第十一講 乘法原理

第一乘原（單列【識理分類計原理：完成件事有類方法，各辦法相獨立每類辦又有多不同的法（每一種可以獨的完成這個情）分步計原理：完成件事，要分幾個步，每一的完成有多不同的法。乘法原如果完成一件任務(wù)需要分成n步驟進(jìn)行，第步有種方法做第2有m2方法??做n有mn方法，么按照這樣步驟完這件任務(wù)有N×m2×?×mn種不同方法。從乘法原理可以看出將完成一件任務(wù)分成幾步做是解決問題的關(guān)鍵而這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的。1

例、從甲地到乙地2條路，從乙地到丙地3條路，從丙地到丁地也有2條路。問：從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？分析與解：用A1，A2表示從甲地到乙地的2條路，用，B2B3表示從乙地丙地的3條路，用C1，表從丙地到丁地的條（見下頁圖）。共有下面種走法：A1B1C1A1B2C1A1B1C2A1B2CA1B3C2A2B1C1A2B2C1A2B1C2A2B2C2

事實上，從甲到丁是分三步走的第一步甲到乙種方法，第二步乙到丙有3方法，第步到丁有2種方法。對于第一步的每種方法第二步都有種方法所從甲到丙有×（種）方法；對從甲丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的走法共有××2＝（種）例、馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？分析與解：由下圖可以看出，帽和鞋共有6種配。事實上，小丑戴帽穿鞋是分兩步行的。第一步戴帽子，有3種方法；第二步穿鞋，有2種法。對第一步的每種方法，第二步都有兩種方法，所以不的搭配共有×2＝（種）。2

例用數(shù)字0，1，3，4，5以組成多少個三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？分析與解：組成一個三位數(shù)要分步進(jìn)行：第一步確定百位上的數(shù)字，除0以有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，為數(shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，也有6種法。根據(jù)乘法原理，可以組成三位數(shù)×66（個）。例、下圖，A，B，，D，E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？分析與解：將染色這一過程分為次給，B，，，E染色五步。先給A染，因為有5種顏色，故有種同的染色方法；第步給B染，因不能與A同，還剩下顏色可選擇，故種不同的染色方法；第步C染色，因為不能與A，同色，故有3種同的染色方法；第4步給D染色，因為不能與AC同，故有3種不同的色方法；第5步E染，由于不能與，C，D同色，故只有2種同的染色方法。根據(jù)乘法原理，有不同的染色方法×4332＝（種）。3

例、信號兵用紅、黃、藍(lán)三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號。每次可以掛一面或兩面并且掛的不同順序表示不同的信號那么一共可以表示多少種不同的信號？分析與解：表示信號的方法可以為三類：①掛一面旗，有種不掛法；②分兩步，掛兩面旗：掛第一面有三種不同的選擇，第二面旗有剩種不同的選擇，共有掛法：×2=6種）；③分三步，掛三面旗：掛第一面有三種不同的選擇，掛第二面旗有剩種不同的選擇，掛第三面旗只剩下種法，共有掛法32（種）．所以，一共可以表示不同的信號3+6+6=15種）．4

練習(xí)1.有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問：有多少種不同的裝束？2.四角號碼字典，用4個數(shù)碼表示一個漢字。小王自編一個“密碼本”，用3個數(shù)碼（可取重復(fù)數(shù)字）表示一個漢字，例如，用011”代表漢字“車”。問：小王的“密碼本”上最多能表示多少個不同的漢字？10×10×10=10003.“IMO”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這個字母寫成三種不同顏色?，F(xiàn)在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“？先寫有種方法；寫M，有4種方法最后寫，有種方法．一有：54×3=60（）；答：按述要求能寫60不同顏搭配的“．4.在右圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問：共有多少種不同的放法？分析：如果甲先放可以任意選擇（55=25個空中的一個，也就是說，有25可以選擇，當(dāng)選擇其中一個的時候，剩下了個空，排除同一列的其他4空，和同一行的四個空，剩下了：24-4-4=16空，也就是說，乙放入這剩下的16空，就可以滿足要求，所以，這樣的放法有2516=400．解答：解：甲55=25（種），乙：5×5-9=16（種）2516=400種）；答：共有400不同的放法．5

5.用數(shù)字2、34、5、6可組成多少個不同的三位數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)）？可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的不同的三位數(shù)？6.甲組有6人，乙組8人，丙組9人。從三個組中各選一人參加會議，共有多少種不同選法？7.用四種顏色給圖的五個區(qū)域涂色每個區(qū)涂一種顏色相鄰的區(qū)域涂不同的顏色．共有多少種不同的涂色方法．分析從B開始考慮4種選擇么C3種選擇2種選擇2種選擇有2種選擇；共有43×2×2=96選擇；據(jù)此解答．解答：解：根據(jù)分析可得，共有：4×32×22=96（種），答：共有96不同的涂色方法．6

課作、書架上有8本不同的報和本不同的書，每只能從架上任意取一本畫報一本書，共多少種同的取法？2.一個學(xué)生從2本不同的語文，本不同的學(xué)書本不同的連環(huán)畫各任取一本他共有多少不同的法？3.衣架上有3頂帽子、件上衣、條褲子。中任取頂帽子、一上衣、條褲子可以組成一裝