空間向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量

a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．平面向量基本定理問題1空間中的任意向量能不能通過有限個向量的線性運算來表示呢？復(fù)習(xí)回顧追問2

兩個不共線的向量還夠用嗎？

如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使

p＝xa＋yb．至少需要三個向量．追問1

為了表示空間中的任意向量，我們至少需要幾個向量？

三個向量共面

三個向量不共面abc追問3

任給三個向量都可以表示空間中的任意向量嗎？？

空間向量的投影思考

在平面向量的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影.類似地，向量a在向量b上的投影如何求？向量a向直線

l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？pijkPQOαxipijkPQOyjzkα我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p在

i，j，k上的分向量．xipijkPQOyjzk我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p在

i，j，k上的分向量．αabcp追問4

如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？abcOPαpacbBCAQQαabcOPpacbBCAOQPpacbBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．空間向量基本定理平面向量基本定理問題2你能類比平面向量基本定理的表述，寫出空間向量基本定理嗎？

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

那么，所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．空間向量基本定理

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．

我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．問題3空間的基底有多少個，需要滿足什么條件？答：任意三個不共面的向量都能構(gòu)成空間的一個基底．空間的基底有無窮多個．

{a，b，c}是空間的一個基底，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c不共面．

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．ijkOaijkPQO由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．

像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？{a，b，c}{e1，e2}二維三維空間向量基本定理平面向量基本定理向量共線充要條件如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．向量a(a≠0)與向量b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.{a，b，c}{e1，e2}二維三維一維{a}給我一個支點，我可以撬起地球．——阿基米德給我一個基底，我還你一個空間！例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示問：是否一定能做到？答：不共面，空間向量基本定理保證了可行性．可以構(gòu)成空間的一個基底．OABCMNP例題講解答：可以利用向量線性運算的

運算法則，如三角形法則、

平行四邊形法則等．問：如何進行表示？OABCMNP例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示解：OABCMNPQ

結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則、向量數(shù)乘等線性運算法則，將待求向量逐步轉(zhuǎn)化為基向量，將未知化歸為已知.用基向量表示空間向量的方法問題5通過這道例題的解題過程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表示空間向量的方法呢？練習(xí)1、2（課本P15習(xí)題T1，T2）練習(xí)3（課本P12練習(xí)T3）答：綜合幾何方法：問：證明異面直線垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質(zhì)等．例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．求證只需證ABCDA1B1C1D1MN454例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．問：如何計算？向已知條件轉(zhuǎn)化．ABCDA1B1C1D1MN454證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)4ABCDA1B1C1D1MN45用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問題的解把相關(guān)向量的運算轉(zhuǎn)化為基向量的運算向量問題的解選取基底(不共面且已知長度夾角)證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)立體幾何問題用向量方法解決立體幾何問題的路徑①適當(dāng)選取基底向量運算轉(zhuǎn)化②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為基向量的問題向量問題向量問題的解立體幾何問題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理答：可以取單位正交基底．例3如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;問：單位正方體這個條件對解題有什么作用？單位：基向量長度為1．正交：基向量兩兩垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意兩不同基向量數(shù)量積為0．問：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證，只需證存在實數(shù)λ，使得．例3如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG證明：設(shè)則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk問：如何用向量表示

CE與

AG所成角的余弦值？答：求與所成角的余弦值．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;（2）求