2021屆高考數(shù)學(xué)專題突破數(shù)列的概念及表示(解析版)

2020年高考數(shù)學(xué)數(shù)列與不等式突破性講練01數(shù)列的概念及表示一、考點(diǎn)傳真：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).二、知識(shí)點(diǎn)梳理：1.數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.【注意點(diǎn)】（1）.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))（2）.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).（3）.易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).三、例題：例1.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.【答案】-63【解析】由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，得an＝2an－1.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－1，公比為2的等比數(shù)列.∴S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(－（1－26）,1－2)＝－63.例2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由題意得a2=,a3=.(5分)(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù),所以=.故{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=.(12分)例3..(2014江西卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.【解析】(1)由Sn=,得a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-2.經(jīng)驗(yàn)證,a1=1符合an=3n-2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2.(2)證明:要使a1,an,am成等比數(shù)列,只需要=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此時(shí)m∈N*,且m>n,所以對(duì)任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.例4..(2014湖南卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=+(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,則A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n-2.四、鞏固練習(xí)：1.已知數(shù)列{an}滿足：任意m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，那么a5＝()A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)【答案】A【解析】由題意，得a2＝a1a1＝eq\f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq\f(1,8)，則a5＝a3·a2＝eq\f(1,32).2.在數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，則a2019的值為()A.－eq\f(1,4) B.5 C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)【答案】C【解析】在數(shù)列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－eq\f(1,－\f(1,4))＝5，a3＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,\f(4,5))＝－eq\f(1,4)，所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2019＝a673×3＝a3＝eq\f(4,5).3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，則S5＝()A.31 B.42 C.37 D.47【答案】D【解析】由題意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故數(shù)列{Sn＋1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為3，公比為2，則S5＋1＝3×24，所以S5＝47.4.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(（－1）n,an－1)(n≥2)，則a5等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3) C.eq\f(8,5) D.eq\f(2,3)【答案】D【解析】a2＝1＋eq\f(（－1）2,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(（－1）3,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(（－1）4,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(（－1）5,a4)＝eq\f(2,3).5．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a5的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】A【解析】由題意可得，an＋2＝an＋1－an，則a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故選A.6．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝()A．10 B．15C．－5 D．20【答案】D【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.7.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn【答案】A【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝lneq\f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．(－∞，3) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.9.數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是()A.3eq\r(10) B.19 C.eq\f(1,19) D.eq\f(\r(10),60)【答案】C【解析】令f(x)＝x＋eq\f(90,x)(x>0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)≥2eq\r(90)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3eq\r(10)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)閍n＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，所以eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，an＝eq\f(1,19)最大.10．若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,2)≤eq\f(an＋1,an)≤2(n∈N*)，則稱{an}是“緊密數(shù)列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是“緊密數(shù)列”，且a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝x，a4＝4，則x的取值范圍為()A．[1,3) B．[1,3]C．[2,3] D．[2,3)【答案】C【解析】依題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤\f(x,\f(3,2))≤2，,\f(1,2)≤\f(4,x)≤2，))解得2≤x≤3，故x的取值范圍為[2,3]．11.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法復(fù)合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1至2018這2018個(gè)數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列共有()A.98項(xiàng) B.97項(xiàng) C.96項(xiàng) D.95項(xiàng)【答案】B【解析】能被3除余1且被7除余1的數(shù)就只能是被21除余1的數(shù)，故an＝21n－20，由1≤an≤2018得1≤n≤97，又n∈N*，故此數(shù)列共有97項(xiàng).12.已知數(shù)列滿足對(duì)時(shí)，，且對(duì)N，有，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A.2448B.2525C.2533D.2652【答案】B【解析】由題得，所以，所以是周期數(shù)列，周期為，且，，，.所以.故選B.13．已知數(shù)列eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(5),4)，eq\f(\r(7),6)，eq\f(\r(9),m－n)，eq\f(\r(m＋n),10)，…，根據(jù)前3項(xiàng)給出的規(guī)律，實(shí)數(shù)對(duì)(m，n)為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,2)，\f(3,2)))【解析】由數(shù)列的前3項(xiàng)的規(guī)律可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝8，,m＋n＝11，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(19,2)，,n＝\f(3,2)，))故實(shí)數(shù)對(duì)(m，n)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,2)，\f(3,2))).14．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．【答案】-1【解析】∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.15．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．【答案】(－∞，3)【解析】因?yàn)閍n＝(n－λ)2n(n∈N*)且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n(n＋2－λ)>0，所以n＋2－λ>0，則λ<n＋2.又n∈N*，所以λ<3，因此實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(－∞，3)．16．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.【答案】28【解析】依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.17．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3.(1)寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝4.【解析】(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因?yàn)閍1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1.(2)證明：因?yàn)閍n＋1＝4an＋3，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(4an＋3＋1,an＋1)＝eq\f(4an＋1,an＋1)＝4.18.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)因?yàn)閍eq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，所以當(dāng)n＝1時(shí)，aeq\o\al(2,1)－(2a2－1)a1－2a2＝0.因?yàn)閍1＝1，所以a2＝eq\f(1,2).同理，當(dāng)n＝2時(shí)，aeq\o\al(2,2)－(2a3－1)a2－2a3＝0，所以a3＝eq\f(1,4).(2)因?yàn)閍eq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，所以2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以2an＋1＝an，即an＋1＝eq\f(1,2)an，而a1＝1，所以{an}是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(1,2n－1).19.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N+).(1)求a1,a2;(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大項(xiàng),并寫出取最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).【解析】(1)∵數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N+),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,解得a1=,a2=.(2)由數(shù)列{a