《一道向量例題的教學(xué)思考與設(shè)計》 論文

一道向量例題的教學(xué)思考與設(shè)計摘要：在把握課程理念與目標(biāo)、教材編寫意圖、解題能力發(fā)展階段的情況下，數(shù)學(xué)例題教學(xué)應(yīng)站在課程角度、內(nèi)容角度及解題學(xué)角度上，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、多方法解決，積累基本活動經(jīng)驗，適時適切地滲透學(xué)科思維培養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).關(guān)鍵詞：歸納思維；演繹思維；基本活動經(jīng)驗；數(shù)學(xué)思維⒈引言人教社2019A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》教材的第32頁有例9如下：設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），(x2,y2).⑴當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)[1].本題是給出線段P1P2的端點(diǎn)的坐標(biāo)，求其若干等分點(diǎn)的坐標(biāo)，特別是在中點(diǎn)、三等分點(diǎn)的特殊情況下，求分點(diǎn)坐標(biāo).本題主要考查向量加減法、共線向量定理、向量坐標(biāo)等知識點(diǎn)；考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論等主要思想方法.本小題實際上給出了中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 筆者在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的處理時，主要思考了兩個方面：一是課程設(shè)置的理念與教材內(nèi)容的編排思想，二是從解題教學(xué)角度思考本道典型例題的教學(xué)處理.⒉教材編排思考 2.1厘清課程設(shè)計目的與教材編寫思路

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)落地的物化形式，它體現(xiàn)了課標(biāo)的基本理念，通過被教學(xué)而達(dá)成課程目標(biāo)，其根本目的是通過發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的更好發(fā)展，有效地實施素質(zhì)教育.“素質(zhì)”一詞，其具體內(nèi)涵是指：人通過合適的教育和影響而獲得與形成的各種優(yōu)良特征，包括學(xué)識特征、能力特征和品質(zhì)特征.針對學(xué)生來說，在數(shù)學(xué)這一學(xué)科方面，學(xué)識特征主要體現(xiàn)為“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗；能力特征即為課程標(biāo)準(zhǔn)中的“四能”：發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力和分析與解決問題的能力，而能力集中表現(xiàn)為智慧，智慧的基礎(chǔ)則是演繹思維與歸納思維兩種思維方法的交融；品質(zhì)特征主要體現(xiàn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實踐能力和創(chuàng)新意識.課程改革的根本目的仍然是實施素質(zhì)教育，去校正我國基礎(chǔ)教育方式中的偏差：“偏差之一：在信息傳遞方式的時代裝換上，目前尚停留在知識教育，而未進(jìn)入到知識與智慧教育并重的時代；偏差之二：在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上，偏重演繹思維及其能力的訓(xùn)練，缺少歸納思維及其能力的培養(yǎng)。[2]”由于在思維過程中“原始分類是思考定義的基礎(chǔ)，歸納推理是構(gòu)建定義的基礎(chǔ)，演繹推理是確認(rèn)定義的基礎(chǔ)[3]”，因此本輪數(shù)學(xué)課程改革中的數(shù)學(xué)教材在概念的生成、典例的解題教學(xué)等方面非常重視學(xué)生歸納推理的培養(yǎng)，這道例題的設(shè)計同樣遵循了這一要求. 由于課程改革需要校正基礎(chǔ)教育方式中的一些偏差，教材在編寫的思路上則處處反映課改的深層次意圖，教師在知曉我國的數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是培養(yǎng)人的基礎(chǔ)上，更應(yīng)注重培養(yǎng)社會發(fā)展需要的人，即需要培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識的人.從育人目標(biāo)去回顧并重歸納思維與演繹思維的教育與訓(xùn)練， 1分析兩種思維的異相：演繹思維相對應(yīng)的演繹能力，其目的是驗證已知的結(jié)論，造就了我國基礎(chǔ)教育的優(yōu)勢，但演繹推理不能用于發(fā)現(xiàn)真理，依此培養(yǎng)的人及其思維形式和思維能力難以達(dá)成創(chuàng)新目標(biāo)；歸納推理是由一些命題推出一般性命題的推理形式，主要功能是發(fā)現(xiàn)結(jié)論、發(fā)現(xiàn)真理而不是驗證結(jié)論和真理，依此培養(yǎng)的人具有創(chuàng)新意識，是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的本質(zhì).立足于此，教師就明白教科書編者的為什么這樣設(shè)計和編寫，由此而領(lǐng)悟教科書的概念生成基本是按照歸納推理的形式編寫，教科書的一些例題的解決、探究與思考也是引導(dǎo)學(xué)生按照這種方式去思考特例、探尋一般，把這種掌握和理解付諸于教學(xué)實踐，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理思維和歸納推理能力. 2.2把握教學(xué)內(nèi)容整體性

在宏觀層面上，教師在把握課程設(shè)計目的與厘清數(shù)學(xué)教材的編寫意圖和原則的前提下，應(yīng)了解本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的地位和作用，從系統(tǒng)方面處理好本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué).《平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示》在教材中起著向量坐標(biāo)運(yùn)算延伸的作用，它是在學(xué)生對平面向量基本定理有了充分的認(rèn)識和正確的理解與應(yīng)用后給出的.上一節(jié)是平面向量加減法的坐標(biāo)的運(yùn)算，本節(jié)加入數(shù)乘運(yùn)算，使向量坐標(biāo)運(yùn)算的使用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，可以解決位置關(guān)系（共線與平行）、求點(diǎn)分線段所成的比等問題.平面向量共線的坐標(biāo)表示則為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭建了橋梁，同時也為中點(diǎn)坐標(biāo)公式和定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)；共線向量的坐標(biāo)表示，對立體幾何問題也有著深遠(yuǎn)的意義，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化、把空間形式的研究從“定性”推到“定量”的深度.在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面，本節(jié)主要涉及到數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三種素養(yǎng).在微觀方面上，本節(jié)教學(xué)流程是：向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示→向量共線的充要條件（坐標(biāo)形式）→典型例題（特殊關(guān)系）→探究（一般關(guān)系）.慎思例7～例9、探究題可發(fā)現(xiàn)：例7由共線關(guān)系求坐標(biāo)（正用公式解決問題：正向思維）；例8由三點(diǎn)坐標(biāo)判斷位置關(guān)系（逆用公式解決問題：逆向思維）；例9特殊分點(diǎn)的坐標(biāo)（一般情況的點(diǎn)：有數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)考查、直接解決到分類討論）；探究問題則是例7、例8、例9的抽象，形成一般共線問題.教學(xué)例題與探究的問題設(shè)置，采取層層遞進(jìn)的方式讓問題不斷從特殊情況抽象成一般情況，讓思維從低階思維發(fā)展到高階思維，這種根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行類之間的比較，這種思維方式在本質(zhì)上是歸納推理，因而本節(jié)為思維發(fā)展和培養(yǎng)提供了良好的題材與有益的渠道，也體現(xiàn)了“在知識形成過程中，所有的概念都是從具體的事例中抽象出來的”[3].⒊教學(xué)思考與設(shè)計片段高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅授業(yè)解惑，更應(yīng)關(guān)注思維培養(yǎng)、教他們按學(xué)習(xí)規(guī)律辦事，特別是2022年的高考數(shù)學(xué)試題重學(xué)科思維（或核心素養(yǎng)）考查對日常數(shù)學(xué)教學(xué)的引導(dǎo)作用不言而喻.思維的培養(yǎng)與發(fā)展體現(xiàn)在知識概念的生成過程中，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中.關(guān)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認(rèn)識，這里有兩種觀點(diǎn)值得思考，其一，“認(rèn)為解題教學(xué)是解題活動的教學(xué)”，其二，“認(rèn)為分析典型例題的解題過程是學(xué)會解題的有效途徑，學(xué)會解題通常要經(jīng)過四個階段：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析，而自覺分析通常要經(jīng)過整體分析與信息交合兩個步驟.[4]”解題活動是一種思維活動，解題教學(xué)不僅要給出解題活動的結(jié)果，還要暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程；學(xué)生在教師的解題教學(xué)中，不僅要獲得答案，更要在此過程中學(xué)會怎樣解題，按數(shù)學(xué)的方式，按部就班地學(xué)，循序漸進(jìn)地想，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展其數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與必備品格.2 基于上述原因，關(guān)于典型例題9及例7與例8兩道例題與后面的探究題的教學(xué)，筆者在授課前設(shè)計如下：

…

例7的處理由學(xué)生口述解答過程，筆者在黑板上板書.【設(shè)計意圖】本例主要考查向量共線充要條件坐標(biāo)公式的直接運(yùn)算，是對公式生成過程的記憶模仿，考查公式的準(zhǔn)確記憶和正確應(yīng)用.教師板書則達(dá)到符號表達(dá)規(guī)范，過程推理嚴(yán)密，條理表達(dá)清楚的目的.例8在學(xué)生審題后，引導(dǎo)他們捕捉到關(guān)鍵信息“三點(diǎn)位置關(guān)系”及位置關(guān)系的類型：共線與不共線，從而解題思路自然形成，即驗證兩向量a=(xy1 1),b=(x2,y2)的坐標(biāo)是否滿足xy1 2-xy2 1=0？【設(shè)計意圖】本題主要考查向量共線充要條件的逆用與逆向思維能力.例題分析中培養(yǎng)學(xué)生解題的目標(biāo)意識，通過目標(biāo)分析，運(yùn)用分析法，探究啟充分條件.此例實為例7的變式練習(xí)，即解題過程中的第二階段.例9在前兩例題的基礎(chǔ)上再次考查共線關(guān)系，誘導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考用何種方式表達(dá)共線關(guān)系，再去求相應(yīng)位置對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).解決途徑可以借助直覺思維圖形組織器，完成高階思維的“理解信息”、“概括洞察”、“發(fā)現(xiàn)應(yīng)用”三個層次的“關(guān)聯(lián)—聯(lián)系性”維度項目，讓思維過程視覺化，他們更清晰明了地看到問題解決的發(fā)生過程.該維度思維圖形組織器[5]如下圖所示.【設(shè)計意圖】本題主要考查向量共線的充要條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、分類討論數(shù)學(xué)思想方法.借助圖形組織器在培養(yǎng)學(xué)生高階思維上作初步嘗試.另外本題的解決為“探究”問題的解決提供了思路與方法. “探究”題求解后，給學(xué)生一點(diǎn)時間梳理幾道例題的變化及解題思路，隨后筆者追問：“我們再回看例9，同學(xué)是否還有其他的思路或解法？怎么想到的？為什么這么處理？”解法二：設(shè)點(diǎn)P滿足PP1=lPP2，則uuurOP-uuur

OP1=luuur(OP2-uuur

OP)，即uuurOP=

11uuur

OP1+luuur

OP2=?x1+l?è 1+lx2,y1+ly2?÷.

?+l1+l1+ly1+y2?；⑴∵點(diǎn)P為線段PP1 2中點(diǎn)時，∴l(xiāng)=1，故uuurOP=1uuur

(OP1 uuur

+OP2)?x1=?è+x2,y1+y2?÷，即?P?x1?è+x2,22222÷

?3⑵∵P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，∴l(xiāng)=1或2.2當(dāng)l=1時，uuurOP=?2x1+x2,2y1+y2?；2?

è33÷

??

÷；點(diǎn)P靠近P2時，坐標(biāo)為?當(dāng)l=2時，uuurOP?x1=?è+2x2,y1+2y2?÷，?332?x1+2x2,y1+2y2?.即點(diǎn)P靠近P1時，坐標(biāo)為?2?èx1+x2,2y1+y33?

è33÷

?解法二思路形成，在這里有很大一部分原因歸功于“探究”題的解決，其次可能來源于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗或解題經(jīng)驗，這是課程目標(biāo)中需要發(fā)展高中生重要“四基”之一（在解決“探究”題之前提出上述問題可證實這種猜想），這種解法在證明某一函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性問題上使用過，是曾經(jīng)的基本解題活動經(jīng)驗，但一般學(xué)生可能難以想到并遷移到解決本例，它把重復(fù)的部分作為必備步驟先形成一般結(jié)論，再運(yùn)用到特殊情況中去.根據(jù)羅增儒教授的解題長度表意公式：解題長度=K×解題難度解題智慧（K>0是使得公式中各量可以相互換算的系數(shù)），增大解題智慧或提高思維層次可讓解題過程簡潔，減少解題長度.一道例題的前因思考，“后果”再探，筆者希望能把握數(shù)學(xué)課程理念與目標(biāo)，能正確揣測編者意圖的狀態(tài)下，有效開展教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，在提升他們的學(xué)科核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備品格方面作積極的探索.參考文獻(xiàn)[1]人民教育出版社等編著.數(shù)學(xué)必修第二冊[M].北京：人民教