高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算

1第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度2一、問(wèn)題的提出一塊長(zhǎng)方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場(chǎng).設(shè)一個(gè)小蟲(chóng)在板中逃生至某問(wèn)該蟲(chóng)應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：

應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行．3需要計(jì)算場(chǎng)中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個(gè)概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問(wèn)題梯度問(wèn)題4

討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題．二、方向?qū)?shù)5當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？6記為7的方向?qū)?shù)為同理,沿y軸正向的方向?qū)?shù)分別為在點(diǎn)沿著軸正向若偏導(dǎo)存在,則8方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：9證明由于函數(shù)可微，那么增量可表示為方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，定理如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，且有

為軸到方向l的轉(zhuǎn)角．其中計(jì)算公式10故有方向?qū)?shù)兩邊同除以得到11故x軸到方向l的轉(zhuǎn)角解方向l即為所求方向?qū)?shù)12解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知〔1〕最大值;〔2〕最小值；〔3〕等于零？例2求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿與x軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有13故方向?qū)?shù)到達(dá)最大值;方向?qū)?shù)到達(dá)最小值;方向?qū)?shù)等于0.14推廣:三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定義為

其中〕15方向?qū)?shù)的計(jì)算公式16解令故方向余弦為求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).是曲面例3設(shè)

在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,17故18三、梯度19設(shè)是方向l上的單位向量，

當(dāng)時(shí)，有最大值.其中由方向?qū)?shù)公式知20結(jié)論當(dāng)不為零時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．梯度的模為21在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截,得曲線它在xoy面上投影方程：等高線稱為等值線.等值線幾何上，稱為等高線.22例如,23等值線上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為說(shuō)明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).值線，24問(wèn)題：上山時(shí)，如何選擇最快的方向？計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：“瞎子下山法〞25

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)26解由梯度計(jì)算公式得故那么在處梯度為例4求函數(shù)

在點(diǎn)處的梯度，并問(wèn)在何處梯度為零？27一、方向?qū)?shù)〔注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別〕小結(jié)28二、梯度〔注意梯度是一個(gè)向量〕定義方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模：29三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度：其中30思考題問(wèn)函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最