最全的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式方法

PAGE33最全的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式方法高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析各種數(shù)列問(wèn)題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，變式:（2004，全國(guó)I，個(gè)理22．本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項(xiàng)公式.解：，，即，…………將以上k個(gè)式子相加，得將代入，得，。經(jīng)檢驗(yàn)也適合，類型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例:已知，，求。解：。變式:（2004，全國(guó)I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，將以上n個(gè)式子相乘，得類型3（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______________（key:）變式:（2006.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：（I）解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即 （II）證法一： ① ② ②－①，得 即 ③－④，得 即 是等差數(shù)列 證法二：同證法一，得 令得 設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)時(shí)，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立 根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何都成立 是等差數(shù)列 （III）證明： 變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異．類型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以變式:（2006，全國(guó)I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，，證明：解：（I）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）的方法，解之得：(Ⅱ)將代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)——迭加法）:數(shù)列：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知數(shù)列中，,,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。變式:（2006，福建,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列（I）證明：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（II）解：由（I）得（III）證明：①②②－①，得即③④④－③，得即是等差數(shù)列類型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數(shù)列∴當(dāng)a1=2時(shí)，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3變式:(2005,江西,文,22．本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解：，，兩邊同乘以，可得令…………又，，，。類型7解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出若不存在,則說(shuō)明理由解：（=1\*ROMANI）由已知得又是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，將以上各式相加得：（=3\*ROMANIII）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列由（=1\*ROMANI）、（=2\*ROMANII）知，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列類型8解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：用數(shù)學(xué)歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明：（1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，∴，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有則而又∴時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切（2）解法一：所以,又bn=－1，所以解法二：由（I）知，，兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，令,則或變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1解：（Ⅰ）由已知， ，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得（Ⅲ），，，又，，又，類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2……an2解：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）…………1（2）證：據(jù)1得，a1a2…an為證a1a2……an2只要證nN時(shí)有…………2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nN，有1－（）…………3用數(shù)學(xué)歸納法證明3式：n＝1時(shí)，3式顯然成立，設(shè)n＝k時(shí)，3式成立，即1－（）則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，〔1－（）〕（）＝1－（）－＋（）1－（＋）即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，3式也成立故對(duì)一切nN，3式都成立利用3得，1－（）＝1－＝1－故2式成立，從而結(jié)論成立類型10解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴∴即例：已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)∵對(duì)于都有(2)∵∴令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始都不存在，當(dāng)≤4，時(shí)，.(3)∵∴∴令則∴對(duì)于∴(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過(guò)程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且≥2.∴當(dāng)（其中且N≥2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開(kāi)始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列都不存在.變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和解法一：由已知,得,其特征方程為解之得,或,,解法二：（I）（II）因，故猜想因，（否則將代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）故的等比數(shù)列.,解法三：（Ⅰ）由整理得（Ⅱ）由所以解法四：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）從而類型11或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，，求（II）在數(shù)列中，，求類型12歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國(guó)II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式提示:1為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得2求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，本題主要考察一般數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式間的關(guān)系3方程的根的意義(根代入方程成立)4數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式(也可以把分開(kāi)為,可得解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)由①可得S3＝EQ\f(3,4)由此猜想Sn＝EQ