高職高等數(shù)學(xué)函數(shù)

第1講函數(shù)

2014-10-95/23/2023一函數(shù)的概念二函數(shù)的表示方法三分段函數(shù)四反函數(shù)五初等函數(shù)六函數(shù)的幾種性質(zhì)5/23/2023一函數(shù)的概念

常量與變量定義設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，變量y隨著x的變化而變化，當(dāng)x在一個(gè)非空數(shù)集D上任取一值時(shí)，y依照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。記為5/23/2023其中,x叫做自變量，y叫做因變量或函數(shù)。數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，記為D（f）。當(dāng)自變量x在其定義域內(nèi)取某確定值x0時(shí)，因變量y按照所給的函數(shù)關(guān)系（對(duì)應(yīng)法則），求出的對(duì)應(yīng)值y0，稱做當(dāng)x=x0時(shí)的函數(shù)值。記為

相應(yīng)地，y值的集合稱為函數(shù)y=f(x）的值域。

或5/23/2023注意

1.函數(shù)的定義有兩個(gè)要素，即定義域(D)與對(duì)應(yīng)規(guī)則(f)。所以，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則完全相同時(shí)，他們才是同一個(gè)函數(shù)。

2.函數(shù)的定義域D，要符合客觀要求。如：身高、體重等不能小于0;……

5/23/20233.求函數(shù)定義域時(shí)，要注意：分式中分母不為0;根式中負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次根；對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0…

4.對(duì)于特殊函數(shù)——反三角函數(shù)(arcsinx等)，除定義域與法則以外，數(shù)學(xué)上同時(shí)也規(guī)定了它的值域。5/23/20235/23/2023二函數(shù)的表示方法常用的表示方法有三種：解析法（公式法）、表格法和圖示法。

(1)解析法是指用解析表達(dá)式（或公式）去表示函數(shù)關(guān)系。例如

5/23/2023

(2)表格法是用列表的方法來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，例如水文監(jiān)測(cè)站統(tǒng)計(jì)了某河流20年內(nèi)平均月流量V，如表1.1所示。

表1.1

這是用表格表示的函數(shù)，當(dāng)自變量x取1～12之間任意一個(gè)整數(shù)時(shí)，從表格里可得出y的一個(gè)對(duì)應(yīng)值。x月份123456789101112y平均月流量V/億m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.725/23/2023

(3)圖示法是用直角坐標(biāo)系x0y平面上的曲線表示函數(shù)關(guān)系

5/23/2023三分段函數(shù)例它們的圖形如下：-1105/23/2023寫出下面函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式例：學(xué)校外超市，由于期假貨物積壓，現(xiàn)物價(jià)促銷，可樂(lè)原價(jià)2.50元/罐，現(xiàn)促銷如下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。請(qǐng)寫出此時(shí)可樂(lè)的銷售量（Q）與銷售收入（R）之間的關(guān)系函數(shù)。5/23/2023四反函數(shù)定義設(shè)給定y是x的函數(shù)，，如果對(duì)其值域R中的任一值y，都可通過(guò)關(guān)系式在其定義域D中確定唯一的一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，則得到一個(gè)定義在R上的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)，我們稱其為的反函數(shù)。記為

5/23/20235/23/2023Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù)什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？5/23/2023Oxy-xxy=x2yy=x2的反傻函數(shù)顛是多名值函姿數(shù)：x=

。把x限制在區(qū)間[0,)，則y=x2的反函數(shù)是單值的，即x=。它稱為函數(shù)y=x2的反函數(shù)的一個(gè)單值分支。反函賽數(shù)的蛾單值浸分支君：另一個(gè)單值分支為x=-

。5/潮19孔/2拔02劈燕3在數(shù)莊學(xué)中都，習(xí)虜慣上痕自變弄量用x表示瘋，因污變量姥用y表示醋。按閑此習(xí)綿慣，就我們妨把函雞數(shù)y=f(x)的敲反函添數(shù)x=j(y)改煌寫成y=j(x)。抓例如y=x2的反霞函數(shù)德寫為y=姜。反函丈數(shù)的深圖形奮：反函績(jī)數(shù)的都圖形日與直惑接函銷數(shù)的醉圖形父關(guān)于剖直線y=x對(duì)稱魯。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于鐮反函呼數(shù)的沖變量若符號(hào)款：5/旨19鄙/2表02搏3五秘初英等函聽(tīng)數(shù)1.5.陽(yáng)1基本賣初等腰函數(shù)口及其誦圖形下列圣函數(shù)仆稱為苦基本駱初等呼函數(shù)常量倆：y=可c（C為常皂數(shù)）(2道)鬧冪振函數(shù)事：(3軟)總指尿數(shù)函沃?jǐn)?shù)：(4匯)趴對(duì)樣數(shù)函息數(shù)：(5覆)智三擔(dān)角函指數(shù)：(6老)制反鞭三角擇函數(shù)慰：5/殊19賽/2鑰02瘡31.5.網(wǎng)2復(fù)合禍函數(shù)定義，函數(shù)儀的騰值域裂的全牢部或啊一部擱分包繳含在由函數(shù)虹的定升義域臺(tái)內(nèi)，秀則對(duì)迫的歡定義圓域內(nèi)續(xù)的某診些x，有此函幅數(shù)稱弓函數(shù)結(jié)與函毫數(shù)均復(fù)巴合而壞成的這復(fù)合鋪函數(shù)供，其震中u稱為床中間衡變量氏。重點(diǎn)犧掌握廁復(fù)合俘函數(shù)酷的分惜解5/武19愁/2難02瞎3注意不是千任何名兩個(gè)語(yǔ)函數(shù)詠都可權(quán)以復(fù)廉合成蒸一個(gè)銷復(fù)合唱函數(shù)屋，例遮如，，薄就不煎能復(fù)杜合成午一個(gè)風(fēng)復(fù)合巴函數(shù)掘，因籮為的定償義域晃中起的任剪何值x所對(duì)艇應(yīng)的u值都去大于冶或等帆于2淚，即茂全部柳落在絲式的定汗義域疊之外爹。5/恐19趴/2里02六3例已知閱求肉的表義達(dá)式轉(zhuǎn)。解：厘令藥解出將u換成x，得出例設(shè)蚊，嬌求復(fù)陷合函遍數(shù)的定口義域妹。解：傻已知海的定守義域怠為她，杯即[-漢3，灘3]；的定病義域遍為笨。由得獸定義盾域?yàn)閇-肺4，拌2]。5/趁19呼/2儲(chǔ)02伍31.5.作3初等瞧函數(shù)定義由基本根初等泰函數(shù)火經(jīng)過(guò)剖有限鼓次的良四則饑運(yùn)算及占有限倘次復(fù)唉合過(guò)予程所泉構(gòu)成賺的函幟數(shù)，志叫作初等甚函數(shù)蔽。例如等等六。5/涉19隔/2輪02中3六霸函數(shù)答的幾文種性駕質(zhì)1.6.核1函數(shù)鼓的單錘調(diào)性定義設(shè)函唱數(shù)腹定義羊在D上：5/奴19棟/2當(dāng)02幸31.6.恰2函數(shù)他的奇夸偶性定義混3設(shè)函產(chǎn)數(shù)冬在D上有耐定義口，（1）若喘對(duì)于行任意月的恒有婦則昨稱f(x)為偶吵函數(shù)鍵。（2）對(duì)趨于任跳意的恒有晃，則妙稱f(x)為奇宵函數(shù)違。注意當(dāng)函士數(shù)具瘡有奇苗偶性訴時(shí)，交其定蹈義域炕必定反是關(guān)禽于原篇點(diǎn)對(duì)虜稱的遼，即版若仇,條則遭。偶函崇數(shù)的樹(shù)圖象斷關(guān)于y軸對(duì)并稱，集奇函嶼數(shù)的睛圖象裳關(guān)于破原點(diǎn)西對(duì)稱界。5/今19稀/2里02隙3Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函洲數(shù)舉訂例：y=x2，y=co皆sx都是澇偶函擋數(shù)偶函陜數(shù)的顆圖形壩關(guān)于y軸對(duì)頌稱。設(shè)函少數(shù)f(x)的罷定義蒜域D關(guān)于膨原點(diǎn)溉對(duì)稱聚。如洗果對(duì)競(jìng)于任徹意的xD，有f(-x)=f(x)，敬則稱f(x)為迫偶函閱數(shù)。5/畏19源/2魂02渣3奇偶喊函數(shù)迷舉例偽：y=x3，y=si鴉nx都是訂奇函確數(shù)。101x-22y如果眉對(duì)于涂任意掘的xD，有f(-x)=-f(x)，副則稱f(x)為袖奇函乓數(shù)。北奇函孕數(shù)的職圖形挽關(guān)于鬼原點(diǎn)睛對(duì)稱紗。5/揀19柏/2基02茫3例判定扒函數(shù)裝的奇慣偶性5/販19敵/2房誠(chéng)02令31.6.齒3函數(shù)晌的周笨期性定義若存諸在常低數(shù)滑，朱對(duì)任禮意的x，恒有級(jí)，則答稱誤為浩周期陰函數(shù)諸。使得布上述縮慧等式損成立姥的最棵小正辜數(shù)T，稱為始的最型小正車周期藥，簡(jiǎn)單稱函煎數(shù)緩的焦周期浙。例，討就是卵一個(gè)擱周期建函數(shù)萌，它桌的周遼期為度。5/妄19戒/2掀02過(guò)31.6.賠4函數(shù)辜的有丘界性定義設(shè)函撇數(shù)強(qiáng)在糖區(qū)間演（a，齡b）內(nèi)有定表義，獄若存沉在正云數(shù)棋使得濤對(duì)于襲任意的撿，姻恒有共，則局稱函礦數(shù)在好（a，愉b）內(nèi)是盟有界鏟的。臨否則漲，稱齒函數(shù)在（a，扣b）內(nèi)是家無(wú)界避的。例如函數(shù)作在棍內(nèi)繁是有燈界的間，因濃為對(duì)特于任派意駝的恒雹有賀。（指魔函數(shù)飯值有辟界）5/孩19撲/2慢02頃3值得昂注意何的是柔：同背一法朵則，我在不阻同定氏義域麥里，斗或許瘡會(huì)有賴不同中的性馬質(zhì)！5/既19命/2程02