概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)A第章2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第7章參數(shù)估計(jì)第7章參數(shù)估計(jì)7.1參數(shù)點(diǎn)估計(jì)7.2估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)7.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.1參數(shù)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)概念矩法估計(jì)極大似然估計(jì)

引言

上一講，我們介紹了總體、樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理.它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).

總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機(jī)抽樣

現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題

參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).

參數(shù)估計(jì)估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚數(shù)……估計(jì)降雨量在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù).這類問題稱為參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì),或估計(jì)的某個(gè)已知函數(shù).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本

設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體,總體的分布函數(shù)為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是向量).

參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（假定身高服從正態(tài)分布）設(shè)這5個(gè)數(shù)是:1.651.671.681.681.69

估計(jì)為1.68，這是點(diǎn)估計(jì).這是區(qū)間估計(jì).估計(jì)在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，例如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高.

現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出總體均值的估計(jì).而全部信息就由這5個(gè)數(shù)組成.一、點(diǎn)估計(jì)概念隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒,…得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應(yīng)如何估計(jì)和而全部信息就由這100個(gè)數(shù)組成.例1

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重,未知我們知道,若,由大數(shù)定律,自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個(gè)估計(jì).樣本體重的平均值則.用樣本體重的均值估計(jì).

類似地，用樣本體重的方差估計(jì).

為估計(jì):我們需要構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)T(X1,X2,…Xn)

，每當(dāng)有了樣本，就代入該函數(shù)中算出一個(gè)值，用來作為的估計(jì)值.把樣本值代入T(X1,X2,…Xn)

中，估計(jì)值

.T(X1,X2,…Xn)

稱為參數(shù)的估計(jì)量，得到的一個(gè)點(diǎn)比如：使用什么樣的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)？可以用樣本均值;也可以用樣本中位數(shù);還可以用別的統(tǒng)計(jì)量.問題是:尋求估計(jì)量的方法1.矩估計(jì)法2.極大似然法3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這里我們主要介紹前面兩種方法.二.矩法估計(jì)

矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽定理,若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).這表竿明,當(dāng)樣勸本容伏量很回大時(shí),在統(tǒng)誼計(jì)上,可以曾用用樣輛本矩召去估軍計(jì)總煌體矩.這一四事實(shí)炕導(dǎo)出吉矩估切計(jì)法.定義用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,又用樣本原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點(diǎn)估計(jì)法稱為矩估計(jì)法.理論躍依據(jù):大數(shù)蔬定律矩估拒計(jì)法論的具頃體做姓法如使下

設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù),那么它的前k階矩,一般都是拆這k個(gè)參汪數(shù)的常函數(shù),記為懷：i=1謹(jǐn),2正,躬…勇,k從這k個(gè)方惕程中倘解出j=1坊,2辟,…鑄,kj=1倦,2孩,…午,k那么用諸的估計(jì)量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計(jì)量：矩估植計(jì)量崖的觀洲察值量稱為矩估磚計(jì)值.

例2設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來自X

的樣本,試求a,b

的矩估計(jì)量.解即解得于是a負(fù),榨b的矩蝦估計(jì)暈量為樣本鄉(xiāng)豐矩總體樹矩解

例3設(shè)總體X的均值和方差都存在,未知.是來自X

的樣本,試求的矩估計(jì)量.解得于是的矩估計(jì)量為樣本難矩總體批矩矩法膚的優(yōu)且點(diǎn)是簡(jiǎn)宏單易擇行,并不其需要求事先錯(cuò)知道鈔總體亂是什截么分慰布.缺點(diǎn)是，傭當(dāng)總巴體類蘆型已樣知時(shí)售，沒蘆有充克分利晶用分斯布提回供的擔(dān)信息.一般高場(chǎng)合浮下,矩估偷計(jì)量解不具諒有唯鍛一性.其主昆要原龍因在庸于建五立矩醬法方里程時(shí)昨，選球取那覆些總肅體矩駐用相覺應(yīng)樣言本矩漠代替忠?guī)в行鸵欢數(shù)碾S爹意性.三、極大遠(yuǎn)似然醒法它是示在總拔體類儉型已球知條再件下賄使用稅的一沿種參膛數(shù)估蘿計(jì)方校法.它首定先是話由德臣國(guó)數(shù)蘿學(xué)家高斯在18盒21年提集出的.GaussFisher然而,這個(gè)湖方法乒常歸釀功于琴英國(guó)需統(tǒng)計(jì)你學(xué)家費(fèi)希傾爾.費(fèi)希膊爾在19忠22年重往新發(fā)箭現(xiàn)了習(xí)這一漲方法屈，并蛛首先蚊研究割了這連種方豬法的縣一些逢性質(zhì).最大泰似然目法的犧基本號(hào)思想先看例一個(gè)啞簡(jiǎn)單攝例子圖：一只串野兔損從前墊方竄龍過.是誰嘉打中擱的呢憑？某位蟲同學(xué)雅與一價(jià)位獵塵人一沈起外繪出打侵獵.如果付要你攀推測(cè)廣，你會(huì)揉如何鈴想呢?只聽渣一聲救槍響肉，野章兔應(yīng)嚇聲倒牧下.你就政會(huì)想基，只餃發(fā)一貞槍便歇打中,獵人摧命中可的概續(xù)率一法般大工于這休位同堤學(xué)命銜中的響概率.看來濫這一民槍是親獵人房誠(chéng)射中野的.這個(gè)證例子杜所作暴的推礎(chǔ)斷已恨經(jīng)體他現(xiàn)了艇極大供似然棟法的笨基本院思想.最大手似然汗估計(jì)屯原理喘：當(dāng)給包定樣勁本X1,X2,…Xn時(shí)，淋定義似然即函數(shù)為：

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為f(x1,x2,…,xn;).f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…掏,xn是樣脹本的武觀察調(diào)值.似然迅函數(shù)森：

最大似然估計(jì)法就是用使達(dá)到最大值的去估計(jì).稱為的最大似然估計(jì)值.看作根參數(shù)文的函災(zāi)數(shù)，策它可疾作為禾將時(shí)以多添大可能產(chǎn)四生樣步本值x1,x2,…除,xn的一東種度碑量.f(x1,x2,…,xn;)而相闖應(yīng)的統(tǒng)計(jì)出量稱為的最大似然估計(jì)量.兩點(diǎn)掉說明檢：1、求似然函數(shù)L()

的最大值點(diǎn)，可以應(yīng)用微積分中的技巧。由于ln(x)是

x的增函數(shù),lnL()與L()在的同一值處達(dá)到它的最大值，假定是一實(shí)數(shù)，且lnL()是的一個(gè)可微函數(shù)。通過求解方程：可以得到的MLE.

若是向量，上述方程必須用方程組代替.2、用譯上述兵求導(dǎo)侄方法獵求參賓數(shù)的ML感E有時(shí)撿行不煎通，梯這時(shí)隨要用飼最大財(cái)似然肢原則瀉來求.下面域舉例畏說明少如何灘求最廟大似盟然估矩計(jì)L(p)=f(x1,x2,…趙,xn;p)例5設(shè)X1,X2,…Xn是取利自總爹體X~B(1麗,p)的一堵個(gè)樣材本，眾求參閘數(shù)p的最扇大似嘆然估蜘計(jì)量.解：似然枯函數(shù)為:對(duì)數(shù)鈔似然杠函數(shù)為：對(duì)p求導(dǎo)渾并令艷其為急0，=0得即為p的最大炒似然全估計(jì)近值.從而p的最大回似然北估計(jì)鋒量為(4撲)在最偉大值中點(diǎn)的忘表達(dá)涉式中,用樣狼本值頌代入挑就得餓參數(shù)暮的最大否似然鼠估計(jì)元值.求最雨大似激然估絹計(jì)(M先LE腔)的一衛(wèi)般步熄驟是報(bào)：(1寫)由總矩體分綠布導(dǎo)男出樣滔本的飼聯(lián)合深分布皇率(或聯(lián)棕合密磁度);(2)把樣本聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,得到似然函數(shù)L();

(3)求似然函數(shù)L()

的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化為求lnL()的最大值點(diǎn))，即

的MLE;

例6設(shè)總體X~N(),未知.是來自X

的樣本值,試求的最大似然估計(jì)量.似然徐函數(shù)批為解X的概君率密或度為于是令解得的最大似然估計(jì)量為解：健似然季函數(shù)窮為例7設(shè)X1,X2,…Xn是取急自總豎體X的一內(nèi)個(gè)樣紗本其中>0轉(zhuǎn),求蠅的最銳大似吩然估皇計(jì).i=1華,2蝦,…陡,n對(duì)數(shù)結(jié)似然宰函數(shù)賢為i=1困,2驅(qū),…勤,n=0四(寒2)由(1挎)得=0音(1沾)對(duì)分別求偏導(dǎo)并令其為0,對(duì)數(shù)女似然擁函數(shù)冒為用求導(dǎo)方法無法最終確定用極大似然原則來求.對(duì)是故使達(dá)到最大的即的MLE于是

取其它值時(shí)，即為的MLE.且是的增函數(shù)第二平次捕逆出的妥有記值號(hào)的腎魚數(shù)X是r.橡v,X具有泛超幾捧何分聯(lián)布：為了胃估計(jì)篇湖中焰的魚蜓數(shù)N，第處一次冊(cè)捕上r條魚縣，做上慕記號(hào)幣后放除回.隔一棵段時(shí)加間后,再捕秧出S條魚,結(jié)果著發(fā)現(xiàn)汽這S條魚短中有k條標(biāo)帖有記倒號(hào).根據(jù)瓶這個(gè)唯信息事，如丸何估開計(jì)湖羨中的搏魚數(shù)釋呢？最后造，我籃們用播最大躲似然傳法估配計(jì)湖威中的生魚數(shù)應(yīng)取淘使L(N;k)達(dá)到攝最大淡的N，作為N的極像大似葬然估駕計(jì).但用回對(duì)N求導(dǎo)將的方岡法相沾當(dāng)困兵難,我們烘考慮作比值：把上宴式右楊端看逝作N的函卸數(shù)，表記作L(N;k)右.經(jīng)過辭簡(jiǎn)單耍的計(jì)消算知鮮，這殼個(gè)比餓值大獲于或語小于1，或而定.由經(jīng)過偵簡(jiǎn)單蟻的計(jì)冒算知岸，這鉗個(gè)比簽值大南于或虹小于1，或而定.由這就歡是說午，當(dāng)N增大宋時(shí)，采序列P(X=k;N)先是騰上升而后袋下降;當(dāng)N為小染于的最禍大整辜數(shù)時(shí)嗚,胖達(dá)到最大唐值綁.淚故N的極唉大似潛然估脾計(jì)為三、課堂撥練習(xí)

練習(xí)1設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì).解樣本詞矩總體形矩解得的矩估計(jì)量為故解肥由密琴度函傾數(shù)知練習(xí)2設(shè)X1,X2,…Xn是取贊自總戰(zhàn)體X的一叮個(gè)樣臺(tái)本其中>童0手,求蹤蝶的沖矩估絡(luò)計(jì).具有均值為的指數(shù)分布即E(X-)=

D(X-)=

E(X)=

D(X)=故解得也就藍(lán)是

E(X)=

D(X)=的矩估計(jì)量為于是解似然筑函數(shù)為對(duì)數(shù)嬌似然編函數(shù)尿?yàn)榫毩?xí)3設(shè)X1,X2,…Xn是取晚自總?cè)阵wX的一瓜個(gè)樣這本

求的最大似然估計(jì)值.其中>0阿,求導(dǎo)沸并令闖其為0=0從中坑解得即為的最大似然估計(jì)值

.對(duì)數(shù)撇似然溉函數(shù)倚為這一缸講，復(fù)我們雖介紹削了參屬數(shù)點(diǎn)漁估計(jì),給出婆了尋征求估尤計(jì)量里最常曠用的訪矩法谷和極耕大似淋然法.參數(shù)挺點(diǎn)估哭計(jì)是鬼用一葉個(gè)確鳳定的倆值去懸估計(jì)泡未知蛇的參括數(shù).看來同似乎或精確蟻，苗實(shí)際賺上把傘握不訪大.四、我小結(jié)7.見2估計(jì)遷量的病評(píng)選鐘標(biāo)準(zhǔn)無偏辰性有效峰性一致剃性樣本均值是否是的一個(gè)好的估計(jì)量？(2吹)怎樣旱決定果一個(gè)獵估計(jì)沸量是渴否比暴另一界個(gè)估榴計(jì)量月“好水”？樣本方差是否是的一個(gè)好的估計(jì)量？這就充需要碑討論消以下對(duì)幾個(gè)紡問題:(1魄)我們釘希望末一個(gè)蔑“好碎的”企估計(jì)作量具錄有什餅么特勤性？(3江)如何歉求得忙合理婚的估爬計(jì)量井？X~N()估計(jì)林量的諸評(píng)選呼標(biāo)準(zhǔn)在介令紹估兼計(jì)量論的評(píng)援選標(biāo)寨準(zhǔn)之免前，鋪我們浮必須熊強(qiáng)調(diào)屑指出版：評(píng)價(jià)壞一個(gè)劣估計(jì)腥量的視好壞抖，不艱能僅初僅依船據(jù)一錫次試華驗(yàn)的惠結(jié)果引，而靈必須少由多濤次試閑驗(yàn)結(jié)字果來宜衡量.這是陳因?yàn)樾Q估計(jì)銹量是筍樣本設(shè)的函爆數(shù),是隨差機(jī)變病量.因此畏，由弄不同鳳的觀備測(cè)結(jié)嚇果，植就會(huì)飄求得枕不同毯的參州數(shù)估忙計(jì)值.因此預(yù)一個(gè)敗好的腹估計(jì)我，應(yīng)醬在多座次試城驗(yàn)中裙體現(xiàn)茫出優(yōu)汗良性.常用襖的幾尸條標(biāo)選準(zhǔn)是朱：1．無維偏性2．有等效性3．一喬致性這里占我們對(duì)重點(diǎn)扛介紹幻玉前面襯兩個(gè)唐標(biāo)準(zhǔn).估計(jì)管量是確隨機(jī)衰變量陸，對(duì)共于不堡同的揮樣本寶值會(huì)逮得到跌不同底的估攻計(jì)值.我們梳希望魯估計(jì)海值在恒未知鏈參數(shù)同真值廈附近專擺動(dòng)往，而盜它的沖期望靈值等灑于未緩知參腸數(shù)的礙真值.這就施導(dǎo)致刷無偏最性這銹個(gè)標(biāo)物準(zhǔn).一、亭無偏命性則稱為的無偏估計(jì)

.設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若定義1例如仰，用剩樣本憤均值窮作為瞧總體碰均值咳的估鋒計(jì)時(shí)業(yè)，雖抄無法輩說明派一次埋估計(jì)華所產(chǎn)繁生的鞏偏差霉，但您這種拖偏差費(fèi)隨機(jī)除地在0的周翠圍波建動(dòng)，誓對(duì)同非一統(tǒng)安計(jì)問湯題大鋸量重砌復(fù)使舍用不拼會(huì)產(chǎn)投生系扯統(tǒng)偏莖差.無偏拒性是泳對(duì)估武計(jì)量肌的一型個(gè)常何見而拾重要恭的要運(yùn)求.無偏肢性的吹實(shí)際兼意義封是指紐奉沒有維系統(tǒng)樹性的央偏差.例1設(shè)總及體X服從洞參數(shù)弱為惕的指數(shù)心分布,其概率旨密度為為未知,X1,X2,…Xn是取啞自總筆體的較一個(gè)淡樣本,試證莫和侄都鴉是參得數(shù)壘的無扇偏估歸計(jì)量.其中證所以是參數(shù)的無偏估計(jì)量

.而具有厚概率衫密度故知即也是參數(shù)的無偏估計(jì)量

.所以拐無偏稈估計(jì)職以方鄙差小暈者為裂好,這就女引進(jìn)頌了有效舟性這一抬概念.的大小來決定二者誰更優(yōu).和一個(gè)參數(shù)往往有不止一個(gè)無偏估計(jì),若

和都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，我們可以比較由于二、爹有效危性D()≤D()則稱較有效.都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，若對(duì)任意，設(shè)和且至少對(duì)于某個(gè)上式中的不等號(hào)成立，最小超方差啄無偏涉估計(jì)懼（最座優(yōu)無魚偏估側(cè)計(jì)）定義2定義3

例2(續(xù)例1)試證當(dāng)n>1時(shí)的無偏估計(jì)量較有效.證故有而故有當(dāng)n>搏1時(shí),故較有效.三、扔一致扔性任意，當(dāng)時(shí)依概率收斂于,則稱為的一致估計(jì)量.設(shè)是參數(shù)

的估計(jì)量，若對(duì)于為的一致估計(jì)量對(duì)于任意,有定義4由辛?xí)J定騎理若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有

其中為連續(xù)函數(shù).故為的一致估計(jì)量.

若為連續(xù)函數(shù),為的一致估計(jì)量

.則有四、霉小結(jié)對(duì)于鼻一個(gè)煎未知筆參數(shù)紋可以婦提出塞不同財(cái)?shù)墓辣子?jì)量,因此乎自然牙提出沃比較乳估計(jì)涌量的望好壞缺的問軟題僅，這終就需生要給達(dá)出評(píng)怖定估袋計(jì)量虛好壞眨的標(biāo)反準(zhǔn).在本抽節(jié)中,介紹踏了評(píng)莫定估漆計(jì)量凱好壞群的三咽個(gè)標(biāo)灣準(zhǔn):無偏炮性、光有效鬧性、山和一或致性.7.鋪3區(qū)間趙估計(jì)置信糧區(qū)間員定義求置體信區(qū)劣間的呢一般羽方法單個(gè)特正態(tài)醋總體水均值洋方差佩置信慣區(qū)間兩個(gè)叫正態(tài)便參數(shù)縱置信有區(qū)間單側(cè)錦置信魚區(qū)間引言前面廈，我躁們討覆論了融參數(shù)萍點(diǎn)估村計(jì).它是沈用樣柄本算往得的畝一個(gè)徹值去孫估計(jì)組未知妙參數(shù).但是掛，點(diǎn)跡估計(jì)己值僅嗎僅是未竊知參乖數(shù)的怎一個(gè)網(wǎng)近似梨值，坦它沒疲有反萬映出鹿這個(gè)鍵近似疤值的腔誤差鼓范圍澆，使取用起閘來把夸握不蛋大.區(qū)間塌估計(jì)與正好返彌補(bǔ)衛(wèi)了點(diǎn)焰估計(jì)西的這頂個(gè)缺電陷.譬如盤，在傳估計(jì)唇湖中框魚數(shù)剛的問涉題中籍，若育我們?cè)绺鶕?jù)派一個(gè)刊實(shí)際沿樣本怠，得樣到魚仍數(shù)N的極歡大似撕然估于計(jì)為10量00條.若我唯們能勵(lì)給出少一個(gè)放區(qū)間帥，在閱此區(qū)精間內(nèi)強(qiáng)我們序合理妄地相葉信N的真選值位律于其忌中.這樣棗對(duì)魚決數(shù)的袍估計(jì)賣就有摧把握翻多了.實(shí)際鞠上，N的真舅值可濤能大涂于10機(jī)00條，槳也可醋能小導(dǎo)于10鑒00條.也就側(cè)是說種，我槐們希妥望確銹定一店個(gè)區(qū)輪間，拳使我防們能繡以比權(quán)較高條的可靠齒程度相信送它包賤含真泛參數(shù)賢值.湖中州魚數(shù)坡的真巧值[錢]這里端所說雅的“可靠稻程度”是諒用概俗率來圖度量嶺的屆，稱為置信未度或置信薦水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個(gè)

很小的正數(shù).置信珍水平鄰的大胞小是狠根據(jù)繡實(shí)際架需要尿選定醉的.置信隱區(qū)間.稱區(qū)租間族為潮的置信度為的例如符，通獲常可江取置障信水棋平=0而.9兇5或0.堵9等.根據(jù)委一個(gè)證實(shí)際朋樣本穩(wěn)，由吃給定梯的置稀信水扎平，僵我小的溪區(qū)間匹，禁使們求圖出一羊個(gè)盡療可能一、阿置恢信區(qū)勉間定它義滿足設(shè)塑是畢一個(gè)棍待估寫參數(shù)擇，給原定X1,X2,…Xn確定典的兩妙個(gè)統(tǒng)凍計(jì)量則稱丑區(qū)間是朋的暮置信店水平蝕（置卵信度)為的置信榨區(qū)間.和列分別巧稱為置信萌下限和置信到上限.若由艷樣本定義5這里傅有兩岸個(gè)要滿求:可見欺，

對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).一旦延有了短樣本尸，就街把撐估計(jì)斬在區(qū)禍間僵內(nèi).可靠都度與齒精度羞是一員對(duì)矛談盾，秀一般曠是在保財(cái)證可杜靠度廟的條滲件下狡盡可條能提斧高精度.1.要求言以很白大的討可能混被包貢含在黨區(qū)間內(nèi)，豪就是歷說，消概率撿要盡梳可能愚大.即要燃求估獲計(jì)盡茂量可筑靠.2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度

盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.~N(0梅,濫1)選的點(diǎn)估計(jì)為,求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例1

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，明確貞問題,是求豬什么參數(shù)糞的置剖信區(qū)重間?置信院水平屠是多窮少？尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解尋找獸一個(gè)倒待估枯參數(shù)臘和統(tǒng)計(jì)汽量的逝函數(shù)將，倚要求其分市布為屬已知.有了債分布砌，就餅可以鏡求出U取值寫于任自意區(qū)唱間的包概率.二、艦置信噸區(qū)間嘆的求遭法對(duì)給定的置信水平查正戴態(tài)分餃布表研得對(duì)于原給定把的置恰信水耍平,根據(jù)U的分踐布，蒼確定耳一個(gè)區(qū)督間,使得U取值繪于該將區(qū)間息的概叨率為照置信狐水平.使為什么這樣取？從中僅解得對(duì)給定的置信水平查正啊態(tài)分踐布表煤得使也可陣簡(jiǎn)記鬼為于是所求的置信區(qū)間為從例1解題例的過鍵程，紗我們占?xì)w納咸出求脈置信精區(qū)間歷的一旋般步嶼驟如咸下:1.明確孕問題,是求嫂什么程參數(shù)既的置扒信區(qū)槳間?

置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且其分布為已知.4.對(duì)于政給定擔(dān)的置劣信水亞平，根桃據(jù)U(T,陣)的分誕布，確確定遵常數(shù)a,b，使阻得P(a≤U(T,文)≤b)蠟=5.對(duì)“P(a≤U(T,θ)≤b”作等睜價(jià)變墨形,得到計(jì)如下之形式:即于是記就糊是泛的10葛0()％的遣置信塘區(qū)間.可見互，確扔定區(qū)惰間估柳計(jì)很亞關(guān)鍵援的是誰要尋鏡找一萌個(gè)待估評(píng)參數(shù)夸和估丹計(jì)量T的函訂數(shù)U(T,斯)吃,且U(T,善)的分受布為添已知,不依罵賴于編任何懂未知罷參數(shù).而這炕與總要體分草布有顆關(guān)，惰所以屆，總體損分布怒的形呈式是否已鴨知，濱是怎挪樣的狹類型竹，至遙關(guān)重竟要.需要蟲指出宵的是，給辛定樣離本，密給定族置信拼水平近，置信經(jīng)區(qū)間粱也不是飯唯一的.對(duì)同恐一個(gè)頁參數(shù)稠，我喘們可社以構(gòu)普造許傅多置娃信區(qū)紡間.

例如，設(shè)X1,…,Xn是取自

的樣本，求參數(shù)的置信水平為的置~N(0,1)信區(qū)間.由標(biāo)交準(zhǔn)正俊態(tài)分梢布表懲，對(duì)皆任意a、b，我們菊可以沸求得P(a≤U≤b).~N(0座,版1)例如，由P(-1.96≤U≤1.96)=0.95我們得到均值的置信水平為的置信區(qū)間為由P(-慰1.裹75≤U≤2鼓.3創(chuàng)3)賣=0派.9沉5這個(gè)邪區(qū)間仍比前畝面一衣個(gè)要夢(mèng)長(zhǎng)一爹些.置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的我們咸總是東希望徹置信鑒區(qū)間舌盡可刻能短.類似激地，標(biāo)我們浸可得吐到若歉干個(gè)擺不同戀的置塊信區(qū)殺間.任意翁兩個(gè)研數(shù)a和b，只滑要它義們的志縱標(biāo)慮包含f(u)下95襖%的面吵積，旋就確妥定一館個(gè)95等%的置貼信區(qū)暢間.在概湖率密許度為黑單峰責(zé)且對(duì)威稱的邀情形炕，當(dāng)a=-b時(shí)求狗得的融置信戰(zhàn)區(qū)間朵的長(zhǎng)新度為逢最短.a=-b即使惕在概烈率密且度不說對(duì)稱掃的情釀形，蠶如分布，F(xiàn)分布，習(xí)孫慣上寧仍取傭?qū)ΨQ券的分赴位點(diǎn)援來計(jì)逢算未市知參嗚數(shù)的棗置信催區(qū)間.我們?cè)梢哉Q得到轟未知慌參數(shù)像的的師任何置信喂水平頃小于1的置信仍區(qū)間睬，并振且置信滑水平譽(yù)越高蹈，相貌應(yīng)的置信蒙區(qū)間平均灘長(zhǎng)度越長(zhǎng).也就圾是說俊，要文想得持到的棍區(qū)間恐估計(jì)沖可靠姑度高批，區(qū)間淹長(zhǎng)度奮就長(zhǎng)萌，估派計(jì)的卸精度物就差.這是翻一對(duì)離矛盾.實(shí)用額中應(yīng)濁在保掃證足烤夠可銀靠的葵前提條下，徹盡量零使得區(qū)注間的虎長(zhǎng)度搬短一厚些.三、會(huì)單個(gè)欠總體墻的電參數(shù)螞區(qū)間架估計(jì)破情況并設(shè)為來自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.均值的置信區(qū)間為已知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為為未只知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為此分州布不鎖依賴孩于任何針未知足參數(shù)由例1有一叮大批踢糖果.現(xiàn)從神中隨廈機(jī)地寸取16袋,稱得壘重量(以克堂計(jì))如下:50胸6距50典8銀49鋼9竟50倒3撓50虎4形51膀0由49碑7恐5房誠(chéng)1251求4扇50咱5乘49碗3撇49旦6尼50恢6占50宮2簡(jiǎn)50蹈9兩4醬96設(shè)袋批裝糖分果的破重量具近似閃地服書從正完態(tài)分像布,試求穿總體傅均值渠的伍置信譯水平0.赴95為的丘置信稱區(qū)間.解這里于是皆得到的置信模水平意為乏的煩置信決區(qū)間為即[5井00衣.4戀,5炭07申.1蕉]方差映的薄置信獸區(qū)間由可得漲到的置信運(yùn)水平姻為廉的置辣信區(qū)殊間為由可得軟到標(biāo)增準(zhǔn)差的置信旨水平衛(wèi)為念的置揚(yáng)信區(qū)松間為例2有一搏大批久糖果.現(xiàn)從設(shè)中隨剛機(jī)地仁取16袋,稱得板重量(以克軌計(jì))如下:50脊6擋50艙8們49來9單50磚3快50毀4懷51障0封49俱7幟5冠1251尋4拖50界5親49賢3吳49么6隆50遞6盲50既2宰50飄9辨4辦96設(shè)袋辰裝糖咳果的辰重量綱近似裙地服資從正影態(tài)分唱布,試求臭總體蜓標(biāo)準(zhǔn)靠差咳的置督信水仿平0.疾95為的混置信禾區(qū)間.解這里于是蘆得到的置信此水平穩(wěn)為島的置咱信區(qū)肌間為即[4季.5勞8,雖9.棵60閱]二、兩個(gè)總體的情況設(shè)已給定置信水平為,并設(shè)是來自第一個(gè)總體的樣本,是來自第二個(gè)總體的樣本,這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.且設(shè)分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值,為第一、二個(gè)總體的樣本方差.兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間為已知因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以相互獨(dú)立.故或于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為為已知其中于是得到

的置信水平為的置信區(qū)