2021屆陜西省西安市八校高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學(文)試題(解析版)

2021屆陜西省西安市八校高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合A，全集，若，則集合A是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補集的定義即可求得集合A.【詳解】解；因為全集，若={1,3,4}，由補集的定義可得，．故選：B．2．已知為奇函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意先計算，再根據(jù)奇函數(shù)的性質，得，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，當時，，則，又由為奇函數(shù)，則.故選：C.3．若，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，直接帶入求出【詳解】解：因為sinα+cosα=0，且，所以，所以，則sin3α=．故選：A．4．在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為的整數(shù)，則其余整數(shù)的和是（）A．3928 B．4024 C．4920 D．4924【答案】D【分析】當時，結合等比數(shù)列求和，求得，再由等差數(shù)列的求和公式，求得，進而求得其余的整數(shù)的和．【詳解】當時，可得所以，又由，所以在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為的整數(shù)，其余的整數(shù)的和為．故選：D.5．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用雙曲線的離心率求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程，由此可得出結果.【詳解】由于方程表示的曲線為雙曲線，則，解得或.則.①當時，則，，則，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，此時，該雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為、，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為；②當時，則，，則，解得.所以雙曲線的漸近線方程為，此時雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為、，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為．綜上所述，雙曲線的兩條漸近線的夾角為.故選：B．【點睛】方法點睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點在軸上時，漸近線方程為，焦點在軸上時，漸近線方程為；（2）構造齊次式：利用已知條件結合，構建的關系式（或先構建的關系式），再根據(jù)焦點位置寫出漸近線方程即可.6．已知，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求，再利用求出.【詳解】解：且與的夾角為，故故選：A．【點睛】向量的模運算的常用方法：（1）定義法；（2）坐標法；（3）用求模.7．已知點在圓上，直線與兩坐標軸的交點分別為，則的面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得圓心到直線的距離，然后根據(jù)計算點到直線的距離的最大值，再計算，利用計算面積最大值.【詳解】如圖，當點距離直線的距離最大時，的面積最大.已知，圓的圓心到直線的距離，則圓上的點到直線的距離的最大值為，又直線與兩坐標軸交點分別為，所以．∴面積的最大值為．故選：A.8．已知在△ABC角A?B?C的對邊分別是a?b?c，且a=4，b=3，c=2．則△ABC的最大角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由大邊對大角知A最大，利用余弦定理求解即可.【詳解】因為a=4，b=3，c=2，所以最大角是A，根據(jù)余弦定理：，且A∈(0，π)，∴．故選：D9．已知，則的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用降冪公式化簡函數(shù)，再求的范圍，再求函數(shù)的值域.【詳解】，的值域為故選：C．10．如圖，已知底面邊長為a的正四棱錐P﹣ABCD的側棱長為2a，其截面PAC的面積為8，則正四棱錐P﹣ABCD的高是（）A． B．2 C．4 D．4【答案】B【分析】根據(jù)正四棱錐的特性，底邊上的高即為此四棱錐的高.【詳解】由題意可知，PA=PC=2a，，所以的高，所以的面積，又截面PAC的面積為8，所以，解得a=4，所以正四棱錐P﹣ABCD的高即為的高．故選：B．11．已知命題p：，命題q：，則（）A．“”是假命題 B．“”是真命題C．“”是假命題 D．“p∧￢q”是真命題【答案】D【分析】先命題為真命題，命題為假命題，再根據(jù)復合命題的真假判定，結合選項，即可求解.【詳解】由題意，命題p：，當時，不等式成立，所以為真命題；命題q：，當時，不等式不成立，所以為假命題，根據(jù)復合命題的真假判定，可得命題為真命題，為假命題；為真命題，為真命題.故選：D.12．設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】D【詳解】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點定位】判斷函數(shù)的單調性一般利用導函數(shù)的符號，當導函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當導函數(shù)小于0則函數(shù)遞減二、填空題13．準線方程為的拋物線的標準方程是___________.【答案】【分析】由拋物線的準線方程可知，拋物線是焦點在軸負半軸上的拋物線，并求得值，則答案可求．【詳解】解：由拋物線的準線方程為，可知拋物線是焦點在軸負半軸上的拋物線，設其方程為，則其準線方程為，得．該拋物線的標準方程是．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎題．14．若a∈R，i為虛數(shù)單位，，則______________________．【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算，化簡得到，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算，可得可得，解得．故答案為：．15．設函數(shù)，若，則m=___________．【答案】1【分析】先求，然后再根據(jù)的取值范圍分類討論就可以求符合題意的的值.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=，則f()=5×﹣m=4﹣m，當m≤3時，4﹣m≥1，f(f())=f(4﹣m)=24﹣m=8，解可得m=1，符合題意，當m>3時，4﹣m<1，f(f())=f(4﹣m)=5(4﹣m)﹣m=20﹣6m=8，解可得m=2，不符合題意，綜合可得：m=1，故答案為：1.16．已知函數(shù)有兩個零點，且，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到不等式組，畫出不等式組所表示的可行域，結合圖形，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有兩個零點，且，可得，畫出不等式組所表示的可行域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點點時，此時取得最大值；當直線過點點時，此時取得最小值，由，解得，即，由，解得，即，所以目標函數(shù)的最大值為，最小值為，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】根據(jù)線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題的常見形式：（1）截距型：形如.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)轉化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如，轉化為可行域內的點到定點的距離的平方，結合點到直線的距離公式求解；（3）斜率型：形如，轉化為可行域內點與定點的連線的斜率，結合直線的斜率公式，進行求解.三、解答題17．已知{an}為等差數(shù)列，各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且，，，．（1）求?的通項公式；（2）求和．【答案】（1）an=2n；bn=3n，n∈N；（2）2n2+4n．【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）變形后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，則an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3?3n﹣1=3n，n∈N；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1=2?(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．18．已知正四面體ABCD，M?N分別在棱AD、AB上，且，，P為棱AC上任意一點(P不與A重合)．（1）求證：直線平面BDP；（2）若正四面體ABCD的各棱長均為60．求三棱錐M﹣BDC的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由，得出，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）設G為底面△ABC的重心，由MN∥平面DBC得出三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等，再由等體積法求出三棱錐M﹣BDC的體積．【詳解】解：（1）證明：由，可得點M在AD上，則有又，所以又平面BDP，BD?平面BDP，所以MN∥平面BDP；（2）設G為底面△ABC的重心，Q為AC的中點，如圖所示則所以由（1）可知MN∥DB，且平面DBC，DB?平面DBC，故MN∥平面DBC所以點M與點N到平面BDC的距離相等所以三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等又三棱錐N﹣BDC的體積與三棱錐D﹣BNC的體積相等所以=所以三棱錐M﹣BDC的體積為．【點睛】關鍵點睛：解決問題二的關鍵在于由MN∥平面DBC得出三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等，進而由等體積法求出所求體積.19．西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進了1000株樹苗，這批樹苗最矮2米，最高2.5米，桉樹苗高度繪制成如圖頻率分布直方圖(如圖)．（1）試估計這批樹苗高度的中位數(shù)；（2）現(xiàn)按分層抽樣方法，從高度在[2.30，2.50]的樹苗中任取6株樹苗，從這6株樹苗中任選3株，求3株樹苗中至少有一株樹苗高度在[2.40，2.50]的概率．【答案】（1）2.12；（2）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，由中位數(shù)的定義求解；（2）分層抽樣可知[2.30，2.40)中抽取4株，[2.40，2.50)中抽取2株，根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：[2.0，2.2)的頻率為：(1+3.5)×0.1=0.45，[2.2，2.3)的頻率為：2.5×0.1=0.25，估計這批樹苗高度的中位數(shù)為：2.1+=2.12．（2）按分層抽樣方法，從高度在[2.30，2.50]的樹苗中任取6株樹苗，則[2.30，2.40)中抽?。?×=4株，[2.40，2.50)中抽取：6×=2株，從這6株樹苗中任選3株，基本事件總數(shù)n=，3株樹苗中至少有一株樹苗高度在[2.40，2.50]包含的基本事件個數(shù)：m==16，∴3株樹苗中至少有一株樹苗高度在[2.40，2.50]的概率．20．已知橢圓，F(xiàn)1?F2分別為橢圓C的左?右焦點，P為橢圓C上的任一點，且|PF2|的最大值和最小值分別為3和1，過F2的直線為l．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l與橢圓C交于A?B兩點，求△ABF1的面積的最大值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)|PF2|的最大值a+c和最小值a-c,結合已知條件得到方程組，求得a,c的值，進而結合a,b,c的平方關系求得橢圓的標準方程.（2）先判定直線的斜率不為零，進而設其方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理求得關于m的函數(shù)表達式，適當變形，利用基本不等式求得其最大值，進而根據(jù)得到所求三角形的面積的最大值.【詳解】解：（1）由橢圓的性質可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以橢圓方程為，（2）由題意分析可知直線l的斜率不能為零，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程為x=my+1，聯(lián)立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0，△=36m2+36(3m2+4)>0，∴，，∴所以當且僅當m=0時|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面積的最大值為3．【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質和橢圓中的面積最值問題，熟練掌握橢圓上的點到焦點的距離的最大值和最小值，靈活變形使用基本不等式求最值是關鍵步驟.掌握面積的求法是十分重要的.21．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，求證：在上有唯一零點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求得導數(shù)，得到和，進而求得曲線在點處的切線方程；（2）由求得，利用導數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調性，結合，和時，，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，則，又由，所以曲線在點處的切線方程為；（2）由，可得，令，可得，即，解得，所以當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞增，又因為，當時，，所以在上有唯一零點．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結合思想的應用．22．已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．點在曲線上，直線l過點P，且傾斜角為．（1）求點P在曲線上對應的參數(shù)θ的值；（2）求直線l被曲線截得的線段的長度．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）由題知，再結合得；（2）根據(jù)題意得直線的方程，再把曲線化為普通方程得，進而得直線過圓心，進而得答案.【詳解】解：（1）曲線S的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．點在曲線S上，所以，由于，所以．（2）曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)轉換為直角坐標方程為，直線l過點，且傾斜角為，所以直線的方程為，由于圓心在直線上，故直線l被曲線S截得的線段成為圓的直徑6．【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線與圓相交的弦長問題，考查運算求解能力，本題解題的關鍵在于寫出直線l的方程，曲線的普通方程得直線l過圓心，進而得答案.23．已知．（1）解不等式；（2）設(，且)，求的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，可得，分類討論，即可求解.（2）化簡得到，分和兩種情況，結合基