高中數(shù)學(xué)2-2學(xué)案：1.5.1 曲邊梯形的面積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．5.1曲邊梯形的面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法。2.會(huì)求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程．知識(shí)點(diǎn)一曲邊梯形的面積思考1如何計(jì)算下列兩圖形的面積？思考2如圖,為求由拋物線y＝x2與直線x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S，圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別?1．曲邊梯形：由直線x＝a,x＝b(a≠b），y＝0和曲線______所圍成的圖形稱為曲邊梯形（如圖①所示）．2．求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆分為許多__________，對(duì)每個(gè)__________“以直代曲”,即用________的面積近似代替________的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的________，對(duì)這些近似值______，就得到曲邊梯形面積的________(如圖②所示)．3．求曲邊梯形面積的步驟：①________，②________，③__________，④__________。知識(shí)點(diǎn)二求變速直線運(yùn)動(dòng)的（位移)路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為v＝v(t)，那么也可以采用______、________、______、________的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s。類型一求曲邊梯形的面積例1求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1）圍成的圖形面積．反思與感悟求曲邊梯形的面積：(1）思想：以直代曲．(2)步驟：分割→以直代曲→作和→逼近．(3)關(guān)鍵：以直代曲．(4）結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確．跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積．類型二求變速運(yùn)動(dòng)的路程例2有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2（單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？反思與感悟求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”、“逼近”的思想求解．求解過(guò)程為：分割、以直代曲、作和、逼近．應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練2一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設(shè)汽車在時(shí)刻t的速度為v(t）＝－t2＋5（t的單位：h,v的單位:km/h)，試計(jì)算這輛汽車在0≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程s（單位：km)．1．把區(qū)間［1，3]n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為___________．2．若1N的力能使彈簧伸長(zhǎng)2cm,則使彈簧伸長(zhǎng)12cm時(shí)，克服彈力所做的功為________．3．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝eq\f(1,1＋x2）(x∈［0,1])與x軸所圍成的曲邊梯形面積和式正確的是________(填序號(hào)）．①n→＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n，)eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1，1＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(i，n）)）2）·\f（2,n）)）;②n→＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n，)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（i，n)）)2)·\f（1,n))）;③n→＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n,）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,1＋i2）·\f(1,n)）)；④n→＋∞時(shí)，eq\i\su（i＝1,n，)eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1,1＋\f（i，n)2）·n）).4．求由曲線y＝eq\f(1,2)x2與直線x＝1,x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值（取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是________．1．求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟：(1)分割：n等分區(qū)間［a，b]；（2)以直代曲：取點(diǎn)ξi∈［xi－1，xi]；（3）作和：eq\i\su（i＝1,n,f）(ξi)·eq\f(b－a，n）；(4)逼近：n→＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n,f)（ξi)·eq\f(b－a，n)→S?！耙灾贝币部梢杂幂^大的矩形來(lái)代替曲邊梯形,為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn),如區(qū)間的端點(diǎn)（或中點(diǎn))．2．變速運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功等問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積問(wèn)題．提醒：完成作業(yè)1.5。1

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1①直接利用梯形面積公式求解．②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解．思考2已知圖形是由直線x＝1,y＝0和曲線y＝x2所圍成的，可稱為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形"的所有邊都是直線段．1．y＝f(x)2．小曲邊梯形小曲邊梯形小矩形小曲邊梯形近似值求和近似值3．①分割②以直代曲③作和④逼近知識(shí)點(diǎn)二分割近似代替作和逼近題型探究例1解（1）分割將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)eq\f（1，n），eq\f（2,n），…,eq\f（n－1,n）把區(qū)間［0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間：[0，eq\f(1，n）]，[eq\f(1,n),eq\f（2，n）]，…，[eq\f(i－1,n）,eq\f(i，n）]，…，［eq\f（n－1,n），eq\f(n，n)］，簡(jiǎn)寫作［eq\f（i－1，n），eq\f（i，n)］(i＝1，2，…，n）．每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f（i，n）－eq\f（i－1,n）＝eq\f（1，n）.過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線,從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作:ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn。(2）以直代曲用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積:在小區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f（i，n）]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1，2，…，n），為了計(jì)算方便，取ξi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，用f（ξi）的相反數(shù)－f(ξi）＝－（eq\f(i－1，n))·（eq\f(i－1,n)－1）為其一邊長(zhǎng)，以小區(qū)間長(zhǎng)度Δx＝eq\f（1,n）為鄰邊長(zhǎng)的小矩形對(duì)應(yīng)的面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為ΔSi≈－f（ξi）Δx＝－(eq\f（i－1,n））(eq\f（i－1，n）－1）·eq\f（1，n)（i＝1，2，…，n）．（3)作和曲邊梯形的面積近似值為S＝eq\i\su（i＝1，n,Δ)Si≈－eq\i\su（i＝1,n,f）(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1，n,［)－(eq\f(i－1,n）)(eq\f（i－1，n)－1)］·eq\f（1,n）＝－eq\f（1，n3)［02＋12＋22＋…＋(n－1）2]＋eq\f(1，n2）[0＋1＋2＋…＋（n－1)］＝－eq\f(1,n3)·eq\f(1，6）n（n－1）（2n－1)＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2）＝－eq\f（－n2＋1，6n2)＝－eq\f（1,6)（eq\f(1,n2）－1)．（4)逼近當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即Δx→0時(shí)，n→＋∞，此時(shí)－eq\f(1,6)(eq\f（1,n2）－1)→S。從而有S＝eq\f(1,6).所以由直線x＝0，x＝1,y＝0和曲線y＝x(x－1）圍成的圖形面積為eq\f（1,6）.跟蹤訓(xùn)練1解∵y＝x2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線y＝x2(x≥0）與直線x＝0，y＝4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2x≥0，，y＝4,))得交點(diǎn)為(2,4)，如圖所示，先求由直線x＝0,x＝2，y＝0和曲線y＝x2圍成的曲邊梯形的面積．(1）分割將區(qū)間［0,2］n等分，則Δx＝eq\f（2,n），取ξi＝eq\f（2i－1，n).(2）以直代曲、作和Sn＝eq\i\su（i＝1,n，［)eq\f（2i－1,n）]2·eq\f（2，n）＝eq\f(8,n3）［02＋12＋22＋32＋…＋(n－1）2]＝eq\f（8,3)（1－eq\f（1，n)）(1－eq\f(1,2n））．(3）逼近n→＋∞時(shí),eq\f(8,3）(1－eq\f(1,n)）(1－eq\f（1,2n))→eq\f(8，3).∴所求平面圖形的面積為S陰影＝2×4－eq\f(8，3）＝eq\f（16，3).∴2S陰影＝eq\f（32,3)，即拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積為eq\f(32,3)。例2解（1）分割在時(shí)間區(qū)間[0，2］上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，將它分成n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為[eq\f(2i－1，n），eq\f（2i，n)]（i＝1,2，…,n)，其長(zhǎng)度為Δt＝eq\f（2i，n)－eq\f（2i－1,n)＝eq\f(2,n)。每個(gè)時(shí)間段上行駛的路程記為Δsi(i＝1，2,…,n)，則顯然有s＝eq\i\su(i＝1，n,Δ)si。（2）以直代曲取ξi＝eq\f(2i,n）(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面積Δs′i近似地代替Δsi，于是Δsi≈Δs′i＝v（eq\f（2i，n))·Δt＝[3(eq\f(2i，n））2＋2］·eq\f(2,n）＝eq\f(24i2，n3)＋eq\f(4,n）(i＝1,2，…，n)．（3）作和sn＝eq\i\su（i＝1,n,Δ)s′i＝eq\i\su(i＝1,n，)(eq\f(24i2,n3）＋eq\f（4,n））＝eq\f(24,n3）（12＋22＋…＋n2）＋4＝eq\f(24,n3）·eq\f（nn＋12n＋1,6）＋4＝8(1＋eq\f（1,n))（1＋eq\f（1，2n))＋4.（4）逼近當(dāng)n→＋∞時(shí)，8（1＋eq\f(1,n)）(1＋eq\f（1,2n））＋4→12.所以這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程為12km。跟蹤訓(xùn)練2解①分割在時(shí)間區(qū)間[0，2]上等間隔地插入（n－1)個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為［eq\f（2i－1,n)，eq\f（2i,n）］（i＝1，2，…,n），Δt＝eq\f（2i,n)－eq\f(2i－1，n)＝eq\f(2，n），把汽車在時(shí)間段[0，eq\f(2,n)]，［eq\f(2,n）,eq\f(4，n)]，…，[eq\f（2n－1，n)，2］上行駛的路程分別記為Δs1，Δs2，…，Δsn,則有sn＝eq\i\su（i＝1,n,Δ）si。②以直代曲取ξi＝eq\f(2i,n）(i＝1，2，…，n)，Δsi≈v(ξi）·Δt＝[－(eq\f(2i,n))2＋5]·eq\f(2,n）＝－eq\f(4i2,n2）·eq\f(2，n）＋eq\f（10,n）(i＝1,2，…，n）．③作和sn＝eq\i\su(i＝1,n，Δ）si≈eq\i\su(i＝1,n，［）－eq\f（4i2，n2）·eq\f(2,n)＋eq\f（10，n)］＝－eq\f（4×12，n2）·eq\f（2，n）－eq\f（4×22，n2）·eq\f(2,n）－…－eq\f(4×n2,n2)·eq\f(2,n）＋10＝－eq\f(8,n3）［12＋22＋…＋n2]＋10＝－eq\