啟航app高等數(shù)學(xué)部分講義

1

ex

x

x

x1f(x

x

,g(x)x2

x

fe(x)【解】f[(x

(x)(x)11o當(dāng)(x)1xx0(x)x21xx2x0(xx211，即x2

x0x 2o當(dāng)(x)1xx0，(x)x21x

1xx2x0(xx211，即x2

0x ex2x綜上所述，f[(x)]

x1xex21 0x x xx 2界重要結(jié)論：1）設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)

f(x)在a,b上有界

f(x在abf(a0),f(b0存在

f(x)在f(xI上有界

f(xI2f(x)

sin1的說法正確的是 A當(dāng)x0時(shí)，為無窮大 B 函C當(dāng)x時(shí)，極限不存 D有界函3f(x

x(x1)(x

在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界. A1,

B

D

【例4】以下四個(gè)命題中，正確的是 BCD

f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1f(x在(0,1【例5】以下四個(gè)結(jié)論中，正確的是

xsin1在(0,) Bx0時(shí)

sin1xC若xsintdt在0,2010 D1sin1在(0,) 3（1）limxna對于xn的任一子數(shù)列xnk均有l(wèi)im

a limx2ka，且limx2k1a

k

k（2）定理（歸結(jié)原則f(x在U(x0,內(nèi)有定義，則limf(xA存在x0的數(shù)列xnxnx0極限limf(xnA【例6】設(shè)xn是數(shù)列，下列命題中不正確的是 A若limxna則limx2nlimx2n+1=a.B若limx2nlimx2n+1=a，則limxna

C若limxna則limx3nlimx3n+1=a.D若limx3nlimx3n+1=alimxna

【例7】設(shè)an0,(n1,2,...)，sna1...an則數(shù)列sn有界是數(shù)列an收斂 A充分必要條件 B充分非必要條件C必要非充分條件 D即非充分地非必要條件【例8】設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)單調(diào)有界，xn為數(shù)列，下列命題正確的是 A若xn收斂，則f(xn)收斂 B若xn單調(diào)，則f(xn)收斂C若f(xn)收斂，則xn收斂 D若f(xn)單調(diào)，則xn收斂【例9】設(shè)函數(shù)f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0，令unf(n)，則下列結(jié)（ A若u1C若u1

，則un必收 B若u1，則un必收 D若u1

，則un必發(fā)，則un必發(fā)4 n nk1k(k1)(kn1

（3） nn 1n 1 解答（1）k(k1)(k2)2k(k1(k1)(k222(n1)(n2k

k1 1 因此lim nk1方法二 定

n2 (n1)(n2) k k 11nk1n2

設(shè)a1a2ak0lima1a2ak1xn1x（3）lim0

2 n解答首先根據(jù)極限式的特點(diǎn)，我們有n

k k1n2 123...

k1n2。n(n1)。

k1n21而nk1

n2

n212nlim n

123...2

n(n1)2

12nk1n2

n

n

n 由定理可知 nk1n2 sin sin sin【例12（1）lim n n...

nn

n21

nn

12n!4n2k （3）4n2knk

nnsinsin2...sin

sin sin sin

sinsin2...sin

n n... n

n

n

n2

n n而

sinsin2...sinn

1 sin

sinsin2...sinn

lim

sinsin2...sinn

1sinxdx

nsin

sin

nn sin

定理可知lim n n... n

n

n2

n n5 13】lim

exsinxx0

x14ex x14

ex

sinx x2ex sinxx解 xx0

lim x0 1ex

x limex0limex

x1sinx

x0

ex

lim

exsinxlim2exsinxx4x0x4

x0 1ex 1ex 由于limex0，可知lim esinx21x

1

1

xsinxx

，則 x0

11ex 4x24x2x1x x2sin44x2x1xlim

1

x2sinx

4114111x1sin x4x4x2x1x x2sin

=4t24t2t1t t2

1第6 法15（1）f(xf(0)0f(0)0,求極限

0tf xx0xtf(xx0(2)f(xf(0)0，求極限

0(xt)f(t)dtxxx0f(xxx fxex

f(0)f(0)1,f(0)0,，求極限 7【例16】設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，且f00,則存在0，使得 B

fx在0,內(nèi)單調(diào)增fx在,0內(nèi)單調(diào)減C對任意的x0,fxfD對任意的x,0fxfx【例17】設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)0,且limf(x)1則 xxB

f(0f(xf(0f(xC0，f(0)yf(xDf(0f(x0，f(0)yf(x【例18】設(shè)fx在0,1二階可導(dǎo)

fx

fxx

2（1）(0,1),使（2）(0,1),使

8講導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)的定義

f(x)

f(x0x)f(x0)

f(x)f(x0

x注1）f(x0f(x0f(xxx0處不一定可導(dǎo)，但一定連續(xù)。注2）f(x00f(x00f(xxx0處一定不可導(dǎo)。注3）f(x00f(x00f(xxx0f(x)xx0注4）導(dǎo)函數(shù)的左右極限與左右導(dǎo)數(shù)不一定相等，例如：

x2,xf(x) f(x) f(x) 注5）注6）f(xxa處連續(xù)，且limf(x)A，則f(a0,f(aAxax注7）f(xxaf(x)xayxx0f(a)0y

f(x)xa處也可f(a)0y【19f(x)

f(x)xa處可導(dǎo)的充分必要條件是f(a)0n1xf(xn1x恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)【20f(xf(xx0處可導(dǎo)等價(jià)的是（A.極限

feh1sinh

存 B.極限

f1cosh C.極限

fhsinh

存 D.極限

fln(1h2【例21】設(shè)f(x)3x3x2x，則使f(n)(0)存在的最高階階數(shù)n為

C

D【22】設(shè)fx可導(dǎo)Fxfx1sinx，則f00F在x0處可導(dǎo)的 A充分必要條 B充分條件但非必要條C必要條件但非充分條 D既非充分條件又非必要條【例23】函數(shù)f(x)(x2x2)|x3x|的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 A B C D【例24】函數(shù)f(x)|x1x22(x3)3|的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 【25fxxafxxa條件是 C

fa0f'afa0f'a

BD

fa0f'afa0f'a9x

26

fx

dt的反函數(shù)為x

dy

y01d21d2

dx 【27xxydy2ysinxdy

0yy(x【28】試作變換utanyxetd2

dy x2 2x2(tany)

sinycosy0化為u關(guān)于t dx 9講不等式的證明1 【例29】證明x

1

cosx

,1x2【例30】試證：當(dāng)x0時(shí)x21lnxx12..【例31】設(shè)eabe2,證明ln2bln2a

4(ba)【例32】x(0,1（1）(1x)ln2(1x)（2）

1

1 【例33】設(shè)ba0

a2b2

lnblna b【例34】ba0證明lnb2(b a10講極值點(diǎn)和拐點(diǎn)1【35】求函數(shù)fxx2x2tet2dt的單調(diào)區(qū)間與極值136yy(x為由方程2y3-2y22xyx21

f(t)

f(t)a函數(shù)g(xaxtf(tdtaxa(aa證明gx)在-a,a上是凹函數(shù)gxxgx的最小值作為af(aa21f(t【例38】設(shè)yy(x)滿足yxyesinx,y(x)0,則x=x處 A取得極大 B取得極小Cx0，f(x0)是拐 D不取得極值，x0，f(x0)也不是拐【例39】設(shè)yy(x)滿足yy2+yx,y(0)y(0)0,則x=0處 A取得極大 B取得極小C0，f(0)是拐 D不取得極值，0，f(0)也不是拐【例40】設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，滿足limf(x)f(a)1則xa處 (xA取得極大 B取得極小Ca，f(a)是拐 D不取得極值，a，f(a)也不是拐【例41】設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)，f(0)0,滿足limf(x)+f(x)2則 BC

f(0f(xf(0f(x0，f(0)yf(x

D f(0f(x0，f(0)yf(xx2 42】f(x二階連續(xù)可導(dǎo)，且limx2 x-

2則 3BCD

f(2)f(xf(2)f(x2，f(2)yf(xf(2)f(x2，f(2)yf(x)43】f(x二階連續(xù)可導(dǎo)，且

f(x)1則 xB

f(0f(xf(0f(xC0，f(0)yf(xDf(0f(x0，f(0)yf(x44】f(xf(0)0且

f

2則 B

f(0f(xf(0f(x

x0sin2xC0，f(0)yf(xDf(0f(x0，f(0)yf(x第11講方程根的個(gè)數(shù)的討【45xexa【例46】x0時(shí)，方程kx

1有且僅有一個(gè)解，求k 1t【例47】已知函數(shù)f(x) dt 1tdt,求f(x1t第12講導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用（數(shù)三【例48（1）設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1602P，其中Q,P分別表示需要量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價(jià)格是（

C

（2）設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為QALK，其中QLK是資本A,均為大于零的參數(shù)，則Q1KL的彈性邊際成本分別為20x（萬元/件）與6y（萬元/件2求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(x,y)(萬元50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總成本最?。吭O(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1005P，其中價(jià)格P(020)Q為需求量EdEddRQ(1Ed(R為收益)E 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為QQ(P,P的彈性p0.210000件時(shí)，價(jià)格增加1元會使產(chǎn)品收益增 第13講展考點(diǎn)一：展式求極11 2【例49】lim 2x0cosx sin考點(diǎn)二：展式求高階導(dǎo)50】f(xx2ln(1xx0nf(n0)(n0x0處的nf(n0)(n0考點(diǎn)三：關(guān)于中值定理的證f(b)f51f(x在a,bf(a)f(b)f求證a,b

f

(b 52】f(x在0,1f(0)0,f(1

1,

(1)0， 53f(x0,1f(0)f(1)0minf(x) 0maxf(x80 54f(x0,1f(0)f(1)0maxf(x)2 0試證：存在0,1f(1614原函數(shù)設(shè)F(xI上可導(dǎo)，并且xI，有F(x)

f(x，則稱F(xf(xI不定積分在區(qū)間If(xf(xI積分，記作f(x)dx注：不連續(xù)的函數(shù)也可能存在原函數(shù)，比如 F(x)

x

x0,f(x)2xsinxcosx

x

F(x)

f(x

x

xf(xIf(xI上不存在原函數(shù)。1x

x

x【例55】設(shè)f(x)

x

,g(x)ex

x

，則 Af(x)存在原函 Bg(x)存在原函CF(xxg(t)dtF(xa

Df(xx01556】（1）Ik

kex2sinxdx(k1,2,3),則有 0AI1I2

BI3I2

CI2I3

DI2I1（2）F(x)x2esintsintdt,則F(x) xA為正常 B為負(fù)常 C恒為 D不為常 57】M

21

cos6xdx，N

2(sin3xcos6x)dxP 2

(x2sin3xcos6x)dx則有 ANP

BMP

CNM

DPM1658fx在0,10,1f(031f(x)dx3(0,1),使59fx在0,10,1f(131f(x)dx3(0,1),使17考法一：直接計(jì)算60】 11 1

（2）

ln

1e2x

1ln(1x)2 0(221

x

a

x2 xex2,1x【例61】設(shè)f(x) 2，則2f(x1)dx 1,x 162】計(jì)算定積分1

2xx226302

2xx2dx a設(shè)f(x)在區(qū)間aa上可積，如果f(x)是偶函數(shù)，則有a

af(x)dx20f(x)dxa64】

f(x是奇函數(shù)，則有af(x)dx

2x3sin2xcos22

（2）2(x

4xx222

xdx

1xarcsin11

lnx

1x201

1

02 0 2f(sinx)dx=2f(cosx)dx xf(sinx)dx=f(sin 2 ）設(shè)f(x)是連續(xù)的周期函數(shù)，周期 ，則 f(x)dx=

f(x)dx f(x)dx=n0f(x)dx In2sinnxdx=2cosnxdx 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則bf(x)dx=bf(ab 652 2

（2）

xsinx （3）

1sin 0sinxcos 01cos

2sin60

41

2

sinxarctan4ln(1tan01866】ylnxylnxxDDADxe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V67yf(x)yf(x)f(x)0yf(xy0x1xt(t1x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲邊梯形面積值的t倍，求該曲線方程。19（數(shù)一、數(shù)二30m400N50N2000N，提升速度20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升說明（1）1N1m1J；m，N，s，J分別表示米，，秒， k0

時(shí)所做的功與前一次做的功之比為常數(shù)r(0r1氣錘打樁3次后，可將樁打進(jìn)多少米與承受的水壓與下部承受的水壓之比為5:4矩形部分的高h(yuǎn)應(yīng)為多少71】l2a，2b的橢圓，現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐3

b時(shí)(如圖),計(jì)算油的質(zhì)量.（2kg/m3）20【例72】（1）解微分方程ydxx24xdy微分方程xyy0滿足條件y(1)1的解是y 解微分方程3x22xyy2dxx22xydy21【例73】（1）微分方程ydx(x3y2)dy0滿足初始條件y 1的解 微分方程yx3)dx2xdy0

65第22講可降階的高階微分方74】（1）求微分方程(1x2yy2102yyy2（2）求微分方程y(01y(0123【例75】已知y1xexe2xy2xexexy3xexe2xex為某二階線性常系1）y3y2y2xex 2）yy2y2cos【例77】微分方程yyx21sinx的特解形式可設(shè)為 (A)yax2bxcx(AsinxBcosx)yx(ax2bxcAsinxBcosx)yax2bxcAsinxyax2781）y(5)y(4)2y'''2y''y'yy(4)5y''10y'6y2）y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)2479yy(x)

設(shè)

，的光滑曲線，當(dāng)-x0時(shí)，曲線上222一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0xyxyyx0yxOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過點(diǎn)M1,0，其上任意點(diǎn)Px,yx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax（常數(shù)a>0）.LLyax8時(shí)，確定a3設(shè)F(x)f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x在(,)內(nèi)滿足以下條件f(x)g(x)，g(x)

f(x，且f(00)

f(x)g(x)2exF(xF(xy(x)(x0)y(x)0,y(0)1yy(x)上任意一點(diǎn)P(xyx軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1[0xyy(xS22S11，yy(x設(shè)函數(shù)fx在1上連續(xù)，若由曲線yfx，直線xxtt1x軸所圍成的平面圖形繞x旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為33

29某湖泊的水量為VA的污水量為V6A的水量為V，流出湖泊的水量為V1999A的含量為5m 2000Am0A的含量可降至 以內(nèi)？（A的濃度是均勻的A從點(diǎn)(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)vyB從點(diǎn)(10)A同時(shí)出發(fā)，其速度為2vAB的運(yùn)動N,在t0x0，在任意時(shí)刻tx(tx(t新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k0x(t，速傘，以增，使飛機(jī)迅速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測試傘打開后飛機(jī)所受的總阻力與，機(jī)的速度成正比（k6.0106

注kgkmh開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為m體積為B，海水為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)k(k0)y與vyy(v 11.（1）驗(yàn)證函數(shù)y(x) yyy

(x （2）利用（1）的結(jié)果求冪級數(shù)(3n)!xf(xsinx0(xtf(t)dt其中fx

f(xf

在0上可導(dǎo)，f(0)1，且滿足等fxf(x1xf(t)dt0x1fxx0時(shí)，成立不等式exf(x125方程（數(shù)三差分概yf(xyxf(xyx1f(x一階差分yxyx1yxf(x1f二階差分2yxyx1yxyx22yx1nnxn階差分nx

(差分方程x及一般形式為：Fx,y,y x

或Gx,yx,yx1,...,yxn0一階常系數(shù)線性差分方程的求解方y(tǒng)x1ayxf(x)(a0的差分方程稱之為一階常系數(shù)線性差分方程。yx1ayx0的通解加上非齊次方程的任一特解。x 1 x齊次方程的通解求法：y ay0的通解yCax，C為任意常數(shù)。x 1 xf(x)bxP(xP(x為n x n若bay*bxBBxBxnx nx n若bay*bxxBBxBxnx nnf(xP(xb1f(xbx述情況中n0的情形。n80yt1ytt2t【解】yt1yt0的通解為C（C為任意常數(shù)t 設(shè)(atb)2t是差分方程 yt2t的一個(gè)特解，將(atbt 差分方程有[a(t1b]2t1atb)2tt2tat2t(2ab)2tytCt2)2t【例81】某公司每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬。若以Wt表示該公司第t年的工資總額（單位：百萬元試寫出Wt所滿足 即Wt所滿足的差分方程為：Wt1.2Wt182】求差分方程2yt110yt5t0【解】將差分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：yt

5

2特征方程為50yat

yt

5

5t2得到a(t1b5(atb26ata6b2得a

；b故差分方程2yt110yt5t0yC(5)x

t 83yt12ytx2xyt12yt特征方程為20y根據(jù)差分方程右端的形式，由2y*x.2x(a得到a1；b1y*

x.2x(

x1

yyC2xx.2x(1x1) C2x1x.2x(x1)C2xx.2x2(x1)第26講旋轉(zhuǎn)曲面方程的計(jì)84LA(1,0,0、B(0,1,1LZ軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面為與平z0z2所圍成立體為。求平面求27講多元函數(shù)的極

（a0常數(shù)討論x0

x24

2是否存在討論

x3yxy4x2yxy

是否存在討論x0x

xxy2y第28講多元函數(shù)偏導(dǎo)與可微的關(guān)86】討論下列函數(shù)在(00（1）f(x,y)（1）f(x,y)

x2

),(x,y)(0, ,(x,y)(0,

,(x,y)(0,（2）f(x,y)x2 ,(x,y)(0,x3（3）f(x,y)x2 ,(x,y)(0, ,(x,y)(0,【例87f(xy)xy(xy，其中(x,y在點(diǎn)(00 （1）f00),f00存在的充要條件是(00)0 （2）討論(00)0f(x,y在點(diǎn)(0088】z

f(xy滿足limf(xy2xy20，則x2x2(y

(0,1)【例89】f(x,y在點(diǎn)(00)

x,

f(xyabxcy1，其中l(wèi)n(1x2y2abcf(x,y在點(diǎn)(00處是否可微，若可微求出df(xy)(0,0)f(x,y在點(diǎn)(00x290】f(xx2

，則 C

fx(00)fy(00fx(00)fy(00

BD

fx(00)fy(00fx(00)，fy(00【例91】如果f(x,y)在0,0處連續(xù)，那么下列命題正確的是 f(f(x,y)xy

f(x,y在(00若極限

f(x,x 2f(x,y在(00xf(x,y在(00處可微，則極限

f(x,xxf(x,y在(00處可微，則極限

f(x,xx 29【例92】設(shè)fuv具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿

2

2

1 1

2 2

2gx,yfxy,2x

【例93】zxf

y)x

22

2

2 y 【例94】zz(x,yzx2x)x2z''(x2x)

2

2 0，若有z(x, x xyzz2

dy【例95】yyx)，zzx)，由xy

z

，dx【例96】設(shè)u

f(x,yz有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)yy(xzz(x分別由方程exyxy和exxzsintdt所確定，求du 【例97】設(shè)ufxyz,ty2yzzt2

z,tyxyvx【例98zz(x,y具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，用變量代換uvx2

2

2z

20化簡為

0，求a

【例99設(shè)函數(shù)u

f(x,y

5

0確定ab的值，使等式在變換xay,xby下化簡為0【例100】二元函數(shù)zz(xy具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，滿足微分方x

y

x

y

uv,y

z關(guān)于

30（數(shù)一101在曲線xt,yt2,zt3的所有切線中，與平面x2yz4平行的切線 A只有1 B只有2 C至少有3 D不存設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)附近有定義，且fx(0,0)3,fy(0,0)1,則 A 3dxB曲面z

f(x,y在點(diǎn)(00,f(00的法向量為C

z

f(x,在點(diǎn)(00,f(00的切向量為(10yD曲線z

f(x,在點(diǎn)(00,f(00的切向量為(3y3x22y2由曲線z

y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)(0,3,2zx2y2與平面2x4yz0xyb設(shè)直線lxayz3

在平面zx2y2相切于點(diǎn)(125a、b第31講多元函數(shù)的無條件極x2【例102】求fx,y 的極【例103】已知函數(shù)fx,y滿 fxy2y1ex,fx0x1ex，f0yy22yfxy 104】f(x,y在點(diǎn)(00

x0,

f(x,y)xy1(x2y2)2則 A點(diǎn)(00f(xyB點(diǎn)(00f(xyC點(diǎn)(00f(xyD根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(00f(xy32105】求函數(shù)ux2y2z2zx2y2xy

【例106zfxydz2xdx2ydyf1,12f

Dx

2yx4x

1107zx2y2xyxy在閉域D:x0y0及xy3上的最33108】D(x2)2

所圍成,Ik(xy)kD(k123試討論I1,I2,I3的大小33109計(jì)算D

1x2y2d,Dy1x1yx所圍成的閉區(qū)域求D

其中D是由x2y0y

,xyf(xyD(xy|x

y2

。二重積分f(xy)dxdyDI

x2y

D(xy|x2y24,x12y2計(jì)算重積分I ，其中D(x,y)|x2y21,x2y22x,x0I

1 dxdyD(xy|x2211x2求x[1yf(x2D

Dyx3y1x1f34110 交換二次積分的積分次序：1dy1r21r2D

fx,ydx。,其中Dr,|0rsec04y y 4 f(x,y)dx2dy2f(x,4 sin0dxsinxf(x,211

2 f(x,2

f(x,35111】111】級數(shù)1n （常數(shù)a0 A

B條件收

C絕對

D收斂性與a有112】

0n1,

，且n

收斂，常數(shù) n 則級數(shù)A絕對收C發(fā)

ntanna2n B條件收 D斂散性與有113】設(shè)常數(shù)0，且n

收斂，則級數(shù)

n2n2

B條件收

C絕對收

D收斂性與有【例114】設(shè)有兩個(gè)數(shù)列an,bn，若liman0，則 n A當(dāng)bn收斂時(shí)，anbn收斂 B當(dāng)bn發(fā)散時(shí)，anbn發(fā)散

C當(dāng)

aabn

D當(dāng)

aabn115】設(shè)n

A若lim

，則級數(shù)n

B若存在非零常數(shù)，使得

nan，則級數(shù)n

nC若級數(shù) 收斂，則limn2an

0 D若級數(shù)n

發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得

nan n1 1116設(shè)un0n1

，且

u

n1A發(fā)

B絕對收

C條件收

D收斂性根據(jù)所給的條件不能確【例117】設(shè)級數(shù)un收斂，則必收斂的級數(shù)為 u

(1)n

B

C

u

D

u 118已知級數(shù)(1i

nsin

i

n

條件收斂則范圍 （A）02（C）12

（B）12（D）32 【例119設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a單調(diào)減少且1na發(fā)散問級數(shù)

n

n1

1120】fxx0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且x

fx

0證明：級數(shù)

f1nnn121】xnnx10，其中nxn時(shí)，級數(shù)時(shí)，級數(shù) 收斂n并證明當(dāng) n0122】an4tannxdx0（1）求

1

n1（2）試證：對任意的常數(shù)0，級數(shù)ann1123】設(shè)a2

1a1n1,

，證明 2 a nnliman

級數(shù)

n1

36講冪級數(shù)的收斂域 3【例124】求冪級3

n37講冪級數(shù)的和函數(shù)125】求冪級數(shù)

2n

x2n的收斂域及和函數(shù)126】求冪級數(shù)

1n11 x2nfx. n2n1 收斂區(qū)間為1,1127】設(shè)冪級數(shù)

在內(nèi)收斂，其和函數(shù)yx滿足y''2xy'4y0,y00,y'01證明

n

yx的表達(dá)式128】fxf

xfxxn1ex（n為正整數(shù)）f1en項(xiàng)級數(shù)

1n1129】求冪級數(shù)

n2n

s(x)130】求冪級數(shù)

4n24n32nx2n1x131】求級數(shù)

1nn2n11

132】求級數(shù)

212n的和n【例133】設(shè)a為曲線yxn與yxn1n1, 所圍成區(qū)域的面積n 記S1 an,

，求S1S2的值 1134

n2

n1 第38 函數(shù)展開成冪級第39 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)【例135】計(jì)算x2y2dxdydz，其中:x2y22zz2【例136】計(jì)算xyz3dxdydz，其中xyz1x0yz0【例137】計(jì)算x2y22dxdydz，其中zx2y2z1z2【例138】zdxdydz其中x2y2za)2a2【例139計(jì)算I2y

x2y2dxdydz由曲面x2y2z2a2x2y2z2x2y2z2a2第40 球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)【例140】計(jì)算Izx2y2z2dxdydz其中x2y2z21z

x2y2圍成第41講對弧長的曲線積【例141】設(shè)L:x2y21L的長度為a，求3x2y2ds L【例142L

3x4ydsLx2y221第42 對坐標(biāo)的曲線積143積分與路徑無關(guān)的條1【例143已知曲線積

L(x)

xdyydxA(常數(shù)

數(shù)且(11，L是繞原點(diǎn)取逆時(shí)針方向的閉合曲線。試求出xL【例144】f(xg(x)f(0)g(0)0，且對平面上任一簡單閉合曲線C，y2f(x2yex2yg(x)dx2yg(xf(x)dx0Lf(xgx【例145】設(shè)在上半平面D(x,y|y0內(nèi)，函數(shù)f

對任意的t0f(tx,ty)t2f(xyD內(nèi)任意分段光滑的L，都有yf(x,y)dxxfL

在

內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面y0的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為(a,b)，終點(diǎn)為(c, 。I L

xy2f(xy)1dyy2證明曲線積分IL當(dāng)abcd時(shí)，求I第44 二元函數(shù)的全微【例147】驗(yàn) 是某一函數(shù) 【例148】確定常數(shù)x0A(xy)2xy(x4y2ix2x4y2j為某二元函數(shù)

并求 149】

(y22xyax2)dxx22xyby2(x2y2

為某函數(shù)

求 43【例150】計(jì)算曲線積分I

xdy4x2y2L（1，0）為中心，R半徑的圓周（R>1）,【例151求I (exsinyb(xy))dx(excosyax)dy其中L

2axx2L為從點(diǎn)A（2a,02axx2

到點(diǎn)O(0,0)44講對面積的曲面積分【例152】計(jì)算下列曲面積計(jì)算I x2y2z2

x2x2f(x,y,z)dS，其中f(x,x2x2IxyzdS，其中zx2y2(0z(x設(shè)曲面是xyz1的上側(cè)， (x x2y

為橢球 ，為在2P

為原點(diǎn)到的距離，求 dSSx,y,z45講對坐標(biāo)的曲面積分PdydzQdzdxRdxdyPzxQzyR【例153】計(jì)算曲面積分S

xdydzz2dxdyx2y2z2

y

z ,z

（R0）【例154f(xyz為連續(xù)函x-y+z=1在第四卦限的上側(cè)，計(jì)算f(xyz)+xdydz2f(xyzydzdx 第46 【例155】設(shè)曲面z

x2y20z1xdydz2ydzdxx2【例156設(shè)x2

z

。R2R2x2是整個(gè)邊界的外側(cè)，則xdydzydzdx 【例157】計(jì)算曲面積分I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy其中z1x2y2z0【例158】