數(shù)學(xué)建模中的插值問題

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室

插值1實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解插值問題。1、了解插值的基本內(nèi)容。[1]一維插值[2]二維插值[3]實驗作業(yè)2拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一維插值一、插值的定義二、插值的方法三、用Matlab解插值問題返回3返回二維插值一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用Matlab解插值問題最鄰近插值分片線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值4一維插值的定義已知n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產(chǎn)生,，表達式復(fù)雜,，或無封閉形式,，或未知.。5構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點,即再用計算插值，即返回6稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足：

Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x)為n次多項式：拉格朗日(Lagrange)插值7拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物)插值多項式:8拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例返回ToMatlablch(larg1)9分段線性插值計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.xjxj-1xj+1x0xnxoy10ToMATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回例用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在[-6,6]中平均選取5個點作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均選取41個點作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均選取11個點作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均選取21個點作插值(xch13)11比分段線性插值更光滑。xyxi-1xiab在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值12

三次樣條插值g(x)為被插值函數(shù)。13例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych)返回ToMATLABych(larg1)14用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結(jié)果‘nearest’：最鄰近插值‘linear’：線性插值；‘spline’：三次樣條插值；‘cubic’：立方插值。缺省時：分段線性插值。注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。15例：舍在1集-1經(jīng)2的筍11玻小時茂內(nèi)，銳每隔納1小仿時測樂量一似次溫竟度，件測得鐘的溫魚度依紋次為漆：5怖，8胞，9起，1精5，打25香，2泳9，袖31些，3腫0，渾22讓，2坊5，桑27病，2木4。蛇試估群計每蠅隔1振/1襯0小種時的劣溫度兵值。To扁M皆AT沿LA防B(t麻em言p)ho廊ur偉s=糠1:碎12階;te牢mp鈔s=曠[5馬8瞧9絹1啊5懂25屯2揮9予31滾3弦0飲22酒2塔5毛27健2搏4]燙;h=羊1:界0.墨1:援12躁;t=負in翼te狀rp溜1(倒ho諸ur末s,罷te斷mp萬s,奪h,乎'sp驢li括ne')刺;訊(直接葬輸出愿數(shù)據(jù)心將是棋很多去的)pl攏ot陣(h姓ou膚rs柿,t剩em零ps宗,'記+'奮,h懸,t蟲,h騾ou潤rs正,t蔽em欲ps錢,'爛r:貨')徹%作圖xl虎ab狀el('銹Ho槽ur雹')葛,yl敏ab唉el('口De累gr彎ee啄s滅Ce輛ls該iu排s’侍)16xy機翼下輪廓線例皂已層知飛牲機下鉤輪廓翅線上暗數(shù)據(jù)鏈如下腥，求x每改瘡變0.煙1時的y值。To惜M易AT蕩LA室B(綠pl那an庫e)返回17二維辦插值酒的定逃義xyO第一便種（灑網(wǎng)格噴節(jié)點登）：18已知mn個節(jié)阻點其中互不相同，不妨設(shè)構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即19第二設(shè)種（乘散亂彎節(jié)點否）：yx020已知n個節(jié)點其中互不相同，構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即返回21注意顏：最鄰膜近插墊值一刷般不競連續(xù)訊。具氏有連苗續(xù)性鋤的最良簡單剖的插咬值是盲分片突線性柄插值死。最鄰閱近插補值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二維水或高吃維情勁形的甩最鄰址近插赴值，漢與被距插值封點最邊鄰近喪的節(jié)點耳的函呢數(shù)值祝即為格所求島。返回22將四畝個插晨值點吹（矩落形的匠四個立頂點付）處湖的函掛數(shù)值偵依次枕簡記桐為：分片售線性震插值xy(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f423插值升函數(shù)至為：第二混片(夜上三翻角形顯區(qū)域真)：蜂(x,y)滿足插值輝函數(shù)房誠為：注意：(x,y)當然溫應(yīng)該莫是在睛插值票節(jié)點紫所形秤成的飯矩形救區(qū)域童內(nèi)。敵顯然刑，分赴片線吃性插爺值函帶數(shù)是擺連續(xù)亦的；分兩兵片的派函數(shù)理表達世式如饑下：第一澇片(貓下三退角形將區(qū)域叔)：龜(x,y)滿足返回24雙線姐性插閉值是弟一片荒一片怒的空亞間二媽次曲祖面構(gòu)析成。雙線艱性插攪值函曬數(shù)的貨形式壟如下鞏：其中榨有四麗個待坊定系閑數(shù)，賄利用舍該函凍數(shù)在蔑矩形臭的四羅個頂順點（卸插值秘節(jié)點插）的喜函數(shù)鹿值，糾得到成四個背代數(shù)澇方程船，正餓好確巨定四鼓個系辮數(shù)。雙線藥性插死值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O返回25要求x0串,y師0單調(diào)覽；x，降y可取為矩召陣，扣或x取行胖向量月，y取為達列向剩量，x,壯y的值板分別腐不能鈔超出x0敢,y漏0的范陰圍。z=勿in忽te農(nóng)rp應(yīng)2(邪x0綁,y護0,陸z0齊,x程,y預(yù),’單me靜th塑od蹄’)被插值點插值方法用MA音TL渠AB作網(wǎng)閣格節(jié)抱點數(shù)青據(jù)的蓮插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘ne劇ar槐es嘗t’最鄰側(cè)近插哄值‘li顛ne員ar車’雙線府性插妨值‘cu第bi它c’雙三能次插纏值缺省泄時,毅雙線辱性插頂值26例：激測得趟平板破表面莫3*鉆5網(wǎng)看格點財處的頸溫度聾分別瞇為：恨82扛81于80憑82猛84堪79金63裕61斤65白81蜓8橫4棗8極4計8釋2氏8伴5腫8嶼6澤試作競出平劉板表舌面的雅溫度霸分布被曲面z=納f(諒x,兇y)的圖飼形。輸入驅(qū)以下建命令穿：x=士1:輝5;y=注1:碎3;te裝mp遲s=慨[8升2標81器8驕0撫82奮8鈔4;勺79羽6屑3贏61秘6黨5級81摘;8章4借84餃8傻2藏85包8煌6]交;me銹sh城(x硬,y趕,t裂em膨ps妻)1.先在風(fēng)三維歸坐標盯畫出份原始允數(shù)據(jù)辰，畫礦出粗添糙的言溫度剩分布開曲圖凍.2．以平庭滑數(shù)虧據(jù),場在x、莖y方向乖上每逼隔0袍.2靠個單危位的恢地方兇進行蛙插值陣.27再輸北入以柔下命闊令:xi=1蚊:0室.2舍:5裂;yi=1差:0所.2傭:3杜;zi=i盡nt哲er拜p2搞(x攤,y劑,t盼em趙ps搭,xi',yi,'佛cu嫩bi籌c'雷);me遣sh預(yù)(xi,yi,zi)畫出裳插值裹后的魯溫度墓分布幟曲面袖圖.To東M無AT扔LA柜B(we削nd僚u)28通過惹此例們對最坡近鄰除點插邁值、殖雙線探性插睜值方完法和冰雙三洽次插猴值方斥法的組插值處效果區(qū)進行困比較城。To悼M斬AT悠LA剛B贊(mo夜ut對ai恭n)返回29插值略函數(shù)gr聲id叛da淘ta格式蓬為:cz=gr倍id固da刑ta（x高，y去，z賢，cx，c牢y，坊‘m愧et虹ho龍d’丈）用MA困TL肝AB作散雨點數(shù)晚據(jù)的勵插值才計算要求cx取行蠅向量貢，cy取為脊列向緞量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘ne開ar透es沫t’最鄰盯近插辟值‘li窩ne些ar惠’雙線違性插駐值‘cu術(shù)bi啞c’雙三悅次插畏值'v4聯(lián)'-Ma恩tl終ab提供驅(qū)的插暫值方該法缺省鍬時,滿雙線度性插器值30例群在某臭海域敲測得念一些猴點(x,文y)處的繞水深z由下表陜給出江，船歐的吃騎水深身度為羅5英翠尺，預(yù)在矩暗形區(qū)纖域（米75砌，2欣00怎）*虎（-縫50兵，1幻玉50掘）里衰的哪孕些地陸方船恩要避摩免進廣入。31To抓M遲AT竿LA