《相似三角形的判定》

1.相似圖形3.

相似多邊形性質(zhì)

知識回顧2.相似比4.比例線段情境引入相似三角形相似三角形

對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.ABCEDF相似的表示方法符號：∽讀作：相似于探究1ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=

k當(dāng)時，則△ABC與△A1B1C1相似，記作△ABC∽

△A1B1C1.

要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.注意探究1

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=

k時，ABCA1B1C1則△ABC與△A1B1C1的相似比為

k

.或△A1B1C1與△ABC的相似比為.

想一想:如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？

探究1

請分別度量l3,l4,l5在l1

上截得的兩條線段AB,

BC和在l2

上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想：ABCDEFl3l4l5

l1l2探究2

除此之外，還有其他對應(yīng)線段成比例嗎？事實上，當(dāng)l3

//l4

//

l5時，都可以得到，

還可以得到，，等.ABCDEFl3l4l5

l1l2

想一想：通過探究，你得到了什么規(guī)律呢？

基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．探究2將基本事實應(yīng)用到三角形中，

結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．探究2

思考：如圖，在△ABC

中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC

于點D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？證明：在△ABC

與△ADE中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AED＝∠C.過點E作EF∥AB，交BC于點F.∵DE∥BC，EF∥AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE＝BF.∴△ADE∽△ABC探究2

當(dāng)DE分別交BA，CA的延長線于點D，E時，△ABC與△ADE相似嗎？相似符號語言：∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE

相似三角形判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．CDBAE探究2解：∵AB∥CD∥EF

，1.如圖AB//CD//EF

，AF與BE相交于點G，AG＝2，GD＝1，DF＝5，求的值．練習(xí)12.如圖，在△ABC

中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2．寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比．∴△ADE

∽△ABC相似比為：練習(xí)1

任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍．度量這兩個三角形的角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論．探究3角都相等這兩個三角形相似

快來證明吧？

在△ABC

與△A′B′C′中，如果滿足，求證：△ABC∽△A′B′C′

在線段A′B′（或它的延長線）上截取A′D＝AB，過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點E.∴△A′DE∽△A′B′C′證明：又探究3判定定理1：三邊成比例的兩個三角形相似．符號語言：

類似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？探究3

事實上，我們可以用這種方式判定兩三角形相似，請自己試一試吧！

判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：

如果角不是夾角呢？不能判斷相似例1

根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由：（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，

A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm．（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解:（1）

這兩個三角形的相似比是多少？例1

根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由：（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，

A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm．（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解:（2）

這兩個三角形的相似比是多少？練習(xí)21．根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：（1）∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm，∠A′=40°，A′B′=16cm，A′C′=30cm．（2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，A′B′=16cm，B′C′=12.8cm，A′C′=25.6cm．（1）相似兩邊成比例，夾角相等.（2）相似三邊成比例.練習(xí)22．判斷圖中的兩個三角形是否相似．為什么？相似三邊成比例相似兩邊成比例，夾角相等20？30練習(xí)2三種制作方案第1種：另兩條邊長分別為cm，3cm.第2種：另兩條邊長分別為cm，cm.第3種：另兩條邊長分別為cm，cm.3．要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4cm，5cm和6cm，另一個三角形框架的一邊長為2cm，它的另外兩條邊長應(yīng)當(dāng)是多少？說出你的制作方案．探究4下面的兩幅大小不同的三角板相似嗎？相似30°30°60°60°45°45°450450

一般地，我們可以利用兩組角相等來判斷兩個三角形相似.判定定理3：兩角分別相等的兩個三角形相似．符號語言：試一試，自己證明一下吧。

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D．求AD的長．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=

∠A，∴△AED∽

△ABC例2探究5

根據(jù)三角形相似的條件，判定兩個直角三角形相似有哪些方法呢？一銳角相等兩組直角邊成比例

思考：我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定．那么，滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？事實上，這兩個直角三角形相似.讓我們一起證明吧！

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，，求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′證明：設(shè)則由勾股定理，得∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′探究5練習(xí)31．底角相等的兩個等腰三角形是否相似？頂角相等的兩個等腰三角形呢？證明你的結(jié)論．答：相似.理由如下：已知：等腰△ABC

中AB

=

AC

和等腰△A′B′C′，A′B′=A′C′

且有∠A=∠A′,求證:△ABC∽△A′B′C′.證明：∵AB

=AC,A′B

′=

A′C′

∵

∠A=

∠

A

′∴△ABC∽△A′B′C′.練習(xí)32.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，求證：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC．證明：（1）在Rt△ABC中

∵CD是斜邊AB上的高，

∴∠ADC=∠C=900

∵∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC

（2）在Rt△ABC中

∵CD是斜邊AB上的高，∴∠BDC=∠C

∵∠B=∠B

∴△CBD∽△ABC練習(xí)33．如果Rt△ABC中的兩條直角邊分別為3和4，那么以3k和4k（k為正整數(shù)）為直角邊的直角三角形一定與Rt△ABC相似嗎？為什么？答：相似.理由如下：由勾股定理得，這兩個直角三角形的斜邊分別為：∴這個直角三角形一定與Rt△ABC相似.拓展提高1.如圖在正方形網(wǎng)格上有△A1B1C1和△A2B2C2，它們相似嗎？如果相似，求出相似比；如果不相似，請說明理由.解：△A1B1C1∽△A2B2C2相似比為2:12.如圖已知，試說明∠BAD＝∠CAE.拓展提高解：∵∴△ABC∽△ADE∴∠BAC＝∠DAE∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC即∠BAD＝∠CAEADCEB拓展提高3.如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA＝2:3，EF＝4.求CD的長．解:∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴DE:DA＝EF:AB∵DE:EA＝2:3∴DE:DA＝2:5∴EF:AB＝2:5∵EF＝4∴AB＝10∴在□ABCD中，CD＝AB＝10拓展提高4.要作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊的長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，怎樣選料可使這兩個三角形相似?方案一：2:6＝x:4＝y(tǒng):5x＝，y＝方案二：2:4＝x:5＝y(tǒng):