數(shù)學(xué)必修四公式

數(shù)學(xué)必修四公式數(shù)學(xué)必修四公式/NUMPAGES17數(shù)學(xué)必修四公式數(shù)學(xué)必修四公式數(shù)學(xué)必修四公式公式一:

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二:

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

誘導(dǎo)公式記憶口訣

※規(guī)律總結(jié)※

上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:

對于k·π/2±α(k∈Z)的個三角函數(shù)值，

①當(dāng)k是偶數(shù)時，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變;

②當(dāng)k是奇數(shù)時，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

(奇變偶不變)

然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

(符號看象限)

例如:

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4為偶數(shù)，所以取sinα。

當(dāng)α是銳角時，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)＜0，符號為“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα

上述的記憶口訣是:

奇變偶不變，符號看象限。

公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。

各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正;二正弦;三為切;四余弦”.

這十二字口訣的意思就是說:

第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;

第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”;

第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”，弦函數(shù)是“-”;

第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”.

其他三角函數(shù)知識:

同角三角函數(shù)基本關(guān)系

⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的關(guān)系:

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關(guān)系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

(1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

(2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。

(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

(3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tanα+tanβ

tan(α+β)=

1-tanα·tanβ

tanα-tanβ

tan(α-β)=

1+tanα·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

2tanα

tan2α=

1-tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)

1-cosα

sin^2(α/2)=

2

1+cosα

cos^2(α/2)=

2

1-cosα

tan^2(α/2)=

1+cosα

萬能公式

⒌萬能公式

2tan(α/2)

sinα=

1+tan^2(α/2)

1-tan^2(α/2)

cosα=

1+tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα=

1-tan^2(α/2)

萬能公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))*，

(因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1)

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

3tanα-tan^3(α)

tan3α=

1-3tan^2(α)

三倍角公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得:

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三倍角公式聯(lián)想記憶

記憶方法:諧音、聯(lián)想

正弦三倍角:3元減4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”))

余弦三倍角:4元3角減3元(減完之后還有“余”)

☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式

α+βα-β

sinα+sinβ=2sin·cos

22

α+βα-β

sinα-sinβ=2cos·sin

22

α+βα-β

cosα+cosβ=2cos·cos

22

α+βα-β

cosα-cosβ=-2sin·sin

22

積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式推導(dǎo)

附推導(dǎo):

首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.

我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有:0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ=0時，λa=0。

設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λ+μ)a=λa+μa(