第十一講 乘法原理

第一乘原（單列【識(shí)理分類(lèi)計(jì)原理：完成件事有類(lèi)方法，各辦法相獨(dú)立每類(lèi)辦又有多不同的法（每一種可以獨(dú)的完成這個(gè)情）分步計(jì)原理：完成件事，要分幾個(gè)步，每一的完成有多不同的法。乘法原如果完成一件任務(wù)需要分成n步驟進(jìn)行，第步有種方法做第2有m2方法??做n有mn方法，么按照這樣步驟完這件任務(wù)有N×m2×?×mn種不同方法。從乘法原理可以看出將完成一件任務(wù)分成幾步做是解決問(wèn)題的關(guān)鍵而這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的。1

例、從甲地到乙地2條路，從乙地到丙地3條路，從丙地到丁地也有2條路。問(wèn)：從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？分析與解：用A1，A2表示從甲地到乙地的2條路，用，B2B3表示從乙地丙地的3條路，用C1，表從丙地到丁地的條（見(jiàn)下頁(yè)圖）。共有下面種走法：A1B1C1A1B2C1A1B1C2A1B2CA1B3C2A2B1C1A2B2C1A2B1C2A2B2C2

事實(shí)上，從甲到丁是分三步走的第一步甲到乙種方法，第二步乙到丙有3方法，第步到丁有2種方法。對(duì)于第一步的每種方法第二步都有種方法所從甲到丙有×（種）方法；對(duì)從甲丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的走法共有××2＝（種）例、馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場(chǎng)演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問(wèn)：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？分析與解：由下圖可以看出，帽和鞋共有6種配。事實(shí)上，小丑戴帽穿鞋是分兩步行的。第一步戴帽子，有3種方法；第二步穿鞋，有2種法。對(duì)第一步的每種方法，第二步都有兩種方法，所以不的搭配共有×2＝（種）。2

例用數(shù)字0，1，3，4，5以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？分析與解：組成一個(gè)三位數(shù)要分步進(jìn)行：第一步確定百位上的數(shù)字，除0以有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，為數(shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，也有6種法。根據(jù)乘法原理，可以組成三位數(shù)×66（個(gè)）。例、下圖，A，B，，D，E五個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？分析與解：將染色這一過(guò)程分為次給，B，，，E染色五步。先給A染，因?yàn)橛?種顏色，故有種同的染色方法；第步給B染，因不能與A同，還剩下顏色可選擇，故種不同的染色方法；第步C染色，因?yàn)椴荒芘cA，同色，故有3種同的染色方法；第4步給D染色，因?yàn)椴荒芘cAC同，故有3種不同的色方法；第5步E染，由于不能與，C，D同色，故只有2種同的染色方法。根據(jù)乘法原理，有不同的染色方法×4332＝（種）。3

例、信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)。每次可以掛一面或兩面并且掛的不同順序表示不同的信號(hào)那么一共可以表示多少種不同的信號(hào)？分析與解：表示信號(hào)的方法可以為三類(lèi)：①掛一面旗，有種不掛法；②分兩步，掛兩面旗：掛第一面有三種不同的選擇，第二面旗有剩種不同的選擇，共有掛法：×2=6種）；③分三步，掛三面旗：掛第一面有三種不同的選擇，掛第二面旗有剩種不同的選擇，掛第三面旗只剩下種法，共有掛法32（種）．所以，一共可以表示不同的信號(hào)3+6+6=15種）．4

練習(xí)1.有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問(wèn)：有多少種不同的裝束？2.四角號(hào)碼字典，用4個(gè)數(shù)碼表示一個(gè)漢字。小王自編一個(gè)“密碼本”，用3個(gè)數(shù)碼（可取重復(fù)數(shù)字）表示一個(gè)漢字，例如，用011”代表漢字“車(chē)”。問(wèn)：小王的“密碼本”上最多能表示多少個(gè)不同的漢字？10×10×10=10003.“IMO”是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫(xiě)，把這個(gè)字母寫(xiě)成三種不同顏色?，F(xiàn)在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫(xiě)出多少種不同顏色搭配的“？先寫(xiě)有種方法；寫(xiě)M，有4種方法最后寫(xiě)，有種方法．一有：54×3=60（）；答：按述要求能寫(xiě)60不同顏搭配的“．4.在右圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問(wèn)：共有多少種不同的放法？分析：如果甲先放可以任意選擇（55=25個(gè)空中的一個(gè)，也就是說(shuō)，有25可以選擇，當(dāng)選擇其中一個(gè)的時(shí)候，剩下了個(gè)空，排除同一列的其他4空，和同一行的四個(gè)空，剩下了：24-4-4=16空，也就是說(shuō)，乙放入這剩下的16空，就可以滿(mǎn)足要求，所以，這樣的放法有2516=400．解答：解：甲55=25（種），乙：5×5-9=16（種）2516=400種）；答：共有400不同的放法．5

5.用數(shù)字2、34、5、6可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)）？可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的不同的三位數(shù)？6.甲組有6人，乙組8人，丙組9人。從三個(gè)組中各選一人參加會(huì)議，共有多少種不同選法？7.用四種顏色給圖的五個(gè)區(qū)域涂色每個(gè)區(qū)涂一種顏色相鄰的區(qū)域涂不同的顏色．共有多少種不同的涂色方法．分析從B開(kāi)始考慮4種選擇么C3種選擇2種選擇2種選擇有2種選擇；共有43×2×2=96選擇；據(jù)此解答．解答：解：根據(jù)分析可得，共有：4×32×22=96（種），答：共有96不同的涂色方法．6

課作、書(shū)架上有8本不同的報(bào)和本不同的書(shū)，每只能從架上任意取一本畫(huà)報(bào)一本書(shū)，共多少種同的取法？2.一個(gè)學(xué)生從2本不同的語(yǔ)文，本不同的學(xué)書(shū)本不同的連環(huán)畫(huà)各任取一本他共有多少不同的法？3.衣架上有3頂帽子、件上衣、條褲子。中任取頂帽子、一上衣、條褲子可以組成一裝