高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義數(shù)列

11第五章

數(shù)列一基知定義1數(shù)，按順序給出的一列數(shù)，例如1，3，…，n，…數(shù)列有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù){}一般形式通常記作,a,,…，a或a,,,……其中叫nn數(shù)列的首項(xiàng)a是于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)．定理1若S表示{a的前項(xiàng)，則S=a當(dāng)n>1時(shí)a=S-S.nn定義2等數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，有a-=d（常數(shù){}稱為等差數(shù)列dn叫做公差．若三個(gè)數(shù)a,,c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為和c的差項(xiàng)，若公差為d,則=b-d,=+d.定理2等數(shù)列的性質(zhì)1）通公式=a+(-1)d；）n項(xiàng)和式：n(a)nnS1n；）=(-m)d，其中nm為整數(shù)；）n+m=pq，2則+=a5對(duì)任意正整數(shù)p，恒有a-=(-q-a)）若B少有一個(gè)不為ppq零，則}是等數(shù)列的充要條件是=+.定義3等數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有

anan

，{}稱等比數(shù)列q做公比．定理3等數(shù)列的性質(zhì)1）a=aq；2）前n項(xiàng)，q

1時(shí)S=

n)

；當(dāng)q=1時(shí)，S=；）果,,c成比數(shù)列，即b=(b，b叫做,c的比中項(xiàng)4）若=+q，則a=aa．np定義4極，給定數(shù)列{a}和實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的>0存在M，任意的n>M(n∈),有|-|<，稱A為→∞時(shí)數(shù){的極限，記作liman定義5無遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù){的公比q滿足q|<1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n和的限（即其所有項(xiàng)的和）為

（由極限的定義可得定理3第數(shù)學(xué)歸納法：給定命題(，若）(成立）pn時(shí)n=成時(shí)能推出p(對(duì)nk成，則由1得命題()一切自然數(shù)≥成．競(jìng)常定定理4第數(shù)學(xué)歸納法：給定命題()，若）(成立）pn對(duì)一切≤的自然數(shù)n都成時(shí)≥n）可出(+1)立，則由1得命題pn對(duì)一切自然數(shù)n≥立．定理5對(duì)齊次二階線性遞歸數(shù)列=ax+bx，它的特征方程=axb兩個(gè)根為,β若α，x=ca+β，中c,c初始條件x,x的值定(2)α=β，則=(cnc)，其中,c的由,值確定．二方與題1．不完全歸納法．這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式．通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明．例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通（不要求證明0，3，，15，24，，；），，19，65，…；），，，，，…．【解】）=n-1；2）=3-2；）-2n.n例2已知數(shù){a}滿足a,a…an,n≥1，求通項(xiàng)an【解】

因?yàn)?

12

,又a=2·用心

愛心

專心

nknnnnnn221nknnnnnn22121所以a=

1，=2332

,猜

n

(n

(≥1).證明；）n=1時(shí)a=

，猜想正確．2）假設(shè)當(dāng)n≤時(shí)想成立．當(dāng)=+1，由歸納假設(shè)及題設(shè)，aa++=[(+1)-1]a,1所以=(a,2即

1=k(+2),kk所以=(,以=

(kk2)

.由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以

1an(例3設(shè)0<<1，數(shù)列滿足=1+,aa，證：對(duì)任意n∈有>1.n【證明】證更強(qiáng)的結(jié)論1<1+a1)當(dāng)n=1時(shí)1<a，①式成立；2)假設(shè)nk時(shí)，①式成立，即≤a，則當(dāng)n=+1時(shí)有111211a1k由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證．2．迭代法．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)前n項(xiàng)S中n通常是對(duì)任意∈成立，因此可將其中的n換成+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或推．例4數(shù)列{a滿足a+pa+qa=0,n≥3，求證：存在常數(shù)，使得n2·+cqn【證明】

a2·+a(pa+a)+qa2(-)+2n

=q(a2an

n

[

2n

+(+)]=(n

2pan

n

qan

2n

).若

a221

=0，對(duì)任意,

pa+qann

=0，取=0即可.若paqa21的等比數(shù)列．

0，則

pann

}是項(xiàng)為

aaqa221

，公式為q所以2pa2=)nn21取2qa·即.綜上，結(jié)論成立．

·.例5已知a=0,a=5+n

24a

，求證：都是數(shù)∈N.【證明】

因?yàn)閍=0,a=1，以由題設(shè)知當(dāng)n≥時(shí)>.又由a=5a

a

移項(xiàng)、平方得a2ann

n

2n

①當(dāng)≥時(shí)把①式中的換-1

aaa0nnn

，即a

2n

n

n

2n

0.

②用心

愛心

專心

nnnnnnnnnnnnnn因?yàn)閍<，所以①式和②式說明a,a是程-10+n定理得a+aa(≥2).n再由a=0,a=1及式可知，當(dāng)∈時(shí)，是整數(shù)．n3．?dāng)?shù)列求和法．

2n

-1=0的兩個(gè)不等根．由韋達(dá)數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等．例6已知a=

n

100

(=1,2,…)，求S=a++…a【解】因?yàn)閍=

12100n1001+=n1004100100100)

，999999所以S().2210021例7求和：S+…2nn2)

【解】一般地，

1kkk2)k(kk2)12k(k2)

，所以S=

k(k

1111223(n(n122(2)

114n

例8已知數(shù){a}滿足a=a=1，=+,S為數(shù)nn

的前n項(xiàng)，求證：S<2．【證明】由推公式可知，數(shù){a}前幾項(xiàng)為，，2，，，，13．因?yàn)?/p>

S

138a22234256

，①所以

1Sn22252

．②由①-②得

112

2

nn

nn

，所以

1aSS24n

．又因?yàn)?lt;S且>0,n所以

1S所S，用心

愛心

專心

n2n2所以S<2，得證．4．特征方程法．例9已知數(shù){a}滿足a=3,=6,=4-4a，求a.nn【解】由特征方程=4-4得x=x=2.故設(shè)a=(α+βn·2，中，6所以=3β=0所以a=3·.例10已知數(shù)列{滿足a=3,=6,a=2a+3a，通項(xiàng)a.nn【解】由特征方程=2+3得x=-1,所以a=α·+β·(-1)，中，6解得=，β

，所以

an

14

n

·．5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列．例11正數(shù)列a,,…,a,…滿足

=2(≥且=1，求通項(xiàng)．【解】由

2a

得

annnn

=1，即

nn

nan令=

nn

+1，則是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等數(shù)列，0所以b=

nn

+1=2，所=（-1），naa所以a=n·…2··aanCCC.注：ni

2.i例12

2已知數(shù)列{滿足=2,x=n,∈,求通．n22【解】考慮函數(shù)f()=的動(dòng)點(diǎn)，由=得=xx2因?yàn)閤=2,x=,可知x}的每項(xiàng)均為正數(shù)．n

又x+2≥n

22

，所以x≥n≥．又X-

=

n2xn

2

=

(x2)n2xn

2

,①用心

愛心

專心

nnn23n1annn23n1aX

+2

2(xn=n2xxnn

2

,②x由①÷②得x2x2又>0，x

xx

．③由③可知對(duì)任意n∈，

xx2

>0且

2lg2

,所以

xx2

項(xiàng)

，公比為的等數(shù)列．所以

lg

x2x2

22·以

，解得

x

2

·

(22)

22

2)2)

22

．注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義．三基訓(xùn)題1．?dāng)?shù){}滿x=2,x=S+(+1)其中S為前項(xiàng)，≥2時(shí)，=_________.nnnx2.數(shù){}滿x=，=n,則{x的通項(xiàng)x=_________.xn3.數(shù){}滿x=1x+2nn≥，則{x的通項(xiàng)x=_________.n4.等數(shù){滿=5，且a>0,為項(xiàng)和則當(dāng)S最時(shí)=_________.n5.等數(shù){前項(xiàng)之和記若S=10S=70則=_________.6.數(shù){}滿x=-(≥2)，=,xb,S=x+…x，S=_________.nnn7.數(shù){}中，…=n-4+1則|+|a|+…a|=_________.nnxx8.若，且x+x…x=8，則=_________.xx13n9.等數(shù){，}的前n項(xiàng)和別為S和T若nn

2nan，limTnnn

=_________.n210.若!=(n…·則(=_________.!11．若}是無等比數(shù)列為整數(shù)，且滿足+=48,loga·loga+loga·+n1log·a+·a=36，求

的通項(xiàng)．12知列a}是公差不為零的等差數(shù)列列a}是公比為q的比數(shù)列bb=5,b=17,求）值數(shù){}的前和S．nn四高水訓(xùn)題用心

愛心

專心

21．已知函數(shù)f)=

x

數(shù){滿足a=，=()(∈N，n

(x則=_____________.2．已知數(shù)列{a}滿足a=1,a=a+2+3+…n-1)a(≥2)，則a}的通項(xiàng)n(na.(n2)3.若=n+,{是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值范圍__________.n4.設(shè)項(xiàng)等比數(shù)列a的首項(xiàng)a=n項(xiàng)為2S-（）+S=0，則a=_____________.5.已

limn

33a

n

13

，則的值范圍______________.6列}滿足a=3an∈在_________個(gè)a值{成等差數(shù)列在________nn個(gè)值，使}成等比數(shù)列．n7．已知

an

n401n402

(n∈)則在數(shù){的前50項(xiàng)中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有個(gè)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)和是12則這四個(gè)數(shù)分別____________.9.設(shè)}是由正數(shù)組成的數(shù)列對(duì)于所有自然數(shù)na與2的差中項(xiàng)等于S與等比中nn項(xiàng)，則a=____________.10.在比大于1的比數(shù)列中，最多連續(xù)__________是在100與之的整數(shù)11．已知數(shù)列{a}中，0，證：數(shù)列{}成差數(shù)列的充要條件是n11（≥）①恒成立．a(chǎn)aaa234n1n12．已知數(shù)列{a}和{b中有a=a,=nnnn

n2n

(≥2),當(dāng)a=p,=(>0,q>0)且pq時(shí)）求證：a>0,>0且ab=1（∈N證a+1=nn13．是否存在常數(shù),b,，使題設(shè)等式1·+2·+…+·+1)=(+bn+)

nn

）數(shù)列

limb.對(duì)于一切自然數(shù)n都成？證明的結(jié)論．五聯(lián)一水訓(xùn)題1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為97，樣的數(shù)列共有_________個(gè)．2．設(shè)數(shù)列}滿足=1,x=

4xn2xn

，則通項(xiàng)x=__________.3.設(shè)列}滿足=3,a>0，

a

2n

5n

，則通項(xiàng)a=__________.用心

愛心

專心

annann4.已數(shù)列a,a…a…滿足關(guān)系(3-a)·(6+a)=18，a=3則nn1=__________.aii5.等數(shù)列alog3,+3,+3的比=__________.6.各均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，樣的數(shù)列至多有_________項(xiàng)7.數(shù){}滿a=2,a=6,且

anan

=2，則limn

a12n

a

n

________.8.數(shù){}稱等差比數(shù)列僅當(dāng)此數(shù)列滿足{-}構(gòu)成公比為q的比數(shù)列，q稱為等差比數(shù)列的差比．那么，由00以內(nèi)自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于時(shí)，數(shù)最多有_________項(xiàng).a為偶數(shù)9．設(shè)∈，數(shù){}定義為：=1,a=2．：對(duì)于怎樣的h存在a為奇數(shù)n大于0的數(shù)n，使得=110．設(shè)}為非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥，滿足a≥a+）求證：對(duì)任意正整數(shù)kn，數(shù)列中存在個(gè)續(xù)項(xiàng)為0）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列．11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)a,,…,使得aa=1,a>1,a(a-1)=nn3nn六聯(lián)二水訓(xùn)題1．設(shè)a為述自然數(shù)N的個(gè)的位數(shù)字之