空間圖形的平行關系

第十一章立體幾何初步第三節(jié)空間圖形的平行關系

課前自主學案

知識梳理

1直線與平面的位置關系位置關系圖示表示方法公共點個數(shù)直線在平面內aα無數(shù)個直線不在平面內直線與平面平行a∥α沒有直線與平面相交直線與平面斜交a∩α=A一個直線與平面垂直a⊥α

一個位置關系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行α∥β沒有公共點兩平面相交α∩β=l有一條公共直線2.空間兩個平面的位置關系

3直線和平面平行的判定方法類別語言表述圖示字母表示應用判定如果一條直線與一個平面沒有公共點，那么稱這條直線與這個平面平行

a∩α=α∥β證直線與平面平行如果面外的一條相交直線平行于該平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面如果兩條直線互相垂直，且其中一條直線垂直于一個平面，第二條不在這個平面內，那么第二條直線平行于這個平面4兩個平面平行的判定類別語言表述圖示字母表示應用判定如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行證直線與平面平行如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行

垂直于同一條直線的兩個平面平行

5直線和平面平行的性質類別語言表述圖示字母表示應用判定如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行證直線與平面平行6兩個平面平行的性質類別語言表述圖示字母表示應用判定如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線必平行于另一個平面證直線和平面平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面證直線和平面垂直基礎自測

1.(2010年廣州調研)已知α，β是平面，m，n是直線，給出下列命題：①若m⊥α,

mβ,則α⊥β．②若mα,

nα,

m∥β,

n∥β,則α∥β．③如果mα,nα,m、n是異面直線,那么n與α相交．④若α∩β=m,

n∥m,且nα,nβ,則n∥α且n∥β．其中正確命題的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1C2.已知α,β是平面，m,n是直線，則下列命題中不正確的是（）A.若m∥n,m⊥α,則n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若m⊥α,m⊥β,則α∥βD.若m⊥α,mβ,則α⊥βB3．設平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS=8，BS=9，CD=34，①當S在α、β之間時，SC=

；②當S不在α、β之間時，SC=

.解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.答案：①16②2724.a、b、ｃ為三條不重合的直線，α、β、γ為三個不重合的平面，直線均不在平面內，給出六個命題：②③④⑤⑥①其中正確的命題是

①④⑤⑥

.（將正確的序號都填上）課堂互動探究

直線與平面平行的證明如右腹圖所翁示，襲兩個悉全等可的正曬方形AB炭CD和AB匯EF所在江的平圾面交看于AB，M∈AC，N∈FB，且AM赴=F大N求證冊：MN∥平面BC這E.證明川：法顫一：饞利用響線面琴平行喚的判槍定定銹理來頑證如上親圖所龍示，眼過M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂譜足，浙連結PQ，∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，又NQ邀=規(guī)B手N=總CM豪=M拉P，∴MP立QN是平贏行四蜜邊形.∴MN∥PQ，又PQ平面BC顧E，而MN平面BC貍E，∴MN∥平面BC混E.∴MG∥平面BCE，又∴GN∥AF∥BE，同樣可證明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN平面MNG，∴MN∥平面BCE.點評：證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：①利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；②利用兩平面平行的性質定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行.

法二：利用兩平面平行的性質定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行.過M作MG∥BC，交AB于G（如右圖），連結NG，∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，變式探究

1.如右杯圖所潛示，黎正方筑體AB隔CD麥-A1B1C1D1中，搬側面將對角描線AB1、BC1上分死別有獨兩點E、F，且B1E=罰C1F.求證材：EF∥平面AB盾CD批.法一共：分迷別過E、F作EM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥BC于點N，連娛結MN伏.∵BB1⊥平面AB糧CD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC栽.∴EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1.∴EM∥FN恢.又B1E=杠C1F，∴EM耕=F川N.故四匯邊形MN燦FE是平溜行四巧邊形.∴EF∥MN簽.又MN在平緩面AB泥CD中，∴EF∥平面AB掠CD幼.證明透：∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴法二惜：過E作EG景∥A隊B交BB1于點G，連絲式結GF，則∴FG究∥B1C1∥B晝C.昌又∵EG縣∩F悉G=狀G，AB吐∩B棟C=肚B，∴平兄面EF做G∥平面AB夕CD甚.而EF在平崗面EF漏G中，梳∴EF鄭∥平面AB倉CD灰.直線與平面平行的性質應用

如右研圖所條示,已知冒點P是三騙角形AB濕C所在朱平面腿外一銅點,且PA現(xiàn)=B驗C=燙1,截面EF脫GH分別蜘平行模于PA怕,B障C(點E,琴F,否G,職H分別減在棱AB穩(wěn),A喘C,邊PC傲,P磁B上)(1澤)求證:四邊柿形EF烈GH是平伯行四賽邊形滑且周介長為亭定值.(2屢)設PA與BC所成膝的角績?yōu)棣?求四絕邊形EF劫GH的面續(xù)積的肆最大眠值.分析灣：本勞題已及知線換面平蹤蝶行關軍系，嗎可聯(lián)賤想線衰面平轎行的段性質浙定理.解析派：(1倆)證明氧：∵PA∥平面EF方GH園,平面PA響B(tài)∩平面EF加GH親=H詠E,平面PA覆C∩平面EF扒GH窗=G死F∴HE∥PA∥GF肚,同理HG∥BC∥EF，∴四海邊形EF丘GH是平捏行四零邊形.設EH喘=x孝(0魂<x苗<1疲),則,∴周長=2(EH+HG)=2(x+1-x)=2為定值.(2)由(1)知,設EH=x(0<x<1),則有EF=HG=1-x,又∵PA∥HE,BC∥EF∠HEF(或補角)是PA與BC所成的角，∴SEFGH=HE×EF×sin∠HEF=x(1-x)sinθ=sinθ[-(x-)2]∴當x=,即E,F,G,H為所在邊中點時,四邊形EFGH的面積有最大值sinθ.

∴變式探究

點評渡：（1）欲銀證線受面平碎行，惰先證攪線線悉平行串，欲存證線共線平洗行，計可先迎證線燒面平暈行，耗反復并用直屆線與踩平面爸平行到的判姿定、企性質什，在年同一謙題中洽也經嬌常用社到;（2）立青體幾武何中屢的最玻值問肅題往框往要春借助未函數(shù)姓來求士解.2.如右火圖所淹示，州四面置體A—BC播D被一哭平面士所截漫，截希面EF互GH是一壇個矩百形.(1廣)求證貸：CD∥平面EF鹿GH去.(2艱)求異梁面直斃線AB，CD所成眾的角.(3挪)若AB＝a，CD凡=b，求撈截面EF扇GH面積即的最渡大值.蘿2.解析邁：（1）證位明：慈∵截產面EF肥GH是一盛個矩港形，賭∴EF∥GH，又GH平面BC辯D.∴EF∥面BC是D，而EF面AC訴D，面AC境D∩面BC付D=浪CD賀.∴EF∥CD，∴CD∥平面EF糞GH近.（2）由染（1）知CD∥EF，同憑理AB∥FG，由果異面逝直線炒所成洪角的籃定義炎知∠EF壞G即為挨所求戲的角.易得顧∠EF丸G=逃90°.（3）SEF堡GH=ab正方室體AB腫CD-A1B1C1D1中．(1勸)求證暢：平批面A1BD∥平面B1D1C；(2滿)若E、F分別為是AA巷1，CC1的中慰點，遣求證羅：平信面EB1D1∥平面FB新D．面面平行的證明

分析川：要零證“巨面面桑平行捷”只默要證床“線裹面平尤行”廣，要驗證“可線面霉平行印”，蹄只要龜證“頑線線運平行格”，釣故問焦題最虹終轉喬化為稻證線毛與線犧的平芒行．證明遠：(1彩)在正偏方體掃中，陽由B1B∥DD1得，魂四邊牲形BB1D1D是平麻行四歸邊形尾，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴云平面A1BD∥平面B1CD．(2共)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．如雪右圖亞所示湊，取BB1中點G，∴AE野B1G．從廣而四究邊形AE粉B1G為平遣行四曬邊形喊，從累而得B1E∥AG，同治理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面E臭B1D1．又BD∩DF洲=D∴平面E醫(yī)B1D1∥平面FB酸D．變式探究

3.如右斥圖所堡示，監(jiān)在正航方體AB挪CD-A1B1C1D1中，M、N、P分別姥是C1C、B1C1、C1D1的中夏點.求證反：（1）AP⊥MN；（2）平信面MN吧P∥平面A1BD謝.證明熊：（1）連投結BC1、B1C，則B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的俯射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN匹.（2）連析結B1D1，∵P、N分別到是D1C1、B1C1的中愈點，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD洽.又PN不在焰平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD感.同理廳，MN∥平面A1BD洪.又PN∩MN腸=N，∴平悅面PM暮N∥平面A1BD犧.面面平行的性質

如右狼圖所吳示，墨平面α∥平面β，線令段GH與α、β分別鉤交于A、B，線殖段HF與α、β分別形交于F、E，線石段GD與α、β分別繩交于C、D，且GA括=9，AB筐=1外2，BH輔=1動6，S△AC點F=7魄2.求△BD男E的面猾積.解析杏：因釘為α∥荒β，所攔以AC∥BD，AF∥BE婆.所以秩∠FA乳C與∠EB評D相等岡或互獸補.因為AC∥BD丟,故△GA蜻C∽△GB獅D,同理投△HE禮B∽絹△H瓜FA，變式探究

4.如右代圖所扎示，糾已知α∥平面β∥平面γ，且β位于α與γ之間.點A、D∈α，C、F∈γ,A態(tài)C∩β=B，DF∩β=E岔.(1難)求證教：(2謀)設AF交β于M，AD與CF不平啟行，α與β間距棚離為h′，α與γ間距襪離為h,當臣的葡值是析多少秤時，S△B繭EM的面辟積最兆大？睡跟解析貝：(1鑰)∵當β∥夫γ,平面AC拿F分別腿交β、γ于BM、CF，∴BM∥CF,∴據(jù)題逆意知群，AD與CF異面賴，只遠是β在α、γ間變堵化位示置，殿故CF、AD是常悼量，si墨n∠BM拋E是AD與CF所成丸角的脾正弦云值，略也是辨常量院，令h′愉∶h=x只要帆考查芒函數(shù)y=鐘x(緒1-腥x)的最沿值，林顯然擦當y=尤-x2+x有最曬大值.即β在α、γ兩平嬌面的遠中間景時△BE枯M面積盛最大.溫馨提示

1.直線往與平羅面的住位置夢關系鋼有三拉種：族直線球在平璃面內淺、直姐線與盲平面閣相交溜、直唱線與懶平面津平行匠，后阻面兩紛種又睡統(tǒng)稱艱為直刮線在蛋平面嘆外.2.證明溫線面金平行伯是高萌考中看常見智的問陣題，釣常用昂的方亦法就研是證賊明這傾條線百與平白面內磨的某館條直型線平稿行.3.在判壩定和般證明棗直線鉗與平綠面的用位置兄關系型時,除熟信練運藝用判光定定懂理和薪性質禿定理鍵外,切不妻可丟掠棄定趣義,因為應定義粱既可士作判焦定定拐理使筐用,亦可復作性迅質定恢理使攀用；4.輔助獻線（綁面）殲是解梳（證危）線墓面平襪行的注關鍵.為了轉能利循用線繞面平校行的鳳判定鮮定理勿及性收質定季理，說往往述需要據(jù)作輔那助線喬（面慈）.5.欲證捎線面提平行畢，先沫證線吉線平僅行，搞欲證溪線線商平行奮，可盼先證棚線面肥平行史，反拖復用剖直線斗與平塊面平族行的那判定氏、性怠質定余理，臘在同礎一題悶中也后經常印用到.6.證明餃面面零平行規(guī)的主摔要方床法:①利用暗定義;②利用默判定友定理.另外躬證面惕面平撐行還炒可利拴用“酷垂直絮于同扒一條枕直線擠的兩流個平購面互起相平啟行”向來證.7.空間度平行泄關系遺之間農的轉餃化（旁這也點是立盛體幾離何中癢證明披平行尊關系么常用系的思疊路.）題型展示臺

解析謠：(1盟)連AN并延鹽長和BC交于E點，此則EN∶NA說=B業(yè)N∶ND陜,∴,∴MN∥PE連,而MN平面PB級C,錫PE面PB尋C，∴MN∥平面PB革C.(2撈)由余棚弦定贊理求勻得PE2=P政B2+B豪E2-2懇PB·EB撞co韻s糠60°.代入福數(shù)值達計算粗得PE訪=濁,∴MN握=眼PE動=7惰.已知嘉正方襖形AB荷CD的邊曬長是13，平耗面AB損CD外一敞點P到正鼻方形扣各頂議點的為距離瓦都為13，M、N分別違是PA、BD上的話點且PM∶MA掃=B池N∶ND參=5∶8，如冶右圖餡所示.(1籃)求證藍：直星線MN∥平面PB那C；(2椒)求線崇段MN的長.如下狹的三牛個圖堂中，丹左面折的是惜一個艘長方印體截終去一相個角才所得猴多面躬體的比直觀勢圖，趣它的涂正視弊圖和幣側視半圖在塵下面方畫出收（單亡位：cm）.（1）在管正視寫圖下識面，慶按照腦畫三界視圖臨的要改求畫撥出該盤多面顫體的浩俯視債圖；（2）按面照給駐出的匯尺寸苗，求任該多廢面體賞的體旺積；（3）在顫所給露直觀澇圖中躺連結BC′，證搖明：BC′∥面EF農G.分析賠：長方竭體的傳有關止知識都、體么積計假算及員三視蠶圖的貧相關粉知識.解析葬：（1）如右諸上圖（2）所桶求多菊面體溫的體強積V=消V長方存體-V正三物棱錐=4×4×6-×(×2×2)×2=束(卷cm3).（3）證團明：京如右休下圖雅，在船長方馬體AB勵CD情-A截′B先′C撲′D靈′中，布連接AD勝′，則AD攻′∥跪BC葉′;因為晝Ｅ，籃Ｇ分故別為AA羞′,繞A′陰D′中點抓，所捆以AD限′∥冬EG，從殺而EG塑∥B獵C′，又BC汁′平面EF擠G,所以BC貿′∥平面EF雞G.結題型訓練

1.設m，n是平