2021屆天津市南開區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆天津市南開區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故選：A2．“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】直接利用充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，可得，故成立；當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，不成立；所以“”是“”必要不充分條件.故選：B.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】D【分析】求使函數(shù)有意義的x的取值范圍即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得，即函數(shù)定義域?yàn)榛?故選：D.4．已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，所以，故選：C5．函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移變換得到函數(shù)的圖像()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以將函?shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)的圖象，故選B．【解析】三角函數(shù)圖象的平移變換．6．已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為（-1,1），半徑，弦心距為．因?yàn)閳A截直線所得弦長(zhǎng)為4，所以．故選B．7．已知函數(shù)，且，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后結(jié)合中間值0和1比較冪和對(duì)數(shù)的的大小，最后可得結(jié)論．【詳解】由題意知是偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，，又，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查冪與對(duì)數(shù)的比較大小，實(shí)質(zhì)考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】畫出圖形，由圓的性質(zhì)可得，結(jié)合拋物線的方程求出到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可求出，結(jié)合拋物線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以為圓的直徑，,因?yàn)辄c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，由拋物線定義知.故選：C．9．已知，若函數(shù)有三個(gè)或者四個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．或 B． C．或 D．或或【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，由得.當(dāng)時(shí)，由得.所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)或四個(gè)零點(diǎn).對(duì)，由得.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；由于，所以有一個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)，選A.【解析】函數(shù)的零點(diǎn).二、填空題10．已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法法則求出，進(jìn)而可求出模.【詳解】解：，則.故答案為:11．曲線在點(diǎn)處的切線方程是________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求解出切線的斜率，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解出切線方程.【詳解】，.又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線在某點(diǎn)處的切線方程的求法，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較易.12．已知如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形，四邊形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝.若BF＝BD＝2，則多面體的體積__________．【答案】【解析】試題分析：如圖，連接AC，AC∩BD＝O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，AC⊥BD，又因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，ED⊥AC.因?yàn)?，ED，BD?平面BDEF，且ED∩BD＝D，所以，AC⊥平面BDEF，所以，AO為四棱錐A-BDEF的高．又因?yàn)?，四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝，所以，△ABD為等邊三角形．又因?yàn)?，BF＝BD＝2，所以，AD＝2，AO＝，S四邊形BDEF＝4，所以，V四棱錐ABDEF＝，即多面體的體積為.【解析】棱錐體積13．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】4【分析】由已知得，然后利用基本不等式求最值即可.【詳解】由題可知，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、雙空題14．已知雙曲線的方程為，則此雙曲線的離心率為___________，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為_____________．【答案】1【解析】（1），所以，故離心率為，漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到它們的距離為.15．如圖，在邊長(zhǎng)1為正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，則______，若，則______.【答案】【分析】設(shè)向量，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可求得，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算法，化簡(jiǎn)得和，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)向量，則可得，，又因?yàn)?，可得，解得，所?四、解答題16．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，的面積為.（1）求，，的值；（2）求的值.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得的值，結(jié)合面積公式求得，再根據(jù)和余弦定埋，即可求得的值；（2）由（1）及正弦定理求得，進(jìn)而求得，結(jié)合三角恒等變換的公式，即可求得的值【詳解】（1）由，因?yàn)?，可得，又由，解得，又因?yàn)?，解得，，根?jù)余弦定埋得，即，所以，，.（2）由（1）及正弦定理，可得，解得，因?yàn)?，所以，所以，，所?【點(diǎn)睛】方法規(guī)律總結(jié)：對(duì)于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，同時(shí)注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.17．如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，，從而得到平面，由此能夠證明平面.（2）以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出二面角的正弦值.（3）求出的坐標(biāo)，利用向量法點(diǎn)到平面的距離公式，可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，且，所以平?所以.因?yàn)榕c相交，且都屬于平面.所以平面.（2）以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.因?yàn)槊?，面，所以，在中，，為的中點(diǎn)，所以.所以，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則即化簡(jiǎn)得令，得是平面的一個(gè)法向量.又平面的一個(gè)法向量為，.所以二面角的正弦值為.（3）因?yàn)檩S，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】用向量法求二面角的正弦值或余弦值、點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵點(diǎn)為：①建立三維空間直角坐標(biāo)系②求點(diǎn)坐標(biāo)，求相關(guān)向量坐標(biāo)③求法向量④帶公式，計(jì)算⑤得結(jié)果.18．已知點(diǎn)F為橢圓（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的下頂點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若M、N在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上，且直線AM∥直線BN，直線AN、BM的斜率分別為k1和k2，求證：k1?k2＝e2﹣1（e為橢圓的離心率）.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為1，則有求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分別設(shè)直線AM的方程為y＝k（x﹣2），直線BN的方程為y＝kx，與橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用斜率公式代入k1?k2求解.【詳解】（1）由題意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），設(shè)直線AM的斜率為k，則直線BN的斜率也為k，故直線AM的方程為y＝k（x﹣2），直線BN的方程為y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2?，又∵，∴k1?k2＝e2﹣1.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19．已知等差數(shù)列滿足，，分別是等比數(shù)列的首項(xiàng)和第二項(xiàng).（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】(1)由已知條件求出，，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用首項(xiàng)和公差表示和，從而可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式，即可得和，求出公比即可求出通項(xiàng)公式.(2)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求出，進(jìn)而求出，由裂項(xiàng)相消法可求出的前項(xiàng)和.(3)由錯(cuò)位相減法可求出.【詳解】解：（1）由已知為等差數(shù)列，記其公差為.因?yàn)椋?，，則.解得，所以.從而，，所以公比，所以.（2）因?yàn)?，所?所以（3）因?yàn)樗运?，所?【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:在用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，一是注意兩式相減后，的系數(shù)，二是兩式相減后等號(hào)右邊計(jì)算要仔細(xì).20．已知函數(shù)，.（1）求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖像與的圖像有，兩個(gè)不同的交點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（2）求出的表達(dá)式并求導(dǎo)，通分，分解因式，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的不同情況對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系討論的單調(diào)性；（3）由題意可得有兩個(gè)不同的根，則①，②，消去參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性并利用放縮法推出，再次構(gòu)造函數(shù)，通過證明來證明.【詳解】解：（1）.令，得，所以在上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.所以的最小值為.（2），定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)通減.當(dāng)時(shí).令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（3），因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).所以關(guān)于的方程，即有兩個(gè)不同的根.由題知①，②，①②得③，②①