程組解得基礎解系(即為特征向量)當時,由,即解方程組解得基礎解系(即為特征向量)當時,由,即解方程組解得基礎解系(即為特征向量)(4)正交單位化由于已經正交,只需單位化即可,令令,則T為正交陣。(5)作正交變換化標準形令正交變換那么Eg4(新疆工學院)A=a,b,c滿足什么條件時,矩陣的秩為3a,b,c為何值時,A為對稱陣取一值a,b,c,使A為正交陣解:(1)(2)設(3)設A為正交陣,由A的第3行,第3列,第1列得再由第1,3列有因此a,b,c不能同時為正,那么當時,A是正交陣。當時,A是正交陣當時,A是正交陣當時,A是正交陣Eg5(中國科學院)求證:不存在正交陣A,B,使A2=AB+B2證:(反證法)若存在n階正交陣A,B,使A2=AB+B2………1那么,由1式有…………2…………3由于A,B是正交陣,從而A2,B-1也是正交陣,她們的積A2B-1也是正交陣,此即A+B是正交陣,類似的由可證A-B是正交陣…………4…………54+5得矛盾,即證結論Eg6(武漢大學,,上海交通大學)設A為n階實方陣,證法1:證法2:因而A的特征值分三類1,-1,或由于是實系數(shù)多項式,其復根成對,即若有,必有,從而又由于因此A的特征值不可能只全是1和,必有-1作為特征值,從而Eg7(南京大學)設是一個實二次開型,是A的特征多項式的解,且,證明:對任一,有.證:存在正交陣T,使那么作正交陣變換,使…………1但...…………2但……………3將3代入2以上是我在考研期間總結出的幾種較常見的類型題,當然,關于正交陣和實對稱陣的題目種類還是很多的,但有許多都是相似的內容,可見其重要地位在矩陣論中不容忽視,其基礎地位的重要性希望能引起大家足夠的重視。這也是我寫這篇文章的目的。其中的不足希望楊教授給予糾正。參考文獻:《矩陣理論》,電子科技大