第09講軸對稱中最短路徑問題（四種題型）（解析版）

第09講軸對稱中最短路徑問題（四種題型）考點考點精講題型一：兩點的所有連線中，線段最短如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現(xiàn)在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應(yīng)在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)解析：利用兩點之間線段最短得出答案．解：如圖所示，連接AB交直線a于點P，此時橋到這兩村莊的距離之和最短．理由：兩點之間線段最短．方法總結(jié)：求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．題型二：運用軸對稱解決距離最短問題在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最?。馕觯合却_定其中一個點關(guān)于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點．解：如圖所示：(1)作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；(2)連接AB′交直線l于點M；(3)點M即為所求的點．方法總結(jié)：利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系求解．題型三：最短路徑選址問題如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠址到A，B兩村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠(要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)?(2)若要使廠址到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？解析：(1)欲求到A、B兩村的距離相等，即作出AB的垂直平分線與EF的交點即可，交點即為廠址所在位置；(2)利用軸對稱求最短路線的方法是作出A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，即可得出答案．解：(1)作出AB的垂直平分線與EF的交點M，交點M即為廠址所在位置；(2)如圖所示：作A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，點N即為所求．題型四：運用軸對稱解決距離之差最大問題如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側(cè)，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．解析：此題的突破點是作點A(或B)關(guān)于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.方法總結(jié)：如果兩點在一條直線的同側(cè)，過兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側(cè)，過兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．鞏固鞏固提升一．選擇題（共7小題）1．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1），B（3，3），點P為x軸上的動點，則PA+PB的最小值為（）A．25 B．23 C．5 D．15【分析】點A關(guān)于x軸對稱點A′（1，﹣1），連接A′B交x軸于P，則此時，PA+PB＝A′B的值最小，過A′作A′C⊥BC，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵A（1，1），∴點A關(guān)于x軸對稱點A′（1，﹣1），連接A′B交x軸于P，則此時，PA+PB＝A′B的值最小，過A′作A′C⊥BC，∴A′B=A'C2∴PA+PB最小值為25，故選A．【點評】此題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春?南岸區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分線，點P，點N分別是BD，AC邊上的動點，點M在BC上，且BM＝1，則PM+PN的最小值為（）A．3 B．23 C．3.5 D．【分析】作點M關(guān)于BD的對稱點M'，連接PM'，則PM'＝PM，BM＝BM'＝1，當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時，PN+PM'的最小值等于垂線段M'N的長，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到PM+PN的最小值．【解答】解：如圖所示，作點M關(guān)于BD的對稱點M'，連接PM'，則PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且M'N⊥AC時，PN+PM'的最小值等于垂線段M'N的長，此時，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N=12AM'=1∴PM+PN的最小值為3，故選：A．【點評】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．3．（2021秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為6，AD⊥BC，垂足為點D，點E和點F分別是線段AD和AB上的兩個動點，連接CE，EF，則CE+EF的最小值為（）A．3 B．3 C．33 D．2【分析】過C作CF⊥AB交AD于E，則此時，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF＝12AB＝12×6＝3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過C作CF⊥AB交AD于E，則此時，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，∵△ABC為等邊三角形，邊長為6，∴BF=12AB∴CF=BC2∴CE+EF的最小值為33，故選：C．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形．4．（2022春?連城縣校級月考）如圖，△ABC為邊長3的等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E在AB邊上，且AE＝1，P為線段AD上的一個動點，則PB+PE的最小值是（）A．3 B．7 C．3 D．3【分析】作E關(guān)于AD的對稱點E′，連接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：作E關(guān)于AD的對稱點E′，連接BE′交AD于P，則此時PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，∴AE′＝AE＝1，∴CE'＝3﹣1＝2，作E'F⊥BC于F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°，∴CF＝1，E'F=3∴BF＝3﹣1＝2，∵AC＝BC＝3，∴BE'=B故選：B．【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點P位置是解題關(guān)鍵．5．（2022春?袁州區(qū)校級月考）已知在△ABC中，D為BC的中點，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，點P為AD邊上的動點．點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C．6013 D．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到點B，點C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB＝CE的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∵D為BC的中點，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴點B，點C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB＝CE的值最小，∵S△ABC=12AB?CE=12∴6.5?CE＝5×6，∴CE=60∴PE+PB的最小值為6013故選：C．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用兩點之間線段最短來解答本題．6．（2022春?興寧區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，點D、E分別在邊AC、AB上，P是邊BC上一動點，P、D不與C重合，當(dāng)AE＝13時，求PD+PE的最小值（）A．24 B．25 C．26 D．13【分析】作D關(guān)于BC的對稱點G，連接GE則PD+PE＝GE，當(dāng)PD+PE的值最小時，GE最小，當(dāng)GE⊥AB時，GE最小，即求得GE=3AE＝133【解答】解：作D關(guān)于BC的對稱點G，連接GE，則PD＝PG，∴PD+PE＝PD+PG＝GE，當(dāng)PD+PE的值最小時，GE最小，∴當(dāng)GE⊥AB時，GE最小，∵AE＝13，∠B＝30°∴GE=3AE＝133故選：D．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?蜀山區(qū)校級期中）如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點D為AC的中點，點E為BC的一動點，點P為BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為（）A．3 B．32 C．33 【分析】由題意可知點A、點C關(guān)于BD對稱，連接AE交BD于點P，由對稱的性質(zhì)可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由兩點之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值，根據(jù)勾股定理求出AE即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，點D為AC的中點，點E為BC的中點，∴BD⊥AC，EC=12連接AE，交BD于P，∴PA＝PC，∴PE+PC＝PE+PA＝AE，線段AE的長即為PE+PC最小值，∵點E是邊BC的中點，∴AE⊥BC，在Rt△ACE中，AE=AC2∴PE+PC的最小值是33．故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）8．（2022春?武昌區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的任意一點，連接AD，E為線段AD上的一個動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F點．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，則CE+EF的最小值為6013【分析】過C作CF⊥AB于F，交AD于E．則CE+EF的最小值為CF，利用三角形等面積法12AB?CF=12BC?AC，求出CF=【解答】解：過C作CF⊥AB于F，交AD于E，則CE+EF的最小值為CF．∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，∴12∴CF=AC?BC即CE+EF的最小值為：6013故答案為：6013【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．三．解答題9．（2022春?海淀區(qū)校級期中）請閱讀下列材料：問題：如圖1，點A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最?。∶鞯乃悸肥牵喝鐖D2，作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點P即為所求．請你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)AA'與直線l的交點為C，過點B作BD⊥l，垂足為D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，寫出AP+BP的值；（2）將（1）中的條件“AC＝1”去掉，換成“BD＝4﹣AC”，其它條件不變，寫出此時AP+BP的值；（3）請結(jié)合圖形，求出(2m-【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定證得△ACP和△BDP為等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，從而求得PA+PB；（2）作AE∥l，交BD的延長線于E，根據(jù)已知條件求得BE、A′E，然后根據(jù)勾股定理即可求得A′B，從而求得AP+BP的值；（3）設(shè)AC＝2m﹣2，PC＝1，則PA=(2m-2)2+1；設(shè)BD＝8﹣2m，PD【解答】解：（1）如圖2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，∴AC＝CP，∠ACP＝90°，∴∠CAP＝∠CPA＝45°，∴PA=A∵點A關(guān)于直線l的對稱點為A'，∴PA′＝PA=2∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，∴BD＝PD＝2，∴PB=PD2∴AP+PB=2+22=（2）作AE∥l，交BD的延長線于E，如圖3，則四邊形A′EDC是矩形，∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT△A′BE中，A′B=3∴AP+BP＝5；（3）如圖3，設(shè)AC＝2m﹣2，PC＝1，則PA=(2m-2設(shè)BD＝8﹣2m，PD＝2，則PB=(8-2m∵DE＝AC＝2m﹣2，∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，∴PA+PB＝A′B=A'E2∴(2m-2)2【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋?遂寧期末）如圖，P、Q為△ABC的邊AB、AC上的兩定點，在BC上求作一點M，使△PQM的周長最短（不寫作法）．【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)，作點P關(guān)于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，則M是所求的點．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，點M是所求的點．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短的性質(zhì)．11．（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α+β＝180°；②若線段BC＝2，點A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是8；（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是CE＝BC+CD．【分析】（1）①先證∠CAE＝∠BAD，再證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①如圖2，根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC?BAD=?CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案為：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，當(dāng)AD⊥BC時，AD最短，即四邊形ADCE周長的值最小，∵點A到直線BC的距離是3，∴AD＝AE＝3，∴四邊形ADCE周長的最小值是2+3+3＝8，故答案為：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC?BAD=?CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案為：CE＝BC+CD．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021?旌陽區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E為BC邊上一點，AE、BD交于點F，EG∥BD．（1）求證：AB＝AG；（2）當(dāng)∠BAE＝30°，BE＝2時，在EG上有一動點P，求AP+BP的最小值．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出EG⊥AC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出BE＝EG，進(jìn)而通過證得Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得出A與C關(guān)于EG對稱，連接BC，與EG的交點即為P點，此時PA+BP的值最小，最小值為BC的長，解直角三角形求得BC的長即可．【解答】解：（1）∵BD⊥AC于D，EG∥BD，∴EG⊥AC，∵AE平分∠BAC，∠ABC＝90°，∴BE＝EG，在Rt△ABE和Rt△AGE中，BE=GEAE=AE∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG；（2）∵∠BAE＝30°，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝30°，∴AE＝EC，∵EG⊥AC，∴AG＝CG，∴A與C關(guān)于EG對稱，連接BC與EG的交點即為P點，此時P點與E重合，PA+PB＝BC，值最小，∵BE＝2，∠BAE＝30°，∴AB=3BE＝23在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴BC=3AB=∴AP+BP的最小值為6．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2020秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）畫出格點△ABC（頂點均在格點上）關(guān)于直線DE對稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點Q，使QA+QC最??；（3）四邊形BCC1B1的面積為12．【分析】（1）先分別畫出A、B、C關(guān)于DE的對稱點，再連接即可；（2）作C關(guān)于DE的對稱點C1，連