高中數(shù)學(xué)1-2學(xué)案：2．1.3　推理案例賞析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．1.3推理案例賞析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對具體的數(shù)學(xué)思維過程的考察,進一步認(rèn)識合情推理和演繹推理的作用、特點以及兩者之間的聯(lián)系．2．嘗試用合情推理和演繹推理研究某些數(shù)學(xué)問題，提高分析問題、探究問題的能力．知識點演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系合理推理演繹推理區(qū)別定義根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括實驗和實踐的結(jié)果），以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程區(qū)別思維方法歸納、類比推理形式由部分到整體、由個別到一般的推理或由特殊到特殊的推理結(jié)論結(jié)論不一定正確，有待于進一步證明作用具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,探索和提供思路的作用，利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)聯(lián)系合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明類型一歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列的前4項為eq\f(3，2）,1，eq\f（7，10)，eq\f（9，17),試寫出這個數(shù)列的一個通項公式．反思與感悟運用歸納推理猜測一般結(jié)論，關(guān)鍵在于挖掘事物的變化規(guī)律和相互關(guān)系，可以對式子或命題進行適當(dāng)轉(zhuǎn)換,使其中的規(guī)律明晰化．跟蹤訓(xùn)練1下列圖形中線段有規(guī)則地排列，猜出第n個圖形中線段的條數(shù)為________．類型二類比推理的應(yīng)用例2通過計算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1;33－23＝3×22＋3×2＋1;43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.將以上各等式兩邊分別相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2）＋3（1＋2＋3＋…＋n）＋n即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1，6）n(n＋1）(2n＋1）．類比上述求法，請你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．反思與感悟(1）解答本題的關(guān)鍵在于弄清原題解題的方法,將所要求值的式子與原題的條件相類比,從而產(chǎn)生解題方法上的遷移．（2）解答此類問題要先弄清兩類對象之間的類比關(guān)系及其差別,然后進行推測或證明．跟蹤訓(xùn)練2如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)eq\o(FB，\s\up6（→））⊥eq\o(AB，\s\up6（→））時，其離心率為eq\f（\r(5）－1,2）,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝________.類型三合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用例3如圖(1），在平面內(nèi)有面積關(guān)系eq\f(S△PA′B′，S△PAB)＝eq\f(PA′,PA）·eq\f（PB′，PB）,寫出圖（2)中類似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論．反思與感悟合情推理是提出猜想、提供解題的思路，而演繹推理則是證明猜想、判斷猜想的正確性,通過合情推理得到的猜想缺少證明過程是不完整的,平時解題都是二者的結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練3讀下列不等式的證法，再解決后面的問題．已知m1，m2∈R，m1＋m2＝1，求證:meq\o\al(2,1）＋meq\o\al（2，2)≥eq\f(1,2).證明：構(gòu)造函數(shù)f（x)＝(x－m1)2＋（x－m2）2，則f（x）＝2x2－2(m1＋m2)x＋meq\o\al（2,1)＋meq\o\al(2,2)＝2x2－2x＋（meq\o\al(2,1）＋meq\o\al(2,2）)．因為對一切x∈R,恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(meq\o\al（2，1)＋meq\o\al(2,2））≤0,從而得meq\o\al（2,1）＋meq\o\al（2,2)≥eq\f（1，2）.(1)若m1，m2，…，mn∈R,m1＋m2＋…＋mn＝1，請寫出上述結(jié)論的推廣式；(2）參考上述證法,對你推廣的結(jié)論加以證明．1．觀察(x2）′＝2x，(x4）′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f（－x）＝f(x)，記g（x）為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________.2．若“f′(x0）＝0，則x0是函數(shù)y＝f(x）的極值點，因為f（x)＝x3中,f′(x)＝3x2且f′（0)＝0，所以0是f（x)＝x3的極值點”．在此“三段論"中,其中__________錯誤．3．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為____________．4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°,則cos2A＋cos2B＝1，在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想．1．歸納推理和類比推理是常用的合情推理．從推理形式上看，歸納推理是由部分到整體、特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理．2．從推理形式和所得結(jié)論的正確性講，演繹推理與合情推理存在差異,從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識事物的過程發(fā)揮的作用看,合情推理與演繹推理是相輔相成的、相互為用的，合情推理提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,為演繹推理確定確定了目標(biāo)和方向．演繹推理不僅為合情推理提供了前提,而且對合情推理的結(jié)果進行“判決”和證明．兩者的綜合運用才能推動人們對事物的認(rèn)識不斷向前發(fā)展．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程三段論由一般到特殊的推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確按照嚴(yán)格的邏輯法則推理，利于培養(yǎng)和提高邏輯證明的能力題型探究例1解把已知4項改寫為eq\f（3,2)，eq\f（5，5），eq\f(7,10）,eq\f（9,17），記此數(shù)列的第n項為an，則有a1＝eq\f（2×1＋1，12＋1)；a2＝eq\f（2×2＋1，22＋1)；a3＝eq\f（2×3＋1，32＋1）,a4＝eq\f(2×4＋1,42＋1)，….據(jù)此猜測an＝eq\f（2n＋1，n2＋1).跟蹤訓(xùn)練12n＋1－3解析第1個圖只有一條線段，則第2個圖比第1個圖增加4條線段，即線段上的端點上各增加2條,第3個圖比第2個圖增加8條線段,第4個圖比第3個圖增加2×8＝24條線段，則第n個圖形中線段的條數(shù)為1＋22＋23＋24＋…＋2n＝eq\f（21－2n,1－2）－1＝2n＋1－3。例2解∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1,…(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4×n＋1.將以上各式兩邊分別相加，得（n＋1）4－14＝4×（13＋23＋…＋n3）＋6×（12＋22＋…＋n2）＋4×(1＋2＋…＋n）＋n，∴13＋23＋…＋n3＝eq\f（1，4)[(n＋1)4－14－6×eq\f（1，6）n（n＋1)(2n＋1）－4×eq\f（nn＋1,2）－n]＝eq\f（1,4）n2（n＋1）2。跟蹤訓(xùn)練2eq\f(\r(5）＋1,2）解析由題意，得b2＋c2＋c2＝（c＋a)2,即c2－ac－a2＝0,所以e2－e－1＝0，又e＞1,解得e＝eq\f(\r（5)＋1,2).例3解類比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f（PA′,PA）·eq\f(PB′,PB),有eq\f(VP—A′B′C′，VP—ABC)＝eq\f（PA′，PA）·eq\f（PB′,PB)·eq\f(PC′，PC)證明：如圖,設(shè)點C′，C到平面PAB的距離分別為h′,h.則eq\f（h′,h）＝eq\f(PC′,PC），故eq\f（VP—A′B′C′，VP-ABC)＝eq\f(\f（1，3）·S△PA′B′·h′，\f(1,3）S△PAB·h)＝eq\f（PA′·PB′·h′，PA·PB·h）＝eq\f（PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC）.跟蹤訓(xùn)練3解（1)已知m1，m2，…，mn∈R，且m1＋m2＋…＋mn＝1.求證：meq\o\al（2，1）＋meq\o\al(2，2)＋…＋meq\o\al（2，n)≥eq\f(1,n）。（2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－m1）2＋（x－m2)2＋…＋(x－mn）2,則f（x）＝nx2－2(m1＋m2＋…＋mn)x＋(meq\o\al(2,1)＋meq\o\al（2,2）＋…＋meq\o\al（2，n）)＝nx2－2x＋(meq\o\al(2,1）＋meq\o\al（2，2）＋…＋meq\o\al(2,n）)．因為對一切x∈R,恒有f（x）≥0，所以Δ＝4－4n（meq\o\al（2，1)＋meq\o\al（2，2）＋…＋meq\o\al(2,n)）≤0，從而得meq\o\al(2,1)＋meq\o\al（2，2）＋…＋meq\o\al（2,n)≥eq\f（1，n）.達(dá)標(biāo)檢測1．－g（x)解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(－x）＝－g（x）．2．大前提解析f′（x0）＝0,x0不一定是f（x)的極值點,還需看x0附近左右導(dǎo)數(shù)符號是否異號．∴大前提不正確．3。eq\f(n2－n＋6，2）解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1）個，即eq\f（n2－n，2）個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個,即為eq\f（n2－n＋6，2）。4．解如圖，在Rt△ABC中,cos2A＋cos2B＝(eq\f（a，c)）2＋（