2021屆黑龍江省齊齊哈爾市高三三模考試數(shù)學(文)試題(解析版)

2021屆黑龍江省齊齊哈爾市高三三?？荚嚁?shù)學（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得集合，結(jié)合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，因為，所以．故選:D.2．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)為，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限．故選：C.3．在中國古建筑中，為了保持木構(gòu)件之間接榫（“榫”，即指木質(zhì)構(gòu)件利用凹凸方式相連接的部分）的地方不活動，需要將楔子捶打到榫子縫里.如圖是一個楔子的三視圖，則這個楔子的體積是（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，可得為直三棱柱，然后計算得到體積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖還原幾何體，其直觀圖如圖所示，可以看做一個底面為直角三角形的直棱柱，V=，

故選：A.【點睛】本題考查由幾何體的三視圖求體積問題，涉及由三視圖還原幾何體，棱柱的體積公式，考查空間想象能力和計算能力，屬基礎(chǔ)題.4．下列說法正確的是（）A．“，”的否定為“，”B．“”是“”的必要條件C．若，則的逆命題為真命題D．若“”是“”的充分條件，則【答案】C【分析】根據(jù)命題的否定，四種命題以及命題的充分必要性逐一進行判斷.【詳解】對于A，，的否定為，，故A錯誤；對于B，“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯誤；對于C，若，則的逆命題為若，則，因為時，所以成立，故C正確；對于D，由得，若是的充分條件，則，故D錯誤，故選：C.5．若實數(shù)x，y滿足不等式組，目標函數(shù)的最大值為2，則實數(shù)a的值是（）A． B．2 C．1 D．6【答案】B【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由圖可知：要使目標函數(shù)的最大值為，則在點取得；根據(jù)題中的不等式組正確畫出其表示的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵.【詳解】如下圖：易得當時，不等式組表示的平面區(qū)域存在，是以，，為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當目標函數(shù)經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)點時，取得最大值，解得，故選：B【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷，執(zhí)行條件可得選項.【詳解】初始條件：，判斷，所以，；時，判斷，；時，判斷，；時，判斷，；時，，判斷不滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：A．7．已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)求解不等式.【詳解】由題意，得在上是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又，則，所以，所以，即的取值范圍是.故選：C.8．已知，，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出的值，由此可計算得出向量在方向上的投影.【詳解】因為，所以，，則，因此，向量在方向上的投影為.故選：D．9．碳測年法是由美國科學家馬丁·卡門與同事塞繆爾·魯賓于年發(fā)現(xiàn)的一種測定含碳物質(zhì)年齡的方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律（表示的是放射性元素在生物體中最初的含量與經(jīng)過時間后的含量間的關(guān)系，其中（為半衰期）．已知碳的半衰期為年，，經(jīng)測量某地出土的生物化石中碳含量為，據(jù)此推測該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）（）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】C【分析】利用取對數(shù)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進行求解即可.【詳解】由題意知：，把數(shù)據(jù)代入得：故選：C．【點睛】方法點睛：指數(shù)方程可以通過取對數(shù)進行求解.10．已知是橢圓：的左焦點，經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點，根據(jù)正弦定理即可求得和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)橢圓的右焦點，連接，，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，∴橢圓的離心率，故選：A．【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，其中涉及到橢圓的定義以及余弦定理，對學生的分析與計算能力要求較高，難度較難.11．在中，，，，點、分別在邊，上，點、在上，且四邊形為矩形(如圖所示)，當矩形的面積最大時，在內(nèi)任取一點，該點取自矩形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可求得，然后表示出矩形的面積，求出其最大值即可得答案.【詳解】由題意知：，邊上的高為設(shè)，，因為，所以，所以，所以矩形的面積為(當且僅當，即時等號成立)，又的面積為6，故所求的概率為.故選：A12．已知三棱柱的所有頂點都在球O的表面上，側(cè)棱底面，底面是正三角形，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先得到是與底面所成的角，再通過三棱柱的體積得到三棱柱的底面等邊三角形的邊長，最后通過球的半徑，球心到底面距離，底面外接圓半徑的關(guān)系計算．【詳解】因為側(cè)棱底面，則是與底面所成的角，則．故由，得．設(shè)，則，解得．所以球的半徑，所以球的表面積．故選：A．【點睛】解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的．二、填空題13．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則等于_______．【答案】【分析】在中，由正弦定理求得，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】因為中，，，，由正弦定理，可得，所以，因為，所以，所以，可得．故答案為：14．已知平行于軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，若為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得為等腰直角三角形，得到其中一條漸近線的傾斜角為，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，平行于軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，可得為等腰直角三角形，所以，所以其中一條漸近線的傾斜角為，所以，所以，所以，又由，即，所以，所以．故答案為：.15．某校高二20名學生學業(yè)水平考試的數(shù)學成績?nèi)缦卤恚簩W生編號成績學生編號成績學生編號成績學生編號成績18068011711670288785127817683808691379189048198314831963573107615652076用系統(tǒng)抽樣法從這20名學生學業(yè)水平考試的數(shù)學成績中抽取容量為5的樣本，若在第一分段里用隨機抽樣抽取的成績?yōu)?8，則這個樣本中最小的成績是___________.【答案】76【分析】根據(jù)總體容量和樣本容量求得間隔，再根據(jù)第一組的成績?yōu)?8，編號為2求解.【詳解】因為總體容量是20，樣本容量是5，所以間隔為4，又因為第一組的成績?yōu)?8，它在本組中的編號為2，所以抽取的5個成績的編號分別為2，6，10，14，18，成績分別為88，80，76，83，90，故所抽樣本中最小的成績?yōu)?6.故答案為：7616．已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，恒有，則______.【答案】【分析】對函數(shù)利用倍角公式化簡，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分析函數(shù)的最大、最小值，進而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】對任意實數(shù)，恒有，則為最小值，為最大值.因為，而，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值.所以.所以.所以.故答案為：【點睛】本題考查了三角恒等變換和二次函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.三、解答題17．已知某體育學校有學生人，其中男生人，女生人．現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取了名學生，并記錄他們每天的平均跑步時間（單位：min）得到如下頻率分布表：每天平均跑步時間/min頻數(shù)頻率合計（1）根據(jù)頻率分布表，求實數(shù)，，的值，完成如圖所示的頻率分布直方圖；（2）若在被抽取的名學生中有名男生每天的平均跑步時間不低于，完成下列列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過的情況下，認為該學?！皩W生每天的平均跑步時間不低于”與“性別”有關(guān)？男生/女生總計每天平均跑步時間低于每天平均跑步時間不低于總計注：，【答案】（1）；；；作圖見解析；（2）填表見解析；能．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)算出答案即可；（2）補充完列聯(lián)表，算出即可.【詳解】（1）頻率分布直方圖如圖：（2）列聯(lián)表：男生/女生總計每天平均跑步時間低于每天平均跑步時間不低于總計所以又因為所以能在犯錯誤的概率不超過的情況下認為該?！皩W生每天的平均跑步時間不低于”與“性別”有關(guān)．18．已知是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，且，.（1）求q；（2）設(shè)是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為，當時，試比較與的大小.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）先判斷公比是否為，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式以及的值求解出的值；（2）根據(jù)條件先求解出的通項公式，然后求解出，然后采用作差法比較與的大小關(guān)系.【詳解】解：（1）當時，若，則應(yīng)有，這與矛盾，故．由，相除得，解得．（2）由題意知，，當時，．所以當時，；當時，；當時，．【點睛】方法點睛：常見的比較大小的方法：（1）作差法：作差與作比較；（2）作商法：作商與作比較（注意正負）；（3）函數(shù)單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小；（4）中間值法：取中間值進行大小比較.19．如圖.在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在.說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）在中，易證，再根據(jù)，利用線面垂直的判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）取的中點，連接，，在平面內(nèi)過點作，易得平面，然后再根據(jù)為的重心，由求解.【詳解】（1）設(shè)，則，在中，由余弦定理，得.因為，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）如圖所示：取的中點，連接，，則點在上，在平面內(nèi)過點作的平行線交于點.因為，平面，平面，所以平面.因為為的重心，所以，又，所以，所以在棱上存在點，使得直線平面，此時.【點睛】方法點睛：（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)．（2）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．20．在平面直角坐標系中，動圓經(jīng)過點，且與直線相切.記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明是什么樣的曲線？（2）設(shè)過點的直線與曲線交于，兩點，且點滿足，求直線的方程.【答案】（1）曲線的方程為，曲線為焦點在軸正半軸上的拋物線；（2）或.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得答案；（2）直線與軸垂直時，可得答案；當直線與軸不垂直時，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示的中點坐標，再根據(jù)，得可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，動點到點的距離等于到直線的距離，則動點的軌跡是以為焦點?直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為，且曲線為焦點在軸正半軸上的拋物線.（2）當直線與軸垂直時，一定有，此時適合題意，直線的方程為.當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，由得，，則直線與拋物線一定相交；所以，，設(shè)的中點為，則，，即，當，即時，因為，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，當，即時，經(jīng)檢驗不合題意，綜上，直線的方程為或.【點睛】本題考查了拋物線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵點是利用韋達定理表示中點坐標和，考查了學生分析問題、解決問題的能力.21．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）本小題先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求在切點處切線的斜率，再求切點坐標，最后寫切線方程即可；（2）本小題根據(jù)恒成立問題先化簡不等式，再建立新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可解題.【詳解】解：（1）由，有，故曲線在點處的切線方程為，整理為．（2）不等式可化為令，函數(shù)的定義域為，則．令，則，令，得，，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以對，．又當時，，故有．所以，有，，有，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以所以實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查借導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的切線方程，求解恒成立不等式，函數(shù)的單調(diào)性求最大值，是偏難題.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線的直角坐標方程為．以坐標原點為極點軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線經(jīng)過極坐標系中的點．（1）求曲線的極坐標方程；（2若曲線上的兩點，的極坐標分別為，，求的值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）消去參數(shù)得到曲線普通方程，利用極坐標與直角的互化公式，得到曲線的極坐標方程，將點代入曲線，求得的值，即可求得曲線的極坐標方程；（2）化簡得到曲線的極坐標方程，將的坐標代入曲線，結(jié)合極坐標的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）可得（為參數(shù)）平方相加，消去參數(shù)，可得曲線普通方程為，即，又由，，，可得曲線的極坐標方程為