離散數(shù)學第六章代數(shù)系統(tǒng)

第六章代數(shù)系統(tǒng)基本概念及性質(zhì)離散數(shù)學陳志奎主編人民郵電出版社愛因斯坦小時候曾好奇的問他的叔叔：“代數(shù)是什么”？（那時候他只學過算術）他的叔叔回答的很妙：“代數(shù)是一種懶惰人的算術，當你不知道某些數(shù)時，你就暫時假設它為x、y，然后再想辦法去尋找它們?！钡览硪唤?jīng)點破，就好象“哥倫布立蛋”的故事一樣，人人都會做了。代數(shù)是什么？以符號代替數(shù)的解題方法就是代數(shù)。代數(shù)是從算術精煉出來的結(jié)晶，雖平凡但妙用無窮。因此它又叫做廣義算術(generalizedarithmetic)或進階算術(advancedarithmetic)或普遍算術（universalarithmetic）。什么是代數(shù)？Algebra一名來自阿拉伯文al-jabr，al為冠詞，jabr之意為恢復或還原，解方程式時將負項移至另一邊變成正項，也可說是還原，也有接骨術的意思。中國在1859年正式使用代數(shù)這個名詞（李善商在代微積拾級一書中的序中指出“中法之四元，即西法之代數(shù)也”），在不同的時期有人用算術作為代數(shù)的名稱，中國古書九章算術其實是一本數(shù)學百科全書，代數(shù)問題分見于各章，特別是第八章方程，主要是論述線性（一次）聯(lián)立方程組的解法，秦九韶（1249）的數(shù)書九章中有“立天元一”的術語，天元就是代表未知數(shù)，用現(xiàn)在的術語來說就是“設未知數(shù)為x”。代數(shù)﹝Algebra﹞是數(shù)學的其中一門分支，可大致分為初等代數(shù)學和抽象代數(shù)學兩部分。代數(shù)的由來初等代數(shù)學：是指19世紀中期以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程﹝組﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。抽象代數(shù)：是在初等代數(shù)學的基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。它起始于十九世紀初，形成于20世紀30年代。在這期間，挪威數(shù)學家阿貝爾(N.H.Abel)、法國數(shù)學家伽羅瓦(E′.Galois)、英國數(shù)學家德·摩根(A.DeMorgan)和布爾(G.Boole)等人都做出了杰出貢獻，荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登(B.L.VanDerWaerden)根據(jù)德國數(shù)學家諾特(A.E.Noether)和奧地利數(shù)學家阿廷(E.Artin)的講稿，于1930年和1931年分別出版了《近世代數(shù)學》一卷和二卷，標志著抽象代數(shù)的成熟。代數(shù)系統(tǒng)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各種數(shù)學結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問題。它對現(xiàn)代數(shù)學如撲拓學、泛函分析等以及一些其他科學領域，如計算機科學、編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應用。代數(shù)的由來PART01PART02PART03代數(shù)系統(tǒng)的一般概念代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)PART04代數(shù)系統(tǒng)實例PART05同余、商代數(shù)、積代數(shù)內(nèi)容安排定義6.1設S是個非空集合且函數(shù)f：Sn→S，則稱f為S上的一個n元運算。其中n是自然數(shù)，稱為運算的元數(shù)或階。當n=1時，稱f為一元運算，當n=2時，稱f為二元運算，等等。定義6.2如果對給定集合的成員進行運算，從而產(chǎn)生了象點，而該象點又是同一集合的成員，則稱此集合在該運算下是封閉的，這種性質(zhì)成為閉包性或封裝性。注意到，n元運算是個閉運算，因為經(jīng)運算后產(chǎn)生的象仍在同一個集合中。封閉性表明了n元運算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運算存在幺元或零元，它在運算中起著特殊的作用，稱它為S中的特異元或常數(shù)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義運算的例子很多。例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運算，合取和析取是謂詞集合上的二元運算；在集合論中，并與交是集合上的二元運算；在整數(shù)算術中，加、減、乘運算是二元運算，而除運算便不是二元運算，因為它不滿足封閉性。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義運算表：表示有窮集上的一元和二元運算6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義

二元運算的運算表一元運算的運算表在本章討論的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運算。將用′、┐或ˉ等符號表示一元運算符；用、、⊙、*、∨、∧、∩、∪等表示二元運算符。一元運算符常常習慣于前置、頂置或肩置，如┐x、x′；而二元運算符習慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運算的概念后，便可定義代數(shù)系統(tǒng)了。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義定義6.3設S是個非空集合，且fi是S上的ni元運算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱為代數(shù)系統(tǒng)，記作V=<

S，f1，f2，…，fm>。S

稱為代數(shù)系統(tǒng)的載體，S和運算叫做代數(shù)系統(tǒng)的成分.其中，“定義在S上的運算”指設集合S，f為一個SS的映射，即對任意的aS，存在唯一的bS，使得b是a在f下的像，記為f（a）=b，稱a是b在f下的原象。映射f又稱為函數(shù)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義定義6.4設<S，f1，f2，…，fm

>是一個代數(shù)系統(tǒng)，且非空集TS在運算f1，f2，…，fm作用下是封閉的，則稱<T，f1，f2，…，fm>為代數(shù)系統(tǒng)<S，f1，f2，…，fm

>的子代數(shù)系統(tǒng)，記為<T，f1，f2，…，fm><S，f1，f2，…，fm>。定義6.5如果兩個代數(shù)系統(tǒng)中運算的個數(shù)相同，對應運算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個數(shù)也相同，則稱它們是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。如果兩個同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運算性質(zhì)也相同，則稱為同種的代數(shù)系統(tǒng)。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義下面舉例說明上述各個概念。例6.1<N

,

+>，<Z,+,*>，<R,+,*>都是代數(shù)系統(tǒng)，其中+和*是R上的普通加法和乘法運算，后兩個代數(shù)系統(tǒng)有兩個代數(shù)運算。因為，運算+在N和Z中是封閉的，運算+和*在R中是封閉的。例6.2設S是非空集合，P(S)是它的冪集。對任意集合A，B∈P(S)上的運算和如下:AB=(A-B)∪(B-A)AB=A∩B則<P(S)，，>是一代數(shù)系統(tǒng)。因為，顯然和是閉運算。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義例6.3<Mn(R),+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，其中Mn(R)為n階實矩陣，+和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法.例6.4<Zn,,>是代數(shù)系統(tǒng)，其中Zn＝{0,1,…,n-1}，

和

分別表示模n的加法和乘法，x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn。

有的代數(shù)系統(tǒng)定義指定了S中的特殊元素，稱為代數(shù)常數(shù),例如二元運算的單位元.有時也將代數(shù)常數(shù)作為系統(tǒng)的成分.6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義例6.5代數(shù)系統(tǒng)<Z,+>有個特殊元素0，對加法運算它的參與不影響計算結(jié)果，也可記為<Z,+，0>；<P(S),?,?,～>對于運算?和?的有特殊元素分別為?和S，它們對分別參與?和?的運算不影響計算結(jié)果，同樣可記為<P(S),?,?,～,?,S>。在結(jié)束本節(jié)時，聲明記號<S，f1，f2，…，fm>即為一代數(shù)系統(tǒng)，除特別指明外，運算符f1，f2，…，fm均為二元運算。根據(jù)需要對S及f1，f2，…，fm可置不同的集合符和運算符。6.1代數(shù)系統(tǒng)的定義PART01PART02PART03代數(shù)系統(tǒng)的一般概念代數(shù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)PART04代數(shù)系統(tǒng)實例PART05同余、商代數(shù)、積代數(shù)對于夫代數(shù)銳系統(tǒng)煙的性賢質(zhì)的吼考察口方法副不是臘一個比一個晃研究橋各個胡結(jié)構(gòu)陶，而妻是列蕩舉一抵組性蠅質(zhì)，門并且辦對于堆具有劇這些愧性質(zhì)局的任寺何代脫數(shù)結(jié)種構(gòu)推御導可恭能的吼結(jié)論另。把紙那些古被選隸出的斗性質(zhì)濾看成哈是公遍理并陶且由彼這些纖公理偵推導鋸出的圓任何獵有效捆結(jié)論哀，對偉于滿識足這禮些公兩理的差任何源代數(shù)譜結(jié)構(gòu)軌也都槳必定問成立胖。因此領，為耀了作會出這戲樣的門討論游，將認不考虹慮任哲何特再定的拜集合象，也喝不給娘所涉板及到作的運憂算賦曲予任長何特相定的捐含義揭。這水種系其統(tǒng)的病集合媽及集鳴合上賄的諸寄運算系僅僅絡看成課是一康些符析號，掃或更此確切配地說厲，它財們都嗚是些插抽象和對象偵。因銹此，竿與此掉相應傾的代繳數(shù)系紡統(tǒng)，靈通常印稱為癢抽象齒代數(shù)究。對爹于那瞎些特稻定的憤代數(shù)統(tǒng)系統(tǒng)稀只能虹是具帶有基斜本性尿質(zhì)中撈的某御些性翻質(zhì)。6.沙2代數(shù)全系統(tǒng)依的基霉本性俗質(zhì)性質(zhì)1結(jié)合顯律給定<S，⊙>，運漸算“建⊙”駕滿足磁結(jié)合角律或剃“⊙洲”是巖可結(jié)同合的觀，(x)(y)(z)(x,y,z∈S→錯(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。例6.漏9給定<A，⊙>且對汽任意a，b∈洽A有a⊙非b=拒b。證成明運予算“滔⊙”因是可忠結(jié)合臟的。6.破2代數(shù)開系統(tǒng)燙的基唐本性傭質(zhì)性質(zhì)2交換祖律給定<S，⊙>，運騎算“糧⊙”貓滿足萌交換跟律或快“⊙列”是攀可交疤換的娘：(x)(y)(x,悠y∈S→x⊙y=y⊙x)例6.既11給定<Q，*>，其橫中Q為有抓理數(shù)蹦集合生，并稱且對齡任意a，b∈Q有a*b=a+b-a·b，問桿運算喘*是歲否可柄交換?可見震，如鉛果一油代數(shù)唱結(jié)構(gòu)少中的扮運算疼⊙是稿可結(jié)往合和喪可交懶換的慣，那吉么，腫在計頸算a1⊙a2⊙…龍⊙am時可此按任怠意次敏序計潛算其蘭值。證特別碑當a1=a2=搬…餅=am=a時，頂則a1⊙a2⊙…亂⊙am=am。稱am為a的m次冪蘭，m稱a的指稅數(shù)。6.貴2代數(shù)敏系統(tǒng)養(yǎng)的基摔本性碗質(zhì)下面甲給出am的歸賣納定到義：設有<S，⊙>且a∈S。對局于m∈N+，其肅中N+表示采正整汁數(shù)集用合，貨可有(1賓)a1=aam+1=am⊙a由此傻利用脫歸納獎法不派難證頸明指該數(shù)定歐律：(1經(jīng))am⊙an=am+n(2始)(am)n=amn這里疾，m，n∈N+。似地夕定義鉆某代矮數(shù)結(jié)哪構(gòu)中蜓的負銹冪和貪給出鉤負指勿數(shù)定稱律。6.掛2代數(shù)軟系統(tǒng)傳的基電本性核質(zhì)性質(zhì)3分配敵率一個腳代數(shù)彎結(jié)構(gòu)促若具疼有兩黨個運宴算時牙，則時分配合律可盜建立北這兩隸個運循算之佛間的謝某種盛聯(lián)系挽。給定<S，⊙景，*>，運森算⊙扣對于叨*滿積足左烈分配應律，批或者蛾⊙對蕉于*嚴是可賄左分貴配的短，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→x⊙(y*z)=努(x⊙y)*抽(x⊙z))。運型算⊙口對于鎮(zhèn)*滿升足右美分配表律，收或者誘⊙對風于*努是可取右分繳配的嘗，即(x)(y)(z)(x，y，z∈S→(y*z)⊙x=(y⊙x)*雪(z⊙x))。類似斬地可砍定義鑰*對乒于⊙晃是滿文足左枯或右核分配涉律。若⊙齊對于窯*即凳滿足激左分報配律冬又滿耽足右射分配翻律，念則稱葛⊙對旺于*罰滿足瘋分配停律或料是可珠分配項的。碰同樣睬可定蠻義*范對于雞⊙滿測足分迫配律蠟。6.弟2代數(shù)吳系統(tǒng)躲的基漂本性卡質(zhì)由定備義不張難證尾明下溉面定細理：定理6.遭2給定<S，⊙瓦，*>且⊙歌是可災交換鮮的。敬如果目⊙對森于*訊滿足中左或耐右分暮配律彼，則劈燕⊙對孫于*注滿足喬分配榨律。例6.季12給定<B，⊙唯，*>，其霧中B={攤0，1}。表6.懂2.賺1分別塵定義妙了運原算⊙并和*歡，問件運算姨⊙對且于*孟是可趙分配搖的嗎?捷*對于延⊙呢輸？上表喂常常貓稱為肺運算淘表或督復合肉表，負它由雁運算換符、創(chuàng)行表胖頭元抬素、煌列表昆頭元齡素及理復合威元素漂四部托分組復成。階對于僵集合S的基應數(shù)很慌小，爛特別灶是2或3時，回代數(shù)錯結(jié)構(gòu)碰中運絕算常挨常用姨這種誦表給血出。居優(yōu)點猜是簡澤明直逼觀，牢一目威了然砍。6.筋2代數(shù)足系統(tǒng)斃的基蒼本性脹質(zhì)⊙描0詞10艱10哪0它0橋0乞0噴11查0緊1餓1霉1顆1性質(zhì)4吸收瀉率給定<S，⊙誰，*>，則⊙對流于*茅滿足股左吸揚收律州：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x)⊙對于砌*滿似足右戴吸收扎律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x)若⊙鐵對于乖*既筒滿足不左吸卡收律事又滿板足右杏吸收呼律，隙則稱擇⊙對約于*攻滿足帥吸收席律或襲者可征吸收寸的。*對上于⊙跨滿足倡左、毀右吸烘收律鴿和吸半收律飛類似訂地定亞義。若⊙炊對于沒*是蛙可吸議收的頂且*夏對于致⊙也棕是可您吸收饒的，賄則⊙災和*秩是互嘉為吸梳收的稼或⊙甩和*徹同時則滿足饑吸收孟律。6.凝2代數(shù)比系統(tǒng)梨的基番本性奴質(zhì)例6.養(yǎng)14給定<N，⊙撲，*>，其軍中N是自罪然數(shù)連集合識，⊙奸和*免定義貧如下滿：對任衰意a，b∈N有a⊙b=ma桿x{a，b}，a*b=mi哲n{a，b}，試憂證，滔⊙和病*互暖為吸待收的膏。6.道2代數(shù)凱系統(tǒng)秀的基振本性蝦質(zhì)性質(zhì)5幺元查或單切位元給定<S，⊙>且el，er，e∈S，則el為關痰于⊙勿的左匆幺元:(x)(x∈S→el⊙x=x)er為關撒于⊙榜的右杰幺元:(x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為彎⊙的劈燕左幺帆元又辦為⊙榆的右插幺元呼，稱e為關鬧于⊙蛛的幺籌元。務亦可貍定義等如下垃：e為關政于⊙略的幺改元：(x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)6.銷2代數(shù)斯系統(tǒng)炸的基堂本性奪質(zhì)例6.滔15給定<{煤α，β}，*>，表6.猶4，表6.炊5和表6.必6分別盡給出沈*的澇不同暴定義蘿的運仁算表至，試島指出頁左幺度元、爸右幺辭元及風幺元拜。表6.姥4表6.港5表6.糊6*嗎α繼β解*扎α告β先*面α歪βα麗α時β場α猜α程α計α英β隱ββ惱β戒β樸β裹β秘β窄β冒α透β6.擔2代數(shù)想系統(tǒng)胡的基卵本性隔質(zhì)定理6.爬3給定<S，⊙>且el和er分別嘗關于瘡⊙的摘左、忍右幺拔元，共則el=er=e且幺堵元e惟一蘋。性質(zhì)6零元給定<S，*>及θl，θr，θ∈S，則θl為關代于*刑的左烏零元照：(x)(x∈S→豈θl*x=椒θl)θr為關疲于*擾的右宴零元錫：(x)(x∈S→x*θr=揀θr)θ為關星于*跡的零澡元：(x)(x∈S→照θ*x=x*θ攏=攜θ捉)例6.泊17在例6.共15中，癢*如嗓表6.膝4所定戀義，β是*偵的零寫元；例*如相表6.坡2.絲式3所定次義，α和β都是逆*的拾左零霸元；僚*如捕表6.杏2.傷4所定諷義，β是*延的右份零元思。6.郊2代數(shù)鹿系統(tǒng)搞的基仆本性似質(zhì)定理6.楊2.棋4給定<S，⊙>且θl和θr分別籃為關勵于⊙洲的左女零元籍和右扎零元瓦，則θl=砌θr=面θ且零小元θ是惟家一的矛。定理6.戴2.萌5給定<S，⊙>且|S|＞1。如起果θ，e∈S，其隱中θ和e分別璃為關掏于⊙敢的零千元和壘幺元稻，則θ默≠e。6.諷2代數(shù)禮系統(tǒng)降的基糟本性姨質(zhì)性質(zhì)7等冪森律與蛋等冪莊元給定<S，⊙>，則厘“⊙先”是啄等冪寒的或棋“⊙順”滿菌足等行冪律咳：(x)(x∈S→x⊙x=x)給定<S，⊙>且x∈S，則x是關效于“象⊙”州的等圾冪元誕：x⊙x=x于是包，不千難證糖明下杜面定孤理：定理6.鼓6若x是<S，⊙>中關炮于⊙晃的等敏冪元腐，對冷于任懂意正跪整數(shù)n，則xn=x。例6.彎19給定<P(S)，∪純，∩>，其貿(mào)中P(S)是集叛合S的冪墊集，榨∪和斤∩分迫別為講集合受的并庫和交協(xié)運算紫。驗溝證：冒∪和司∩是俘等冪況的6.甘2代數(shù)浸系統(tǒng)圖的基過本性濱質(zhì)性質(zhì)8逆元給定<S，⊙>且幺仰元e，x∈S，則x為關直于⊙刊的左狗逆元波：(y)(y∈S∧x⊙y=e)x為關爛于⊙氏的右痕逆元留：(y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關接于⊙糕可逆胡的：(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)給定<S，⊙>及幺敗元e；x，y∈S，則y為x的左樣逆元?。簓⊙x=y為x的右溪逆元溪：x⊙y=ey為x的逆錘元：y⊙x=x⊙y=e6.疑2代數(shù)釀系統(tǒng)既的基裹本性外質(zhì)顯然硬，若y是x的逆巡壽元，徒則x也是y的逆盤元，艦因此賽稱x與y互為塊逆元災。通銳常x的逆謠元表傲為x-1。一般懼地說臭來，違一個傾元素片的左堅逆元值不一喬定等丈于該明元素拖的右叔逆元叮。而單且，乎一個魄元素程可以紐奉有左絮逆元庸而沒僚有右舅逆元五，反克之亦飛然。須甚至真一個賭元素只的左隆或右跑逆元邀還可麥以不芬是惟浸一的或。例6.尤20給定<S，*>，其崇中S={上α，β，γ，δ，ζ}且*畢的定龜義如趕表6.鉆10所示鏟。試呢指出蒜該代蜘數(shù)結(jié)織構(gòu)中腸各元藝素的膏左、角右逆誤元情耽況6.篩2代數(shù)慌系統(tǒng)遲的基路本性丟質(zhì)表6.寸10*眾α室β盯γ所δ鄉(xiāng)豐ζα虹α父β賴γ溪δ役ζβ悅β濁δ作α瓣γ家δγ默γ林α類β享α陵βδ馳δ乎α五γ勞δ帶γζ核ζ叛δ旨α練γ嬸ζ定理6.憲7給定<S，⊙>及幺填元e∈S。如將果⊙園是可毛結(jié)合絕的并匯且一典個元薪素x的左執(zhí)逆元xl-1和右多逆元xr-1存在徹，則xl-1=xr-1。定理6.普8給定<S，⊙>及幺進元e∈S。如炎果⊙女是可仆結(jié)合辨的并駛且x的逆名元x-1存在埋，則x-1是惟替一的冶。例如汽在例6.預1中，拾顯然<R，+，×>中運賄算+和×都是已可結(jié)南合的渠，而1和0分別向為×和+的幺汪元，懇故可脫驗證惑，對靠于×來說第，除0外每脖個元孔素r∈R都有愿逆元1/r；對驅(qū)于+而言普，對惑每個重元素r∈R都有咱逆元(-r)。6.歌2代數(shù)爽系統(tǒng)腫的基妖本性珠質(zhì)性質(zhì)9可約舊率與攔可約捆元給定<S，⊙>且零棉元θ∈S，則⊙滿取足左勢可約偶律或法是左互可約侍的：(x)(y)(z)(街(x，y，z∈S∧x≠繡θ∧x⊙y=x⊙z)饞→y=z)，并孤稱x是關道于⊙妹的左?？杉s陸元?！褲M藏足右妖可約困律或潮是右證可約蓮的：(x)(y)(z)(期(x，y，z∈S∧x≠御θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并串稱x是關遮于⊙覺的右圍可約壺元。若⊙丟既滿軍足左凱可約識律又導滿足語右可厭約律歪或⊙掙既是持左可禁約又窮是右觸可約備的，防則稱箭⊙滿橡足可闊約律聲或⊙并是可塔約的央。若x既是糾關于負⊙的辟左可鞋約元濟又是檢關于掉⊙的賭右可躁約元儀，則蒼稱x是關艱于⊙抄的可胳約元陜。6.燥2代數(shù)疾系統(tǒng)甜的基臘本性瓦質(zhì)可約權(quán)律與墊可約兩元也肺可形解式地悟定義凝如下層：⊙滿練足可塵約律逃：(x)(y)(z)(x，y，z∈S∧x≠折θ∧兆((x⊙y=x⊙z∨y⊙x=z⊙x)→y=z))給定<S，⊙>且零姻元θ，x∈S。x是關奧于⊙稈的可浩約元穗：(y)(z)(y，z∈S∧x≠糞θ∧智((x⊙y)=x⊙z∨y⊙x=z⊙x)→y=z))。6.律2代數(shù)郊系統(tǒng)鵲的基益本性熊質(zhì)例6.鑒24給定<Z，×>，其禽中Z是整問數(shù)集寄合，×是一刑般乘娛法運點算。止顯然括，每兇個非聰零整行數(shù)都豆是可葵約元兼，而乒且運繼算×滿足由可約束律。定理6.蘋9給定<S，*>且*膜是可甘結(jié)合頌的，屑如果x是關考于*寨可逆芬的且x≠絮θ，則x也是被關于丟*的俯可約股元。6.短2代數(shù)芽系統(tǒng)精的基何本性烤質(zhì)最后攻，作鵝一補捧充說皂明，肆用運里算表諒定義膛一代譜數(shù)結(jié)脾構(gòu)的掌運算見，從性表上病能很盆好地親反映嚼出關華于運瞇算的博各種弓性質(zhì)討。為希確定謹起見去，假跑定<S，*>及x，y，θ，e∈S。(1萍)運算晝*具坑有封顆閉性她，當另且僅厭當表講中的牧每個件元素鄰都屬氧于S。(2甜)運算據(jù)*滿哲足交卵換律柏，當舅且僅撈當表綁關于飯主對己角線嫁是對寧稱的習。(3垮)運算遺*是纏等冪艇的，帝當且四僅當佳表的閃主對婆角線夏上的疫每個政元素稍與所距在行搬或列賠表頭親元素仙相同(4訊)元素x是關自于*妙的左杜零元成，當嶼且僅欠當x所對伙應的今行中愚的每弓個元成素都藏與x相同診；元胡素y是關身于*頁的右摧零元流，當?shù)虑覂H筍當y所對飯應的晚列中那的每顆個元炕素都逮與y相同平；元殖素θ是關磚于*幣的零址元，魯當且綢僅當θ所對餓應的炎行和貴列中廉的每乘個元遷素都負與θ相同追。6.巴2代數(shù)哭系統(tǒng)為的基百本性擴質(zhì)(5拋)元素x為關談于*繳的左嚼幺元彼，當鉗且僅仇當x所對妖應的留行中株元素宏依次延與行漫表頭匹元素戶相同鑰；元意素y為關賤于*而的右呆幺元金，當繼且僅販當y所對姜應的研列中私元素世依次靈與列略表頭肥元素簡相同盾；元蛋素e是關卷于*崇的幺捕元，斯當且鉛僅當e所對鉗應的鋸行和萍列中仙元素伙分別泛依次萍地與揮行表搞頭元李素和患列表肌頭元奪素相質(zhì)同。(6螞)x為關石于*叛的左塊逆元齊，當當且僅五當位餅于x所在盤行的輩元素胞中至畫少存嘆在一逮個幺鈴元，y為關倚于*鋤的右政逆元辜，當妥且僅體當位祝于y所在舞列的舊元素填中至泛少存呆在一貓個幺開元；x與y互為擺逆元許，當沫且僅作當位樸于x所在孫行和y所在貿(mào)列的址元素薪以及y所在挨行和x所在孝列的勵元素經(jīng)都是士幺元屠。6.宣2代數(shù)因系統(tǒng)大的基忍本性廁質(zhì)6.純2代數(shù)擴系統(tǒng)惹的基館本性討質(zhì)PART01PART02PART03代數(shù)結(jié)系統(tǒng)尾的一沈般概制念代數(shù)抗系統(tǒng)刺的基搏本性史質(zhì)同態(tài)懲與同朗構(gòu)PART04代數(shù)滑系統(tǒng)甲實例PART05同余盼、商凝代數(shù)悟、積秩代數(shù)6.憑3同構(gòu)慕與同綱態(tài)6.僵3.邁1同態(tài)定義6.盈6：設有豆兩個堪代數(shù)衫系統(tǒng)<A，°>，<B，*>，其組中*與o均為詳二元絲式運算砌，則酷稱<A，o>同態(tài)宵于<B，*>，若脆存在對映射f：AB，使劈燕得對址任意壓的a，bA。有瓶：f（a*侮b）=f（a）of（b）其中f（a），f（b）與f（a*北b）均黨為B中的揀元素殼。此漫時稱f為代貫數(shù)系械統(tǒng)<A，°>到代兇數(shù)系忘統(tǒng)<B，*>的一擴個同堤態(tài)映釀射。6.溪3同構(gòu)度與同字態(tài)例6.含25：考慮帳帶加貓法運踢算的自然簽數(shù)，即并代數(shù)嘆系統(tǒng)<N后,+贊>。保駝持加親法不引變的他函數(shù)籠有如貌下性龍質(zhì)：f(恥a恩+芹b)課=寧f股(a推)商+芬f(須b)白.不妨五取映愧射f(形x)攝=醋3睜x，f（x）就濕是這扮樣的彩一個血同態(tài)朋，因杰為f(豆a摸+線b)數(shù)=介3筍(a還+兵b飛)偵=評3a蛛+友3妨b澇=餐f(權(quán)a)始+便f尺(b還)。注招意這援個同青態(tài)從源自然柜數(shù)映膠射回刺自然照數(shù)，耍代數(shù)摧系統(tǒng)<N癥,+廉>到代皺數(shù)系衫統(tǒng)<N壞,+走>在f（x）的暮映射爸下是屬同態(tài)年的，窩這個揀性質(zhì)僅也成狹為自同槐態(tài)，f（x）稱滑為自同六態(tài)映籃射。同態(tài)噸不必無從集駛合映羞射到倡帶相微同運羊算的佛集合裝。6.阻3同構(gòu)拒與同夢態(tài)例6.睬26：考慮早保持腹運算現(xiàn)的從出帶加嚼法的志實數(shù)化集到叢帶乘諒法的社正實祥數(shù)集冬，即喜考慮季兩個弊代數(shù)絮系統(tǒng)過，<R味,+掌>和<趣R+,*織>,其中+，*是普遞通的熄加法嬸和乘弄法，R+表示供正實字數(shù)集泄合。步保持尤運算硬的函梁數(shù)滿援足：f(輪a造+巾b)巧=狗f鈔(a約)玩*描f(監(jiān)b)，因墻為加芹法是萬第一黃個集畫合的悔運算換而乘慘法是逐第二云個集恥合的放運算爭。指座數(shù)定陸律表冠明f(臭x)雨=漂ex滿足竟如下框條件:披2霸+休3仍=歐5變?yōu)閑2*蓋e3=幫e5.因此蛙取R到R+的映艙射為別如上貨的指忘數(shù)函鋒數(shù)，疫則<R緩,+則>和<掙R+,*侮>在f（x）的樓映射雙下是崇同態(tài)見的。同態(tài)功的一名個特揪別重訴要的掙屬性御是幺喉元具鄉(xiāng)豐有保獵持性斤。也漢即，寇如果趙幺元污存在過，它迅將被奸保持豆，一涂個集龜合的遺幺元脂被映筒射為強另一巾個集厚合中進的幺賣元。叼注意畫在例6.有10中，f(答0)根=充0匙,而零炸是加倡法幺戀元。楚在例6.非11中，f(蜂0)唱=沙1，因資為0是加酬法幺倚元，物而1是乘曲法幺閃元，豆代數(shù)掠系統(tǒng)<R蛾,+脫>的幺溉元被f（x）映繡射到<鵲R+,*叼>的幺隙元。若考態(tài)慮集押合上阻的多未個運尤算，究則保爪持所頃有運賓算的己函數(shù)猾可以潔視為擺同態(tài)匯。6.王3同構(gòu)無與同街態(tài)例6.笑27：設<Σ為*，∥>與<N，+>是同烈類型疊的，燦其中Σ*為有漫限字脖母表斃上的刮字母陵串集捎合，過∥為框并置鞏運算嘩，N為自血然數(shù)壁集合螺，+為普計通加板法。遭若定忠義f：Σ*后→N為f(x)=占|x|其中x∈Σ于*，這掠里|x|表示壓字母宴串的肺長度古。解：因為飄對任條意x，y∈Σ詞*，有f(x∥y)=眨|x∥y|驕=咐|x|才+墳|y|證=f(x)+f(y)，故<Σ踢*，∥>~<N，+>。顯然傅，f是滿朱射，菊因此數(shù)，f為從<Σ釋*，∥>到<N，+>的滿翁同態(tài)顏映射英。6.壟3同構(gòu)闊與同倡態(tài)例6.拋29：考察番代數(shù)刮系統(tǒng)U=盯<N，*>和V=舍<{怎0,廢1}，*>，其殃中*是普飯通意寒義下智的乘肯法運物算。莊定義f：N{0黃,1淋}為證明欄：f是U到V的同杰態(tài)映鎖射。設φ是V1=<的S1,o共>到V2=<糞S2,*清>的同午態(tài)映另射，摔如果φ是滿繁射，謙稱V1和V2是滿同舞態(tài)的，恭記為V1V2；如捆果φ是單政射，飄稱V1和V2是單同塵態(tài)的；若存膜在從V1到V2的滿涌同態(tài)φ，則樸稱V2為V1在φ下的同態(tài)桌象。6.補3同構(gòu)尿與同聽態(tài)6.未3.慣2同構(gòu)定義6.略7設有脫兩個突代數(shù)達系統(tǒng)<A，°>，<B，*>，若露能在腳集合A與B之間談構(gòu)造躍映射f，滿狗足如緊下要針求：(1搏)yB均xA，使灣得y=息f(成x)。(2傷)當x1,x2A,施x1x2有f(冬x1),賓f(捎x2)B,摧f嚴(x1)f(蟻x2)。(3杯)x1,x2A有f(蘋x1ox2)=左f(辦x1)稈of牲(x2)。則稱泡二個求代數(shù)晃系統(tǒng)疫的結(jié)派構(gòu)相氣同，駐簡稱妹同構(gòu)密，記耗為<A，°>≌<B，*>。此廊時，漸一個榆系統(tǒng)司的運燦算性晝質(zhì)與服規(guī)律乞，可合以完駐全遷逆移到塞另一小個代描數(shù)系睜統(tǒng)中瓶。6.秘3同構(gòu)槳與同迅態(tài)由定育義可園知，態(tài)同構(gòu)啦的條柏件比丈同態(tài)屢強，巾關鍵旋是同細構(gòu)映米射是旁雙射蚊，即辣一一燭對應史。而磚同態(tài)鼻映射澡不一需定要陡求是果雙射趕。正盡因為夸如此堅，同妻構(gòu)不供再僅送僅象感滿同振態(tài)那洪樣對易保持礦運算福是單侍向的伐了，界而對港保持前運算羅成為烤雙向韻的。維兩個墊同構(gòu)播的代蘆數(shù)，俱表面劃上似撲乎很癥不相籠同，秘但在李結(jié)構(gòu)敞上實從際是陷沒有豈什么捉差別孝，只悄不過畏是集咱合中睛的元蒙素名消稱和沃運算伯的標匹識不應同而蠅已，鞠而它句們的標所有絨發(fā)生滾“彼柿此相銷通”惜。這湯樣，夕當探彩索新李的代要數(shù)結(jié)蘆構(gòu)的攝性質(zhì)蔑時，地如果退發(fā)現(xiàn)蓄或者梯能夠川證明慎該結(jié)筆構(gòu)同碗構(gòu)于毀另外會一個專性質(zhì)溪已知輩的代宴數(shù)結(jié)潛構(gòu)，辱便能藍直接尖地知消道新俯的代件數(shù)結(jié)陶構(gòu)的遙各種樣性質(zhì)碑了。鄭對于腫同構(gòu)形的兩裹個代助數(shù)系天統(tǒng)來畜說，川在它盜們的仿運算唯表中企除了框元素慕和運叮算的咽標記根不同劇外，鹿其它幫一切塞都是踩相同叛的。仍因此列，可偵以根擔據(jù)這換些特極征來敢識別草同構(gòu)悟的代飯數(shù)系闊統(tǒng)。6.參3同構(gòu)首與同堵態(tài)一般兇來說已，如諒果忽但略掉不同構(gòu)冷的對醉象的冒屬性仔或操隔作的頓具體兆定義路，單跨從結(jié)背構(gòu)上希講，僅同構(gòu)米的對跟象是理完全手等價史的。勸同構(gòu)記是在鉗數(shù)學緞對象慈之間社定義拼的一敲類映射,它能隆揭示料出在蘆這些裕對象樓的屬促性或患者操哨作之縫間存根在的構(gòu)關系輩。若猛兩個溝數(shù)學聚結(jié)構(gòu)柿之間堂存在鋼同構(gòu)授映射托，那呈么這吼兩個床結(jié)構(gòu)紡叫做易是同偵構(gòu)的柳。6.佩3同構(gòu)湊與同霜態(tài)例6.淡32：V=遍<Z尋,+體>，給容定aZ，令則對所以是V到V的同惑態(tài)，來即自同裕態(tài)。當a=與0時，景有,稱為零同域態(tài)。當a=敲1時，艷有,即恒央等映絮射，寒它是撞雙射針的，艦這時何，是V的自同夜構(gòu)，同吊理可程證也是V的自柜同構(gòu)暴。當且時，陳易證是單捷射的室，這黎時是V的單自騾同態(tài)。6.立3同構(gòu)籮與同萌態(tài)例6.板34：令<F，○>與<Z4，+4>是同鬼類型殊的，煮其中F={f0，f1，f2，f3}，“宗○”洲定義抱如表6.歉13所示致；Z4={藥[0輪]，[1磁]，[2都]，[3脹]}，+4定義寸如表6.斧14，試說憶明<F，○>鴉≌焦<Z4，+4>。表6.照13○f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2表6.討14+40幟1抖2推30痕0見1倘2腹31穴1胳2清3州02照2盯3芒0良13鞠3呆0送1罷26.虎3同構(gòu)聲與同迫態(tài)例6.蜂35：給定<S，∩還，∪>，其咸中S={，A，B，C}，∪悠和∩雨是一老般的傻集合兇運算堪；又驅(qū)有<T，，>，這暮里T=挑{1，2，5，10共}，且拾對于a，b∈T有ab=l拍cm濫{a，b}，ab=gc才d{a，b}，表6.攻15至表6.街18給出億四個六運算紋表。乖試說純明<S，∩狗，∪>≌粗<T，，>其中l(wèi)c例m動{a，b}表示a和b的最轟小公遞倍數(shù)比，gc位d{a，b}表示a和b的最恭大公織約數(shù)表6.哲1砌5∪ABC目ABCAAACCB責B猾C封B酒CC摔C綁C鵲C撇C6.腳3同構(gòu)篇與同螺態(tài)表6.16∩ABC多扯餃匪AAAB讓BBCA年B允C表6.哨171很2繳5污101拔1泛2章5柳102茫2都2岔10省105執(zhí)5鼻10娃5勉1010午1漢0您1兼0舌1燦0挽10表6.勇181胸2常5昆1職01曾1脹1債1網(wǎng)12圣1紫2米1抱25增1置1姨5功510符1躺2雨5匆1渾06.體3同構(gòu)坡與同倦態(tài)6.盟3.災3同構(gòu)穩(wěn)與同戚構(gòu)的仙性質(zhì)定理6.誤10：給定<X，⊙澇，*>~<Y，，>且f為其魔滿同番態(tài)映堵射，誕則(a)如果搖⊙和*滿足貪結(jié)合拐律，隊則和也滿潛足結(jié)嗚合律柱。(b)如果垮⊙和*滿足儲交換災律，農(nóng)則和也滿伍足交勵換律聞。(c)如果蠻⊙對敗于*或*對于仔⊙滿帥足分傷配律極，則對于或?qū)τ谝蚕嘤皯獫M選足分邪配律炊。(d)如果包⊙對養(yǎng)于*或*對于底⊙滿脅足吸額收律加，則對于或?qū)τ谝矟M掙足吸超收律暴。(e)如果韻⊙和*滿足爪等冪艷律，臂則和也滿梨足等窮冪律獵。(f)如果e1和e2分別卡是關校于⊙悠和*的幺邁元，天則f(e1)和f(e2)分別漿為關寶于和的幺旦元。(g)如果θ1和θ2分別輝是關牌于⊙啞和*的零常元，被則f(θ1)和f(θ2)分別難為關救于和的零余元。(h)如果跳對每稅個x∈X均存青在關痰于⊙桑的逆拴元x-1，則脅對每宰個f(x)∈Y也均鞭存在惜關于的逆迎元f(x-1)；如畝果對羊每個z∈X均存劈燕在關粒于*的逆舅元Z-1，則延對每成個f(z)∈Y也均常存在飲關于的逆耐元f(z-1)。6.腰3同構(gòu)賽與同勵態(tài)定理6.罷11:代數(shù)濾系統(tǒng)錄間的喇同構(gòu)爪關系離是等絡價關扭系。由于矮同構(gòu)舟關系立是等稻價關茫系，敞故令軋所有坡的代誓數(shù)系艘統(tǒng)構(gòu)補成一甚個集牛合S，于坊是可暈按同限構(gòu)關叼系將樹其分按類，顏得到餡商集S/≌?；ㄒ驗閱T同構(gòu)照的代草數(shù)系術統(tǒng)具疏有相替同的莫性質(zhì)描，故捐實際和上代陷數(shù)系窯統(tǒng)所次需要培研究丈的總掃體并旺不是S而是S/≌。在同塞態(tài)與謝同構(gòu)們中有斜一個泄特例干，即脅具有濁相同副集合臺的任所兩個淺代數(shù)陰系統(tǒng)飲的同健態(tài)與礙同構(gòu)義，這論便是異自同咽態(tài)與拿自同倚構(gòu),如例6.暖25和例6.畏35。6.歉3同構(gòu)蠶與同賢態(tài)圖6.院3示出序了各展類同葛態(tài)與銅同構(gòu)論的關初系。檔圖中H禾=同態(tài)究的集趟合，M能=單同勁態(tài)的抄集合奏，P許=滿同永態(tài)的隔集合如，S謠=同構(gòu)浸的集悅合，N諸=子同要態(tài)的每集合崇，A唉=自同燦構(gòu)的憑集合.注意:屬M∩P師=笛S,名S∩N碎=王A,腔(M∩N)仗\撿A并且(P∩N)役\私A只包暈含無楚限代株數(shù)結(jié)擱構(gòu)到狡自身齊的同顯態(tài)。PART01PART02PART03代數(shù)溪系統(tǒng)窯的一勿般概看念代數(shù)高系統(tǒng)全的基除本性翁質(zhì)同態(tài)捷與同馬構(gòu)PART04代數(shù)焦系統(tǒng)輔實例PART05同余漢、商犁代數(shù)柳、積貓代數(shù)6.械4同余軋關系定義6.臟8：給定<S，⊙>且E為S中的吧等價疑關系塘。E關于睛⊙有冠代換褲性質(zhì)相：(x1)(x2)(y1)(y2)(趴(x1，x2，y1，y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→位(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的容同余輸關系庸：E有代央換性侄質(zhì)。與此醒同時郵，稱擁同余葵關系E的等訊價類摩為同雷余類質(zhì)。6.李4同余富關系由定瘋義可他知，致同余慘關系棵是代襲數(shù)結(jié)薯構(gòu)的著集合離中的鞋等價銳關系勤，并黑且在騙運算筑的作汁用下異，能嫂夠保薦持關踏系的匠等價速類。荷即在x1⊙y1中，嫂如果時用集待合S中的鎖與x1等價由的任由何其腸它元勇素x2代換x1，并消且用歌與y1等價獎的任挪何其執(zhí)它元怖素y2代換y1，則總所求估的結(jié)僵果x2⊙y2與x1⊙y1位于怕同一嚴等價雨類之貸中。壁亦即愛若[x1]E=數(shù)[x2]E并且[y1]E=百[y2]E，則[x1⊙y1]E=林[x2⊙y2]E。此看外，哥同余影關系尸與運術算密叫切相扒關。已如果婆一個示代數(shù)鋒結(jié)構(gòu)莖中有膚多個酷運算疲，則飽需要量考察御等價麥關系揚對于搏所有泉這些仆運算猛是否早都有聽代換通性質(zhì)均。如害果有目，則勾說該邁代數(shù)召結(jié)構(gòu)酷存在蜘同余逝關系牽；否疤則，盜同余槽關系送不存咐在。6.蔽4同余枝關系定理6.暫12：設<S，⊙>與<T，*>是同甲類型內(nèi)的且f為其尤同態(tài)千映射谷。對葉應于f，定抱義關撲系Ef如下駝：xEfy：f(x)=f(y)，其中x，y∈S則Ef是<S，⊙>中的歷同余嫂關系絮，并史且稱Ef為由陵同態(tài)虧映射f所誘權(quán)導的趁同余豎關系返。由于咸同態(tài)都映射插不惟壯一，田根據(jù)復定理6(洗1)畜.4終.1，可鼠以推晚知同盞余關挑系也布不惟投一。6.袍4同余旁關系例6.鐘37：設<Z，′驢>與<B，ˉ>是同吵類型畏的，扛其中Z是整屋數(shù)集種合，B=漿{0，1}，′和ˉ定義咳如下鏈：i′拆=i+崇1i∈Zb=(b+1飯)(mo卵d2)b∈B又設f∈BZ：f(i)=題(i)(mo飲d2)其中i∈Z試指臭出f所誘充導的徑同余輛關系料。6.兩5商代惕數(shù)定義6.枕9：給定<S，⊙>并且E為S中的告等價兔關系鍬。E關于扔⊙具貫有代笛換性寶質(zhì)：(?x1)(漂?x2)(悠?y1)(習?y2)(端(x1，x2，y1，y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→饅(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的堪同余兇關系依：E有代眉換性誕質(zhì)。拋與此陜同時摟，稱茄同余送關系E的等凱價類臘為同余配類。6.清5商代藥數(shù)例6.脹38：給定<Z，+，*>，其風中Z是整蝴數(shù)集歷合，+和*是一角般意暮義下澆的加箭法和靠乘法殃。假穴設Z中的怒關系R定義左如下踏：問，R是該歸結(jié)構(gòu)浩的同耐余關調(diào)系嗎駱，為片什么趟？6.普5商代輪數(shù)定義6.艱9：給定<S，⊙>及其贈上的證同余額關系E，且表由E對S所產(chǎn)喘生同閥余類剪所構(gòu)迫成一法個商滿集S/拔E。若剝在S/濤E中定釘義運她算*如下竟：[x穴]E摔*辭[y雜]E控=器[魚x⊙y]竭E其中[x問]E，[y添]E∈S/芝E于是<S靠/E，*>構(gòu)成輩了一荒個代鉆數(shù)結(jié)科構(gòu)，過則稱<S輩/E，*>為代螞數(shù)結(jié)湊構(gòu)<S，⊙>的商代遇數(shù)。例6.室39給定<N，+>，其桌中N是自塞然數(shù)農(nóng)集合熟，+是一魂般意婚義下嶺加法廢。又截知<Zm，+m>其中拒，Zm={五0,泊1，，m-擠1}，+m為模m加法穴。并謹且在N中定善義關紫系E：試證鋪明E為<N，+>中的孕同余毫關系靜，并貝給出踢與E相關笨的自織然同途態(tài)映賀射gE。6.禮6積代咸數(shù)定義6.只11：設<S，⊙>與<T，*>是同嬌類型班的，酸而<S愧×T，?>成為姓新的堤代數(shù)僻結(jié)構(gòu)月，其劣中S×擇T是集嗚合S和集膝合T的笛租卡兒炕積，乘且?定義雕如下梁：<s1，t1>?<s2，t2>團=