初中數(shù)學(xué)華東師大九年級上冊第章一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。過程與方法：能運用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的兩根之和與兩根之積。情感態(tài)度與價值觀:經(jīng)歷觀察→發(fā)現(xiàn)→猜想→證明的思維過程，培養(yǎng)分析和解決問題的能力。教學(xué)重難點:

重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。難點：運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題。

1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？探究1：

填表，觀察、猜想

方程

x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

x2-2x+1=0

1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

根與系數(shù)關(guān)系如果關(guān)于x的方程的兩根是,,則:如果方程二次項系數(shù)不為1呢?探究2：填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積a與b之間關(guān)系a與c之間關(guān)系猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？已知：如果一元二次方程的兩個根分別是、。求證：推導(dǎo):如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理。韋達(dá)（1540－1603）

韋達(dá)是法國十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。

他生于法國的普瓦圖。年青時學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動，當(dāng)過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。

韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

練習(xí)：口答下列方程的兩根之和與兩根之積。2156400沒有實數(shù)解1.已知一元二次方程的

兩根分別為，則：2.已知一元二次方程的

兩根分別為，則：3.已知一元二次方程的

的一個根為1，則方程的另一根為___，m=___：4.已知一元二次方程的兩根分別為-2和1，則：p=__;q=__總結(jié)幾種常見對稱式的變形

1、（2019眉山）

點擊中考

2、(2018眉山)（）3、（2020眉山）

拓廣探索

練習(xí)：關(guān)于x的方程的兩實數(shù)根為，且則m的值為

2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，首先要把已知方程化成一般形式.

3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)時，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么?總結(jié)歸納例3、

已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值.

解：設(shè)方程的兩個根分別是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一個根是，k=-71、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數(shù)根，得即-8k+4≥0由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去?！鄈=0解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8當(dāng)k=4時，△＜0當(dāng)k=-2時，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－22.已知方程的兩個實數(shù)根是且

求k的值。補充規(guī)律：兩根均為負(fù)的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根一正一負(fù)的條件：X1X2

。

當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0

一正根，一負(fù)根△＞0X1X2＜0兩個正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0兩個負(fù)根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0

;（4）若一根為1,則abc0;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.

2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，首先要把已知方程化成一般形式.

3.應(yīng)用一元二次方