學(xué)案函數(shù)模型及應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考一輪數(shù)學(xué)課件

學(xué)案10函數(shù)模型及應(yīng)用返回目錄

1.構(gòu)建函數(shù)模型的基本步驟不同的函數(shù)模型能夠刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律,函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)、生活、科技中很多實(shí)際問(wèn)題.

解決應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟:

（1）審題:弄清題意,分析條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,恰當(dāng)選擇模型;

（2）建模:將文字語(yǔ)言、圖形（或數(shù)表）等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；考點(diǎn)分析返回目錄

（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.2.常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)型y=kx+b;(2)反比例函數(shù)型y=(k≠0);(3)二次函數(shù)型y=ax2+bx+c(a≠0);(4)指數(shù)函數(shù)型y=N(1+p)x(增長(zhǎng)率問(wèn)題)(x>0);(5)對(duì)數(shù)函數(shù)型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0);(6)分段函數(shù)型.返回目錄

考點(diǎn)一二次函數(shù)模型如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分別截取AE,AH,CG,CF都等于x,當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?并求出最大面積.題型分析返回目錄

【解析】設(shè)四邊形EFGH的面積為S,則

S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x),

【分析】依據(jù)圖形建立起四邊形EFGH的面積S關(guān)于自變量x的目標(biāo)函數(shù),然后利用解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出S的最大值.由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0<x≤b}.又0<b<a,∴0<b<,若≤b,即a≤3b時(shí),則當(dāng)x=時(shí),S有最大值;若>b,即a>3b時(shí)，S(x)在(0,b］上是增函數(shù).此時(shí)當(dāng)x=b時(shí)，S有最大值為-2b-()2+=ab-b2.綜上可知，當(dāng)a≤3b時(shí)，x=時(shí)，四邊形面積Smax=,當(dāng)a>3b時(shí)，x=b時(shí)，四邊形面積Smax=ab-b2.返回目錄

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【評(píng)析】二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù),建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值,解決實(shí)際中的最優(yōu)化問(wèn)題,值得注意的是:一定要注意自變量的取值范圍,根據(jù)圖象的對(duì)稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解.＊對(duì)應(yīng)演練＊某人定制了一批地磚,每塊地磚(如圖2-10-2中(1)所示)是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在邊BC和CD上,△CFE,△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成,制成△CFE,△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3:2:1.若將此種地磚按圖中(2)所示的形式鋪設(shè),能使中間的深色陰影部分組成四邊形EFGH.返回目錄

(1)求證:四邊形EFGH是正方形;(2)E,F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料的費(fèi)用最省?返回目錄

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(1)證明:圖(2)是由四塊圖(1)所示地磚繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的,△CFE為等腰直角三角形,∴四邊形EFGH是正方形.(2)設(shè)CE=x,則BE=0.4-x,每塊地磚的費(fèi)用為W,制成△CFE,△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a,2a,a(元),W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+〔0.16-x2-×0.4×(0.4-x)〕a=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0<x<0.4).

由a>0,當(dāng)x=0.1時(shí),W有最小值,即總費(fèi)用最省.

答:當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最省.返回目錄

考點(diǎn)二分段函數(shù)型某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元,但每生產(chǎn)100臺(tái),需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬(wàn)元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái),銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x-(萬(wàn)元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺(tái)).(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù);(2)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠所得利潤(rùn)最大?(3)年產(chǎn)量是多少時(shí),工廠才不虧本?返回目錄

【解析】(1)當(dāng)x≤5時(shí),產(chǎn)品能售出x百臺(tái);當(dāng)x>5時(shí),只能售出5百臺(tái),故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)(5x-)-(0.5+0.25x)(5×5)-(0.5+0.25x)4.75x--0.5(0≤x≤5)12-0.25x(x>5).【分析】對(duì)于一些較復(fù)雜的應(yīng)用題,有時(shí)僅構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型還不能解決根本問(wèn)題,需先后或同時(shí)構(gòu)造、利用幾個(gè)數(shù)學(xué)模型才可.==(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí),L(x)=4.75x--0.5,當(dāng)x=4.75時(shí),L(x)max=10.78125萬(wàn)元.當(dāng)x>5時(shí),L(x)=12-0.25x為減函數(shù).此時(shí)L(x)<10.75(萬(wàn)元).∴生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大.0≤x≤5x>54.75x--0.5≥012-0.25x≥0,得x≥4.75-=0.1（百臺(tái))或x<48(百臺(tái)).∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4800臺(tái)時(shí),工廠不虧本.返回目錄

(3)由或【評(píng)析】本題主要考查運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查分析問(wèn)題能力和數(shù)學(xué)思維能力.本題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想,在解題思維中蘊(yùn)含著分類討論思想.返回目錄

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＊對(duì)應(yīng)演練＊某影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，根據(jù)該影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每張票價(jià)不超過(guò)10元時(shí)，票可全部售出，當(dāng)每張票價(jià)高于10元時(shí)，每提高1元，將有30張票不能售出.為了獲得更好的收益，需給影院定一個(gè)比較合理的票價(jià)，要求它符合以下三個(gè)基本條件：①為方便找零與算賬，票價(jià)為1元的整數(shù)倍；②影院放映一場(chǎng)電影的成本費(fèi)用支出為5750元，票房收入必須高于成本支出.用x（元）表示每張票的票價(jià)，用y（元）表示該影院放映一場(chǎng)電影的凈收入（除去成本費(fèi)用后的收入部分）.（1）求函數(shù)y=f(x)的解析式和它的定義域；（2）試問(wèn)在符合基本條件的前提下，每張票價(jià)定為多少時(shí)，放映一場(chǎng)的凈收入最大？返回威目錄（1）依染題意講，當(dāng)x≤招10時(shí)，繪總收易入為1綿00醫(yī)0x，∴y=尺1秤00爬0x恥-5冷7各50稈,當(dāng)x>凡10時(shí)，據(jù)總收掌入為綁［1資00使0-勞30色(x姓-1譽(yù)0)］x,∴y垮=［1難00禮0-店30歸(x牢-1泰0)］x-尖5阿75聞0.由條俱件②舅，必掙有y>思0,1麥00切0x絞-5擔(dān)7盯50娃>0叨-注30禁x2+1用3據(jù)00壓x-歉5于75竊0>域0x≤游10或x>爭(zhēng)10促,解得5.啟75敲<x吊<雜.由于x∈戒N，∴6≤辯x≤度38基,y=微1繁00坦0x央-5游7懇50姜,絨6≤包x≤敵10畏,x的∈N，-3辱0x2+1枝3惑00沿x-娘5抱75占0，10急<x冒≤3棍8,乏x∈靠N.∴∴（2）當(dāng)y=左1啦00遙0x趨-5許7園50時(shí)，x=猛10時(shí)，yma拳x=4附2功50山,當(dāng)y=續(xù)-3埋0x2+1年3撞00捎x-河5貍75朋0時(shí)，y=裝-3則0(跑x-程)2+畜,∴當(dāng)x=修22時(shí)，yma觸x=8偽3婦30兩,即當(dāng)甜票價(jià)裁定為22元時(shí)尸，凈暴收入霧最大點(diǎn)，最瓦大值身為8業(yè)33畜0元.返回并目錄返回盾目錄考點(diǎn)找三挽指數(shù)點(diǎn)函數(shù)炸、對(duì)配數(shù)函屆數(shù)型19激99年10月12日“賄世界60億人犧口日饒”，鹿提出睛了“期人類膛對(duì)生慈育的僅選擇柿將決螺定世剛界未各來(lái)”盡的主王題，率控制水人口偉急劇壩增長(zhǎng)堡的緊逐迫任養(yǎng)務(wù)擺末在我螞們的暮面前.(1偏)世界斬人口券在過(guò)媽去40年內(nèi)娃翻了賽一番,問(wèn)每拉年人直口平襲均增長(zhǎng)率徹是多所少?(2察)我國(guó)斯人口廢在19愿98年底秒達(dá)到12烏.4雹8億,若將園人口削平均棄增長(zhǎng)率?？刂瓶p在1%以內(nèi),我國(guó)毯人口予在20絲式08年底撞至多撥有多少億?以下滾數(shù)據(jù)撿供計(jì)這算時(shí)側(cè)使用:數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對(duì)數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78對(duì)數(shù)lgN0.47710.69901.09621.11761.1392返回表目錄返回跟目錄【分析】增長(zhǎng)辟率問(wèn)家題是哨指數(shù)成函數(shù)故與冪清函數(shù)述問(wèn)題陽(yáng)，利恢用已注知條新件，使列出獎(jiǎng)函數(shù)遠(yuǎn)模型.【解析】(1單)設(shè)每勵(lì)年人辭口平姨均增挖長(zhǎng)率剝?yōu)閤,煌n年前揪的人燈口數(shù)通為y,則y·凈(1翁+x醒)n=6轟0,則當(dāng)n=歐40時(shí),y歡=3下0,即30粥(1瓣+x你)40=6皺0,餡∴(妄1+贏x)40=2乓,兩邊痛取對(duì)駕數(shù),則40波lg臘(1濕+x終)=革lg爛2,則lg膀(1饑+x兔)=煤=0奔.0堆07蹲5壤25靜,∴1典+x方≈1搞.0掩17狠,得x=道1.徹7%沫.(2嫩)依題崖意,y僑≤1窮2.垂48桶(1冠+1域%)10,得lg低y≤透lg煮12拜.4冠8+初10倦×l匙g1忠.0僚1=鄰1.題13尤9培2,∴y記≤1黨3.膨78推,故人寸口至蜜多有13與.7派8億.答:每年根人口殊平均指增長(zhǎng)鉛率為1.肉7%五,2仔00稈8年底縱人口需至多任有13欺.7佛8億.返回兇目錄【評(píng)析】此類您增長(zhǎng)道率問(wèn)暢題,在實(shí)具際問(wèn)這題中敲?？刹∫杂弥е笖?shù)嘴函數(shù)薄模型y=踢N(辰1+職p)x(其中N是基寫礎(chǔ)數(shù),p為增演長(zhǎng)率,x為時(shí)外間)和冪棋函數(shù)統(tǒng)模型y=很a(駛1+裁x)n(其中a為基抵礎(chǔ)數(shù),x為增甜長(zhǎng)率,n為時(shí)努間)的形謹(jǐn)式.解題哥時(shí),往往愚用到僅對(duì)數(shù)痰運(yùn)算,要注麻意與伐已知嬌表格茄中給獄定的舉值對(duì)仙應(yīng)求突解.返回滑目錄＊對(duì)室應(yīng)演驗(yàn)練＊某工隨廠20盒06年生墨產(chǎn)某愈種產(chǎn)撈品2萬(wàn)件瓦，計(jì)燒劃從20恥07年開(kāi)槍始每世年比面上一膽年增鈔產(chǎn)20稿%，問(wèn)爺從哪罷年開(kāi)虹始這魂家工談廠生通產(chǎn)這婦種產(chǎn)渡品的蝴年產(chǎn)渾量超昏過(guò)12萬(wàn)件匆（lg壯2=具0.朵30款10惱,l鵲g3組=0套.4成77廣1）?設(shè)從20示06年開(kāi)活始x年后,這家口工廠盯生產(chǎn)母這種閥產(chǎn)品莫的年轉(zhuǎn)產(chǎn)量奔超過(guò)12萬(wàn)件撤，依崖題意刊，得2(同1+綁20孕%)x-奸1>1峽2,即1.拜2x-裕1>6垂.x>補(bǔ)1+獅lo何g1.米26=驢1+竊=收1+=1重+=1渣+=1顧+茅=1趁0.砌8,恢∴x愛(ài)≥1告1.故從20歷18年開(kāi)卸始,這家陸工廠題生產(chǎn)脆這種凡產(chǎn)品簽的年皮產(chǎn)量番超過(guò)12萬(wàn)件.返回鬧目錄返回著目錄考點(diǎn)下四苗導(dǎo)數(shù)沙型某分掃公司皇經(jīng)銷沙某種據(jù)品牌俯產(chǎn)品沈，每肺件產(chǎn)忍品的般成本紡為３村元，刪并且躲每件藝產(chǎn)品鞭需向異總公逼司交a元（禾３≤a≤５）敬的管硬理費(fèi)窩，預(yù)罷計(jì)當(dāng)陜每件拒產(chǎn)品對(duì)的售俗價(jià)為x元（統(tǒng)９≤x≤１１扁）時(shí)淚，一縫年的價(jià)銷售擾量為戴（１挎２－x）２萬(wàn)件.（1）求穩(wěn)分公劑司一周年的嚷利潤(rùn)龍Ｌ（遭萬(wàn)元早）與語(yǔ)每件座產(chǎn)品此的售役價(jià)x（元處）的徒函數(shù)君關(guān)系鼻式；（2）當(dāng)燭每件替產(chǎn)品瓶的售垃價(jià)為畏多少黑元時(shí)習(xí)，分喚公司順一年旬的利糠潤(rùn)L最大譽(yù)，并庭求出堂Ｌ的糖最大銜值Ｑ徐（a）【分析】根據(jù)膽題意琴，找袋出利種潤(rùn)L與售己價(jià)x的關(guān)筒系，浩列出碑關(guān)系棄式，西求導(dǎo)送求解.返回獨(dú)目錄【解析】（１珠）分兆公司悼一年砌的利己潤(rùn)Ｌ瓣（萬(wàn)珍元）瞧與售梢價(jià)x（元圖）的黎函數(shù)安關(guān)系僚式為L(zhǎng)=（x-匙3-課a）(1愈2-扎x)2,x填∈［9,揮11］.（２半）Ｌ′(控x)＝（12哈-x喪)2-2盡(x妹-3袖-a）(1富2-述x）=(配12方-x賞)(急18鏈+2寨a-泥3x富).令Ｌ′梁(x嘆)＝０科得x1=6塘+夢(mèng)a或x2=1劑2（不串合題貓意，野舍去產(chǎn)）.∵３≤a≤５，材∴８建≤６滑＋a≤騙.在x＝６+樓a兩側(cè)秤Ｌ′(裙x)的值障由正設(shè)變負(fù)談，∴（遇１）或當(dāng)８咐≤６+廁a＜９諒，即踏３≤a＜述時(shí)，Ｌma黃x＝Ｌ(9精)＝（9-喂3-顛a）（12載-9）2=9村(6離-a）.（２漁）當(dāng)刪９≤批６+牙a踢≤，即晚≤a≤翠5時(shí)，Ｌma毫x＝Ｌ(６+版a獄)＝(6＋a-老3-籌a)〔12毅-(川6+猜)〕2=4霸(3釋-鋤a)3.9(屋6-同a)３≤a＜詞，4(捕3-紛a坑)3≤a昂≤５.若３攝≤a＜踩，輩則當(dāng)論每件電售價(jià)齊為９落元時(shí)矮，分劫公司嬸一年再的利姓潤(rùn)Ｌ沃最大管，最堵大值胞Ｑ（a）＝部９（嚼６－a）（徐萬(wàn)元未）；沒(méi)若≤a≤５，遺則當(dāng)借每件姐售價(jià)儉為(6爬+煩a)元時(shí)西，分潮公司屋一年滾的利睛潤(rùn)Ｌ載最大愁，最賀大值禁Ｑ（a）＝4(略3-鈔a)3（萬(wàn)彎元）.返回汁目錄∴Ｑ（a）=【評(píng)析】建立獲目標(biāo)束函數(shù)集后,若涉絨及解濃析式陷求最辰值問(wèn)如題,特別宿是三敵次函譽(yù)數(shù)解棉析式,常用幟導(dǎo)數(shù)復(fù)作為監(jiān)工具.返回財(cái)目錄＊對(duì)峰應(yīng)演貝練＊水庫(kù)儉的蓄鹽水量滅隨時(shí)辯間而麥變化.現(xiàn)用t表示符時(shí)間,以月侮為單端位,年初飼為起局點(diǎn).根據(jù)論歷年酸數(shù)據(jù),某水暮庫(kù)的強(qiáng)蓄水友量(單位:億立歉方米)關(guān)于t的近據(jù)似函嶄數(shù)關(guān)喂系式急為(-習(xí)t2+1提4t厚-4眉0)狐+輕50徑,巴0屯<t持≤1鋸0,4(裹t-爪10睡)(葉3t諷-4致1)買+5首0,勻10涼<t終≤1吃2.(1協(xié))該水獅庫(kù)的呀蓄水晴量小憤于50的時(shí)技期稱把為枯緣瑞水期.以i-陵1<五t<限i表示鍛第i月份刑（i=謙1,售2,徐…,降12津)，問(wèn)乖一年命內(nèi)哪作幾個(gè)誼月份紛是枯俊水期?(張2)求一牌年內(nèi)柏該水盤庫(kù)的仔最大兩蓄水蹲量(取e=扒2.般7計(jì)算).返回戀目錄V(撓t)帳=(1部)①當(dāng)0<閉t≤狠10時(shí),V(粗t)頑=(具-t2+1悔4t懂-4競(jìng)0)河+考50衫<5擇0,化簡(jiǎn)螞得t2-1連4t幟+4密0>麗0,解得t<鞠4或t>品10侍,又0<躬t≤狗10冷,故0<膠t<自4.②當(dāng)10駝<t使≤1訂2時(shí),V(鉤t)鼓=4寸(t屢-1勝0)柏(3呀t-偷41猛)+葬50地<5嚇0,化簡(jiǎn)躲得(t蹈-1詠0)捕(3屈t-探41界)<狐0,解得10胳<t斷<罰,又10菊<t胸≤1鑄2,故10再<t寬≤1率2.綜上蚊得0<慚t<但4或10待<t屬≤1定2.故知炒枯水脂期為1月,2月,3月,4月,1呀1月,1蓋2月共6個(gè)月.返回非目錄(2決)由(1嘉)知,V裝(t歪)的最漸大值觀只能妨在(4里,1票0)內(nèi)達(dá)皆到.由V′脹(t召)=忠(暴-賺t2+統(tǒng)t抄+4擊)=-商(混t+霸2)枕(t剪-8碑),令V′蠻(t匆)=翼0,解得t=朵8(宜t=弱-2舍去).當(dāng)t變化洪時(shí),V給′(朋t)與V(層t)的變豆化情薦況如猛下表:由上夠表,V杏(t