數(shù)學(xué)建模排隊(duì)論模型

排隊(duì)論模型

朱建青（蘇州科技學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系）排隊(duì)論模型

一、排隊(duì)論的基本概念

二、單通道等待制排隊(duì)問題（M／M／1排隊(duì)系統(tǒng)）三、多通道等待制排隊(duì)問題（M／M／c排隊(duì)系統(tǒng)）

一、排隊(duì)論的基本概念（一）排隊(duì)過程

1.排隊(duì)系統(tǒng)

“排隊(duì)”是指在服務(wù)機(jī)構(gòu)處要求服務(wù)對(duì)象的一個(gè)等待隊(duì)列，而“排隊(duì)論”則是研究各種排隊(duì)現(xiàn)象的理論。

在排隊(duì)論中，我們把要求服務(wù)的對(duì)象稱為“顧客”，而將從事服務(wù)的機(jī)構(gòu)或人稱為“服務(wù)臺(tái)”。在顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)時(shí)，可能立即得到服務(wù)，也可能要等待到可以利用服務(wù)臺(tái)的時(shí)候?yàn)橹埂?/p>

排隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)列除了有形的還有無形的。

排隊(duì)系統(tǒng)中的“顧客”與“服務(wù)臺(tái)”這兩個(gè)名詞可以從不同的角度去理解。排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)臺(tái)上、下班的工人乘公共汽車工人公共汽車病人到醫(yī)院看病病人醫(yī)生高炮擊退敵機(jī)敵機(jī)高炮機(jī)器發(fā)生故障需要維修機(jī)器修理工

在上述顧客-服務(wù)臺(tái)組成的排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客到來的時(shí)刻與服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)的時(shí)間一般來說是隨不同的時(shí)機(jī)與條件而變化的，往往預(yù)先無法確定。因此，系統(tǒng)的狀態(tài)是隨機(jī)的，故而排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。

各式各樣的排隊(duì)現(xiàn)象呈現(xiàn)的基本特征：排隊(duì)系統(tǒng)由輸入過程、排隊(duì)規(guī)則及服務(wù)機(jī)構(gòu)三部分組成。(1)輸入過程輸入過程就是顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)，它首先應(yīng)包括顧客總體數(shù)，是有限的還是無限的；其次應(yīng)說明顧客到達(dá)的方式，是成批到達(dá)(每批數(shù)量是隨機(jī)的還是確定性的)還是單個(gè)到達(dá)；最后應(yīng)說明相繼到達(dá)的顧客(或批或單個(gè))之間的時(shí)間間隔的分布是什么。

2.排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征

排隊(duì)規(guī)則是指到達(dá)的顧客以怎樣的規(guī)則接受服務(wù)。

1）損失制：顧客到達(dá)，服務(wù)臺(tái)不空立即離去，另求服務(wù)。

2）等待制：顧客到達(dá)，排隊(duì)等待。對(duì)等待制服務(wù)可分為：先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，優(yōu)先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，成批服務(wù)等。

3）混合制：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多服務(wù)系統(tǒng)介于損失制和等待制之間，當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，服務(wù)臺(tái)不空就排隊(duì)，若排隊(duì)的位置已滿就離去。

(2)排隊(duì)規(guī)則

服務(wù)機(jī)構(gòu)主要指服務(wù)臺(tái)的數(shù)目，多個(gè)服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)時(shí)，服務(wù)方式是并聯(lián)還是串聯(lián)；服務(wù)時(shí)間服從什么分布等。

(3)服務(wù)機(jī)構(gòu)

1.排隊(duì)模型的分類

D.G.Kendall引進(jìn)了排隊(duì)模型分類符號(hào)，現(xiàn)已廣泛采用，這里僅針對(duì)并列的服務(wù)臺(tái)。記X：顧客到達(dá)的時(shí)間間隔分布；Y：服務(wù)時(shí)間的分布；Z：服務(wù)臺(tái)數(shù)。則排隊(duì)模型：X／Y／Z。常用的記號(hào)：M——負(fù)指數(shù)分布；D——確定型；Ek——k階愛爾朗（Erlang）分布；GI——一般相互獨(dú)立的隨機(jī)分布，G——一般隨機(jī)分布。這里主要討論M／M／1，M／M／C。（二）排隊(duì)模型的分類及數(shù)量指標(biāo)

(1)隊(duì)長

隊(duì)長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(包括排隊(duì)等候和正在接受服務(wù)的顧客數(shù))；等待隊(duì)長是指系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)。無論是隊(duì)長還是等待隊(duì)長，都是顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)最關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，特別是對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)者來說，尤為重要，因?yàn)樗婕暗较到y(tǒng)等待空間的大小。2.排隊(duì)模型的數(shù)量指標(biāo)

逗留時(shí)間是指一顧客從進(jìn)入系統(tǒng)起一直到接受服務(wù)后離開系統(tǒng)為止所花費(fèi)的時(shí)間；等待時(shí)間是指一顧客從進(jìn)入系統(tǒng)起到接受服務(wù)時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間。顯然，一個(gè)顧客的逗留時(shí)間等于其等待時(shí)間與接受服務(wù)的時(shí)間之和。逗留時(shí)間與等待時(shí)間對(duì)顧客來說是最關(guān)心的，因?yàn)槊總€(gè)顧客都希望自己用于排隊(duì)等待的時(shí)間愈短愈好。

(2)逗留時(shí)間

忙期是指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑為止的這段時(shí)間，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長度。這是服務(wù)機(jī)構(gòu)最關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，因?yàn)樗苯雨P(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度，與忙期相對(duì)應(yīng)的是閑期，即為服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時(shí)間長度。顯然，在排隊(duì)系統(tǒng)中，忙期與閑期是交錯(cuò)出現(xiàn)的。

(3)忙期1.最簡單流與Poisson過程

記隨機(jī)過程｛x（t）：t≥0｝為時(shí)間［0，t］內(nèi)流(事件)發(fā)生的次數(shù)，例如對(duì)于隨機(jī)到來某電話交換臺(tái)的呼叫，以x（t）表示該交換臺(tái)在［0，t］這段時(shí)間內(nèi)收到呼叫的次數(shù)；若是服務(wù)機(jī)構(gòu)，可以用x（t）表示該機(jī)構(gòu)在［0，t］時(shí)間內(nèi)來到的顧客數(shù)。（三）Poisson流與指數(shù)分布最簡單流應(yīng)具有以下特征稱(1)流具有平衡性對(duì)任何和,的分布只取決于而與無關(guān)。(2)流具有無后效性對(duì)互不交接的時(shí)間區(qū)間序列，是一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。(3)流具有普通性即在時(shí)間內(nèi)，事件發(fā)生多于1次的概率為

。

定理1設(shè)是最簡單流，則對(duì)任何和都有我們把滿足這一分布規(guī)律的隨機(jī)過程稱為Poisson過程，最簡單流亦稱Poisson流，特別取得故參數(shù)λ表示單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的平均數(shù)。2.Po燦is拳so抗n流的搏發(fā)生純時(shí)間某間隔廚分布

當(dāng)流(過程)構(gòu)成Poisson過程時(shí)，就稱為Poisson流。設(shè)流發(fā)生的時(shí)刻依次為,…，發(fā)生的時(shí)間間隔記為，其中。定理2事件流為Poisson流的充要條件是的流發(fā)生時(shí)間間隔相互獨(dú)立，且服從相同的負(fù)指數(shù)分布，即3.陪負(fù)指礦數(shù)分鑒布的Ma度rk佳ov特性定理3設(shè)T為連續(xù)型隨機(jī)變量，且T≥0，那么，T服從負(fù)指數(shù)分布的充要條件是：對(duì)任何，都有上式可改寫為：對(duì)任何，都有如果把T解釋為壽命，上式表明：如果已知年齡大于歲，則再活x年的概率與以前的(年)無關(guān)，所以有時(shí)又風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕”。上面兩式表明連續(xù)型隨機(jī)變量T的Markov特性當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)隨機(jī)變量服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)才具有。例1

設(shè)某一服務(wù)系統(tǒng)的輸入流是Poisson流，平均每3分鐘進(jìn)入5名顧客，試計(jì)算：(1)12分鐘內(nèi)進(jìn)入15名顧客的概率；(2)輸入時(shí)間間隔大于1分鐘的概率。解(1)由于，在［0，t］內(nèi)進(jìn)入k名顧客的概率于是12分鐘內(nèi)進(jìn)入15名顧客的概率(2)由于輸入時(shí)間間隔τ服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布則所求概率為對(duì)于凍單通集道等酒待制案排隊(duì)廁問題料主要理討論嚼輸入芬過程佳為Po廣is情so掘n流，棟服務(wù)痛時(shí)間趙服從秩負(fù)指慢數(shù)分運(yùn)布，科單服鬧務(wù)臺(tái)搜的情皺形，殼即M／辨M／洋1排隊(duì)餓系統(tǒng)逃。（一屋）標(biāo)堪準(zhǔn)模普型即為M／殃M／澇1／遞∞排隊(duì)荒系統(tǒng)鵝。所扶謂標(biāo)霞準(zhǔn)模館型，娃就是崗顧客址的輸宮入流啟是參揭數(shù)為λ的Po跟is憲so檢n流，附每個(gè)惰顧客插的服井務(wù)時(shí)踏間是畫相互蔥獨(dú)立騙的且掃服從慎參數(shù)付為μ的負(fù)禿指數(shù)患分布街，單因個(gè)服貼務(wù)臺(tái)銳且系而統(tǒng)的材容量蘭無限料(排禿隊(duì)模閘型分雁類第鍛四個(gè)谷表示拒系統(tǒng)栽中允邊許的綿最大已顧客冰數(shù))橡。二、烈單通烈道等陸待制斥排隊(duì)丘問題（M／舒M／楊1排隊(duì)途系統(tǒng)均）1.理系統(tǒng)渠的Ma劇rk布o(jì)v特性

考慮隨機(jī)過程，其中為時(shí)刻時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)。對(duì)于任何條件概率由于輸入為Poisson流，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，則無論在處取何值，上式條件概率僅依賴于的值和區(qū)間的長度，即

直觀地說，如果知道現(xiàn)在時(shí)刻時(shí)系統(tǒng)的顧客數(shù)狀況，那么從概率意義上來說，將來時(shí)刻時(shí)系統(tǒng)的顧客數(shù)狀況，與過去時(shí)刻時(shí)顧客數(shù)的狀況無關(guān)。這個(gè)特性就是隨機(jī)過程的Markov特性。我們把系統(tǒng)在某一時(shí)刻的顧客數(shù)看做系統(tǒng)在這個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的Markov特性，容易研究在時(shí)間區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，為研究系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)分布提供工具。

記時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)n的概率利用M／M／1／∞對(duì)輸入與服務(wù)時(shí)間分布的假設(shè)，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，新進(jìn)入或離開顧客個(gè)數(shù)有以下結(jié)果：內(nèi)沒有顧客進(jìn)入內(nèi)新進(jìn)入一名顧客內(nèi)多于一名顧客進(jìn)入內(nèi)沒有顧客離開內(nèi)有一名顧客離開內(nèi)多于一名顧客離開2.排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解

當(dāng)時(shí)有導(dǎo)出滿足的微分方程組故滿足的微分方程組對(duì)

對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)情形，與t無關(guān)，故，記，從而有對(duì)于上述差分方程，利用歸納法不難求得記著為津排隊(duì)惕系統(tǒng)娃的來史往強(qiáng)脂度，惑當(dāng)時(shí)，泰由屠可引得

由于構(gòu)成概率分布，則，從而級(jí)數(shù)必須收斂，故有。M／褲M／考1／燒∞系統(tǒng)太的數(shù)乓量指挪標(biāo)

(1)穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義為被稱為系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)，簡稱平均隊(duì)長。

穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中等待服務(wù)顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，簡稱平均等待隊(duì)長。

(2)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間則顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間

可以證明，顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間服從參數(shù)為μ-λ的負(fù)指數(shù)分布。

與是衡量排隊(duì)系統(tǒng)質(zhì)量的很重要的效率度量，它們之間有著有趣的聯(lián)系：上式稱為Little公式。對(duì)M／M／1／∞排隊(duì)系統(tǒng)，它有著明顯的直觀意義：從平均意義來說，表明系統(tǒng)中的顧客數(shù)，等于一個(gè)顧客在系統(tǒng)時(shí)間內(nèi)來到的新的顧客數(shù)；表明系統(tǒng)中處于等待狀態(tài)的顧客數(shù)，等于一個(gè)顧客的等待時(shí)間內(nèi)來到的新顧客數(shù)。

Little公式(3)穩(wěn)定狀態(tài)下忙期的數(shù)學(xué)期望由此可見，一個(gè)忙期中所服務(wù)顧客的平均數(shù)為忙忙例2（病國人候巧診問搖題）啊某單曬位醫(yī)靠院的愧一個(gè)暮科室面有一能位醫(yī)屠生值憑班，觀經(jīng)長殖期觀梯察，兔每小井時(shí)平動(dòng)均有辱4個(gè)仗病人集，醫(yī)站生每旅小時(shí)煩平均期可診均斷5精人，折病人換的到流來服考從Po蔬is盛so乓n流，鵝診病汁時(shí)間咱服從以負(fù)指壞數(shù)分鬧布，畜試分我析該借科室此的工睬作狀的況，寺如要迷求9罩9%喝以上紅的病茄人有超座，麥該科擱室至必少設(shè)粱多少棕座位莊?如絮果該疫單位票每天膀24分小時(shí)英上班誰，病嘆人因?qū)懣床?小盒時(shí)而滿耽誤篇工作性單位演要損血失3張0元邊，這胳樣單歸位平拉均損手失多再少元駛?如匠果該傷科室跑提高漏看病錄速度宮，每常小時(shí)如平均梢可診鍵6人羅，單罩位每撕天可勢(shì)減少起損失銳多少紀(jì)?可完減少門多少協(xié)座位乒?

解：

由題意可知，則該科室平均有病人數(shù)(人)該科室平均等待的病人數(shù)（人)看一次病平均所需的時(shí)間（小時(shí))看一次病平均所需的等待時(shí)間(小時(shí))醫(yī)生的忙期(小時(shí))一個(gè)忙期中平均看病人數(shù)

(人)忙忙

為了滿足99%以上的病人有座，設(shè)科室應(yīng)設(shè)m個(gè)座位，即：P｛醫(yī)務(wù)室病人數(shù)≤m｝≥0.99

故該設(shè)20個(gè)座位。該單位24小時(shí)上班，平均每天有4×24＝96人看病，看病所占的總時(shí)間為1×96＝96小時(shí)，所以因看病平均每天損失30×96＝2880(元)。

若醫(yī)生診病速度提高到每小時(shí)6人，即μ＝6、＝2／3，類似于上面的計(jì)算，有以下結(jié)果：（人），（人）(小時(shí))，（小時(shí))這樣單位每天損失：30×0.5×96＝1440（元），比原來減少1440元，此時(shí)只需座位：

即11個(gè)座位，比原來減少9個(gè)座位。（二匪）系舉統(tǒng)容茫量有鵲限的穿模型

即為M／M／1／N排隊(duì)系統(tǒng)?？紤]排隊(duì)系統(tǒng)的容量為N，即若系統(tǒng)已有N個(gè)顧客，則再來新顧客即被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)。對(duì)于n＝N，與M／M／1／∞相類似，，有對(duì)于n＝N，

即滿足微分方程在穩(wěn)態(tài)情況下，，，則則由，可得系統(tǒng)扯的各維項(xiàng)指蘭標(biāo)由于有容量的限制，顧客實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)的速率不是λ，而是(有效到達(dá)率)，因而Little公式成立：三、羽多通灶道等仇待制原排隊(duì)碧問題（M適／M貞／c排隊(duì)煩系統(tǒng)剖）

多通道就是多服務(wù)臺(tái)，這里主要討論M／M／c／∞排隊(duì)系統(tǒng)問題，即輸入、輸出與M／M／1／∞相同，這里有c個(gè)相互獨(dú)立工作，且服務(wù)速率相同的服務(wù)臺(tái)，這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)能力為