2021屆四川省成都市某中學(xué)高三期中數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

2021屆四川省成都市第七中學(xué)高三期中數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)全集，已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合補集和交集的定義求解即可．【詳解】或，則故選：B2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法將化簡即可得虛部.【詳解】，所以虛部為故選：C3．在矩形ABCD中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量的線性運算可得，再由平面向量數(shù)量積的運算法則計算即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖，所以.故選：C.4．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級，一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.【答案】D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．5．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求函數(shù)的定義域，再判斷其奇偶性，然后取特殊值即可得答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，因為所以為奇函數(shù)，因此排除A,C因為，所以排除B故選：D【點睛】此題考查函數(shù)圖像的識別，主要利用了函數(shù)的奇偶性和取特殊值進行判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．已知，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.8．已知函數(shù)，記，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的性質(zhì)，再比較的大小關(guān)系，從而利用單調(diào)性比較，，的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，并且當(dāng)時，是增函數(shù)，，因為，，即又因為在是增函數(shù)，所以.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較函數(shù)值的大小，本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的性質(zhì)，后面的問題迎刃而解.9．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減【答案】D【分析】化簡可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各個選項.【詳解】由，得，故A正確，不符合題意；由得，令得：，故B正確，不符合題意；因為，當(dāng)時，，故C正確，不符合題意；因為，即，令得，，故D錯誤，符合題意.故選：D10．設(shè)，滿足，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由，得，當(dāng)縱截距最小時，目標(biāo)函數(shù)值最小，在點處取得，且最小值為．故選：C.11．棱長為1的正方體中，為正方體表面上的一個動點，且總有，則動點的軌跡所圍成圖形的面積為（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本題首先可以根據(jù)題意確定當(dāng)時直線所在平面區(qū)域，然后結(jié)合圖像即可得出動點的軌跡所圍成圖形為，然后求出面積即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，易知直線平面，故動點的軌跡所圍成圖形為，因為為邊長為的正三角形，所以其面積，故選：C.【點睛】本題考查線面垂直的相關(guān)性質(zhì)，若直線與平面垂直，則直線垂直這個平面內(nèi)的所有直線，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.12．天干地支紀年法，源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推.在戊戌年你們來到成都七中，追逐那光榮的夢想.在1980年庚申年，我國正式設(shè)立經(jīng)濟特區(qū)，請問：在100年后的2080年為（）A．辛丑年 B．庚子年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】B【分析】由題意可得：數(shù)列天干是以為公差的等差數(shù)列，地支是以為公差的等差數(shù)列，以1980年的天干和地支分別為首項，即可求出答案.【詳解】由題意可得：數(shù)列天干是以為公差的等差數(shù)列，地支是以為公差的等差數(shù)列，從1980年到2080年經(jīng)過100年，且1980年為庚申年，以1980年的天干和地支分別為首項，則余數(shù)0，則2080年天干為庚，余數(shù)為，則2080年地支為子，所以2080年為庚子年.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是由題意得出數(shù)列天干是以為公差的等差數(shù)列，地支是以為公差的等差數(shù)列，1980年為庚申年，計算余數(shù)0，則2080年天干為庚，余數(shù)為，則2080年地支為子，所以2080年為庚子年.二、填空題13．已知集合，，則“”是“”的_____________條件．【答案】充分不必要【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義計算判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，顯然，所以能推出；當(dāng)時，有或，所以成立，不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.14．函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】.【分析】原命題等價于有解，再求的最小值即得解.【詳解】由題意，得，故存在切點，使得，所以有解，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，即，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：形如的有解問題，等價于，不是，所以本題只要求出的最小值即得解.15．已知橢圓，左焦點，右頂點，上頂點，滿足，則橢圓的離心率為____________.【答案】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算可得答案．【詳解】由可得，，即，則，解得或（舍）故答案為：16．體積為的三棱錐的每個頂點都在球的表面上，平面，，，則球的表面積的最小值為_________.【答案】【分析】根據(jù)球的直徑為PC的長，即為補成的長方體的體對角線的長，再根據(jù)平面，，，，求得，再由，利用基本不等式求解.【詳解】如圖所示：因為平面，，，所以，解得，設(shè)外接球的半徑為，球的直徑為PC的長，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.所以.所以球的表面積的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查球有關(guān)的組合體問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項和為，，，．（1）證明：為等比數(shù)列，并求；（2）記為的前項和，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明詳見解析；；（2）.【分析】（1）利用，化簡得出，并變形為，從而得出，利用等比數(shù)列的定義，可得出為等比數(shù)列，求出的通項公式，即可得出；（2）由（1）得出的通項公式，利用等比數(shù)列的求和公式得出，結(jié)合，得出的取值范圍【詳解】（1）∵，∴∴，∴∴，∴．∵，∴，∴．∴為以3為首項，為公比的等比數(shù)列．∴，∴．（2）∵，∴，∴∵恒成立，∴【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系，證明數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列不等式的恒成立問題，屬于中檔題.18．某地區(qū)2013至2019年的年用電量（單位：萬千瓦時）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測該地區(qū)2022年的年用電量.年份2013201420152016201720182019年份代號1234567使用電量29333644485249參考公式：，.【答案】（1）；（2）73萬千瓦時.【分析】（1）先求，，再代入題目中給的公式即可求出，，即可求求解；（2）2022年對應(yīng)，將代入（1）中所得的方程即可求解【詳解】（1）由題意可得，，，，，∴關(guān)于的線性回歸方程：.（2）利用（1）中的回歸方程可得，當(dāng)時，，故該地區(qū)2022年的年用電量為73萬千瓦時.19．如圖甲，平面四邊形中，已知，，，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使得平面平面(如圖乙)，設(shè)點，分別是棱，的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）在圖甲中先證，在圖乙中由面面垂直的性質(zhì)定理先證，由條件可得，進而可判定DC平面ABC；（2）利用等體積法進行轉(zhuǎn)化計算即可.【詳解】（1）圖甲中，∵且，，，即，圖乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面，∴平面BDC，又平面BDC，∴，又，∴，且，又，平面ABC，∴DC平面ABC；（2）因為點，分別是棱，的中點，所以，且，所以平面，由（1）知，平面BDC，又平面BDC，所以，，，，，，，所以，，，所以.【點睛】方法點睛：計算三棱錐體積時，常用等體積法進行轉(zhuǎn)化，具體的方法為：①換頂點，換底面；②換頂點，不換底面；③不換頂點，換底面.20．已知橢圓的離心率為，是橢圓上的一點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于不同兩點、，點關(guān)于軸的對稱點為，問直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）由離心率為得，將代入橢圓，聯(lián)解得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)解得，求得.，，設(shè)出直線方程化簡得解.【詳解】（1）∵，，∴，∴，將代入橢圓，∴，∴.（2）顯然斜率存在，設(shè)方程為：，，，∴.設(shè)，，，∴，，∵，∴時，∴直線過定點.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的定點等基本知識與基本技能，以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.意在考查考生的運算求解能力、推理論證能力以及分析問題、解決問題的能力.21．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若在有且只有一個零點，求的取值范圍．【答案】（1）極小值，無極大值；（2）.【分析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)正負來確定原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定極值點，計算極值即可；（2）首先函數(shù)有且只有一個零點即是方程在上只有一個解，令，，再分別對，和三種情況研究兩個函數(shù)有且只有一個交點時滿足的條件，即得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知，時，又在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，時，故y單調(diào)遞減，當(dāng)時，故y單調(diào)遞增.故當(dāng)時函數(shù)取得極小值，無極大值；（2）依題意，函數(shù)，即方程在上只有一個解，令，，則函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，又在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，如圖所示：顯然，此時滿足函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，符合題意；②當(dāng)時，方程，顯然在上有且僅有一個零點，符合題意；③當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，如圖所示：要使函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，只需處，，即，即，又，故.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】已知函數(shù)的零點情況求參數(shù)取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.22．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．1求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；2設(shè)M是直線l上任意一點，過M做圓C切線，切點為A、B，求四邊形AMBC面積的最小值．【答案】（1）圓的普通方程為.直線直角坐標(biāo)方程(2)【分析】（1）結(jié)合，消去參數(shù)，得到圓C的普通方程；結(jié)合，代入，得到直線l的直角坐標(biāo)方程．（2）計算，圓心C到該直線的距離，計算四邊形AMBC的面積，計算最小值，即可．【詳解】（1）由得，即圓的普通方程為.由得，即，由得直線直角坐標(biāo)方程（2）圓心到直線:的距離為是直線上任意一點，則，四邊形面積……9分四邊形面積的最小值為【點睛】