【建模教程】-數(shù)學(xué)建模-數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法

----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法§1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念X中隨機(jī)抽----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----取n個(gè)個(gè)體XX1

, ,X2 n

XX1

, ,X2 n

)來推斷總體的----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----性質(zhì)或規(guī)律性，這在實(shí)際中是常用的方法。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X中一個(gè)樣本XX1

, ,X是2 n----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----一組相互且與總體X同分布的隨機(jī)變量。n稱為樣本容量，樣本----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(X,X1

, ,X2 n

)的觀測值記為(x,x1 2

, ,xn

，樣本XX1

, ,X2 n

)的不含任何未知----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----fXX1

, ,X2 n

)稱為統(tǒng)計(jì)量。下述統(tǒng)計(jì)量----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X1nni1

X ，S2i

1n1

(Xii1

X)2，S

1n1

(Xii1

X)2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(xx,1 2

x，可以繪出樣本的頻率直方圖和累積頻率直n----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----方圖，方法如下：,xn①適當(dāng)選取a,xn1 2

max{x,x1 2

, ,xn

[ab等分為m個(gè)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----小區(qū)間，稱d(ba)/m為組距；,m；②計(jì)算x,x, ,x在各個(gè)小區(qū)間出現(xiàn)的頻率pm/n,i,m；1 2 n i ip(xF(x：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0, xa,p,axad,12p,adxa2d,p(x)2p,a(m1)dxamd, m0, xbamd,0, xa,p,axad,1pp,adxa2d,F(x) 1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----pp p 1 2 m

,a(m1)dxamd,----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1, xbamd.p(xF(x的圖形可以得到樣本的頻率直方圖和累積頻率直方圖。根據(jù)樣本的頻率直方圖和累積頻率直方圖可以近似描繪出總體的分布密度函數(shù)和分布函數(shù)曲線?！?參數(shù)估計(jì)。如果利用這些信息結(jié)合關(guān)鍵量的表達(dá)式來估計(jì)未知參數(shù)，那么實(shí)際問題能夠得到解決。參數(shù)估計(jì)的方法（1）最小二乘法yf(;)，其中x是自變量（或自變量向量yx的xy都是可觀測的。由于是未知的，因此要對(duì)進(jìn)行估計(jì)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----設(shè)(xy1

),(x,y),,(x,(x,yn n

是n----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的一個(gè)估計(jì)量，使函數(shù)取最小值，即

Q()n[yii1

f(x;)]2i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Q(?)minQ()minni1

[yf(x;)]2，i i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----稱這樣求得的為參數(shù)的最小二乘估計(jì)值。例1 某種醫(yī)用薄膜有允許一種物質(zhì)的分子穿透它從高濃度的溶液向低濃度溶液擴(kuò)散的功能在試制時(shí)需測定薄膜被這種分子穿透的能力測定方法如下：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----用面積為s的薄膜將容器分成A，B兩部分，體積分別為va

和v，在兩部分中分b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----k表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率。定時(shí)測量容器中某一側(cè)的溶液濃度值以確定k的數(shù)值。試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----解 如果va

v 100cm3s10cm2Btb i

的溶液濃度----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----c進(jìn)行測試，結(jié)果如下：it(s)： 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000ic(103mg/cm3)： 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59i試確定k的值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----是相同的，設(shè)時(shí)刻t時(shí)膜兩側(cè)溶液的濃度分別為ca

(t和cb

(t)，初始時(shí)刻膜兩側(cè)溶----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----液的濃度分別為和a b

，單位均為103mg/cm3Bti

時(shí)刻測得的濃度----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----為c。i考察時(shí)段[t,tt]膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。在容器的A側(cè)，該時(shí)段----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----內(nèi)物質(zhì)質(zhì)量的增加為vcaa

(tt)vcaa

(t)；另一方面從B側(cè)滲透至A側(cè)的該物質(zhì)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----質(zhì)量為sk(cb

c)t。由質(zhì)量守恒定律，有a----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----vc(tt)vcaa aa

sk(cb

c)t，a----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----兩邊除以t，令t0，得----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----adc sk(ca

c)， （2-1）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----同理有

dt v b aa----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----bdc sk(cb

c)。 （2-2）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----由（2-2）-（2-1）得

dt v a bb----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----d(c -c) 1 1ab sk( )(cc。adt v v b aa b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----由于ca

(0),ca b

(0)b

，所以----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----c -cb

(b

-)exp{sk(1a va

1)t}。 （2-3）vb----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----由質(zhì)量守恒定律，有

vc(t)+vcaa bb

(t)=va a

+vb b

。 （2-4）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----聯(lián)立2-3（2-4）式可得：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----vvc aav

vbb

a

a)exp{sk(11)t}。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----b v va

v v v va b a b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----至此，問題歸結(jié)為利用cb

在時(shí)刻ti

的測量數(shù)據(jù)c(i1,2,i

n來估計(jì)k,,，a b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----根據(jù)使c(tb i

與ci

的誤差平方和最小的原則來求k,,a b

的估計(jì)值。對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----型為求函數(shù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的最小值。令

Q(k,,a b

)i1

[c(tb i

)c]2i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----v vx aa bb

,y

v)a b a ，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----v va b

v va b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1則參數(shù)估計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Q(k,x,y)

[xyexp{sk(1 )t}c]2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1

v v i ia b----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的最小值點(diǎn)(k,x,y)。將已知測試數(shù)據(jù)代入，得極小化的函數(shù)Q(k,x,y)[xyekt/5c]2。iii1利用 MATLAB 軟件中的 fmins 函數(shù)求得k0.01012(cm/s) ，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x7(103mg/cm3ymg/cm3a

10(103mg/cm3)，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享---- 4(103mg/cm3。b（2）極大似然法設(shè)總體p(x（當(dāng)p(x為的分布密度；當(dāng)p(;)為的概率分布，即，}p(;)，其中是未知參數(shù)，它在一定范圍內(nèi)取值。x,x, ,x是總體的樣本觀測值。1 2 n令----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----L()i1

p(x;)，i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----L(的取值范圍內(nèi)，挑選使似L(取得最大值的作為參數(shù)L(與lnL(同時(shí)達(dá)到最大值，故只需求lnL(的最大值點(diǎn)即可：lnmax{lnL()}。用這種方法求得的稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)值。評(píng)價(jià)估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)在對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，人們總希望估計(jì)量能代表真實(shí)參數(shù)。根據(jù)不同的----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）無偏估計(jì)根據(jù)樣本推得的估計(jì)值可能與未知參數(shù)的真值不同，然而，如果有一序列抽樣構(gòu)成各個(gè)估計(jì)，很合理地會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)的真值相等。它的直觀意義是樣本估計(jì)量的數(shù)值在參數(shù)的真值附近擺動(dòng)，而無系統(tǒng)誤差。定義1 如果成立，則稱估計(jì)為參數(shù)的無偏估計(jì)。（2）有效估計(jì)對(duì)總體的某一參數(shù)的無偏估計(jì)量往往不只一個(gè)，而且無偏性僅僅表明所有可能取的值按概率平均等于的取值能集中于附近，自然要求的方差越小越好。定義2 設(shè)和都是的無偏估計(jì)，如的方差小于的方差，則稱1 2 1 2 1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----是比2

為----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的有效估計(jì)。實(shí)際上，樣本均值是總體期望值的有效估計(jì)量。一個(gè)無偏有效估計(jì)量取的值是在可能范圍內(nèi)最密集于真值附近的，也就是說，它以最大的概率保證這估計(jì)的觀測值在未知參數(shù)的真值附近擺動(dòng)?！?假設(shè)檢驗(yàn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----我們常常會(huì)假設(shè)總體期望值為0

2，總體服從某種分布，0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----上述種種假設(shè)是否成立呢？還有某種品種是否比其他品種更優(yōu)？某種藥品是否假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0

。它可能有以下幾個(gè)來源：①依據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（2）選擇檢驗(yàn)假設(shè)H0

的統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布，再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----該統(tǒng)計(jì)量的值。（3（或顯著性水平(01)（一般數(shù)理統(tǒng)計(jì)書后都附有該表----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----然后確定檢驗(yàn)假設(shè)H0理做出判斷。

的拒絕域并根據(jù)小概率事件在一次觀測中不可能發(fā)生的原----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)本段假定(X,X, ,X)是來自正態(tài)總體N(,2)中的一個(gè)樣本。以下給出1 2 n實(shí)際問題中常用的兩種檢驗(yàn)假設(shè)方法。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）未知方差2，檢驗(yàn)假設(shè)H0

:（0 0

為已知）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----①提出待檢假設(shè)H0

:。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----②選取樣本(X,X, ,X)的統(tǒng)計(jì)量：1 2 nX0S/ T ~t(n0S/ 其中S是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量T的值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----③查表得臨界值：t/2

t/2

(n1)T|t/2

下結(jié)論：若----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----|T|t/2

，則否定H0

；否則，一般情況下接受H。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----凡涉及到t分布的假設(shè)檢驗(yàn)通常稱之為t檢驗(yàn)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（2）未知期望H0

:22（0

2為已知）0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----①提出待檢假設(shè)H0

:22。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----②選取樣本(X,X, ,X)的統(tǒng)計(jì)量：1 2 n(n1)S2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----220

~2(n1)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量2的值。③查表得臨界值：22(n1)22下結(jié)論：若 ----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----22H 0

；否則，一般情況下接受H。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----22檢驗(yàn)。1機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重服從正態(tài)分布，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量500g，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過10g。某天開工后，為檢查機(jī)器工作是否正常，從裝好9（單位：g）為497，507，510，475，484，488，524，491，515問這天包裝機(jī)工作是否正常？----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----解 先檢驗(yàn)假設(shè)H0

500。選取統(tǒng)計(jì)量S/ 9TX500S/ 9----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----49950016.03/ 9根據(jù)樣本觀測值計(jì)算得：|T49950016.03/ 9取檢驗(yàn)水平0.05，查表得臨界值：t (91)2.306。0.025由于|T0.1872.306H500g，0亦即機(jī)器包裝沒有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。再檢驗(yàn)假設(shè)H:2102。選取統(tǒng)計(jì)量1(91)S22 ，102----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2

(91)16.032102

20.56。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----查表得臨界值：2 (91)15.5。由于220.5615.5，故拒絕H0.05 0

，可認(rèn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----為其方差超過102。即包裝機(jī)雖然沒有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此認(rèn)為該天包裝機(jī)工作不正常。兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----樣本(X,X, ,X )來自正態(tài)總體N(,2)，樣本,Y, ,Y

)來自正態(tài)總----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 2 m 1 1 1 2 n1n 1 n 1n----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----體N(2

,2)。且設(shè)X2 m

Xii1

，S21

m1

(Xii1

X)2

，Yn

Y ，ii1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 S2 Y)2。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2 n1

ii1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----以下給出實(shí)際問題中常用的三種檢驗(yàn)假設(shè)方法。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）未知期望,

，檢驗(yàn)假設(shè)H :22----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 2 0 1 2①建立待檢假設(shè)H :22。0 1 2② S2S2，則選取統(tǒng)計(jì)量：FS2/S2~F(m1,n1)，臨界值：1 2 1 2F F (m1,n1)FS2/S2~F(n1,m1)，臨界值：/2 /2 2 1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----F/2

F/2

(n1,m1)F的值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----③根據(jù)P{FF/2

}/2下結(jié)論：若FF/2

，則否定H0

；否則，一般情況----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----下接受H。0凡涉及到F分布的假設(shè)檢驗(yàn)通常稱之為F檢驗(yàn)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（2）未知期望1

，檢驗(yàn)假設(shè)H0

:21

22----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----H

:22。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0 1 2FS2/S2~F(m1,n1)，再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)1 2F的值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----③臨界值F F(m1,n1)。根據(jù)F}下結(jié)論：若FF

，則否----宋停云與您分享--------宋停云與您分享---- HH。0 0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（3）未知方差2,2，但2

2H

:----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 2①建立待檢假設(shè)H :0

1 2。2

0 1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----TXY~t(mn2)，其中W----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----WmnW

，(m1)(m1)S2(n1)S21 1mn22m n(S2S2)/n1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----值。③臨界值t/2

t/2

(mn2)。根據(jù)T|t/2

}下結(jié)論：若|T|t ，則/2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----否定H0

；否則，一般情況下接受H。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----注意：作此t檢驗(yàn)時(shí)，實(shí)際問題中的方差一般未知，因此要先檢驗(yàn)假設(shè)H 22。0 1 2例2 從兩處煤礦各抽樣數(shù)次，分析其含灰率（%）如下：甲礦：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4乙礦：18.2，16.9，20.2，16.7假定各煤礦含灰率都服從正態(tài)分布，問甲、乙兩煤礦的含灰率有無顯著差異？解 檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體的期望值是否相等需要假定它們的方差相等因此先建立待檢假設(shè)H :22。0 1 2由于s27.05s22.593FS2/S2。1 2 1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----根據(jù)樣本觀測值計(jì)算，得F7.05/2.5932.894F0.025所以可認(rèn)為兩煤礦的含灰率的方差相等。

(51,41)15.1=2.894，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----H1

。選取統(tǒng)計(jì)量：2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(51)S2(4(51)S2(41)S254212115 4----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----根據(jù)樣本觀測值計(jì)算，得|T|2.245t

0.025

(542)2.365。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2.2452.365比較接近，為穩(wěn)妥計(jì)，最好再抽一次樣，進(jìn)行一次計(jì)算。分布律的假設(shè)檢驗(yàn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----首先做假設(shè)H0

:F(x)F0

(x。其中F(x為總體的分布函數(shù)，未知；F0

(x)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----為某已知分布函數(shù)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其次設(shè)(x,x1

, ,xn

)是總體的一個(gè)樣本觀測值，用分點(diǎn)tt1

t

k

將實(shí)數(shù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----域分成k個(gè)區(qū)間，用mi

表示樣本觀測值落入第i個(gè)區(qū)間的頻數(shù)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----記pt}F(t)，1 1 0 1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----p 2 1

t2

}F0

(t)F2 0

(t)，1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享---- ----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----pk1

k2

t

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(t )，k2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----p tk

k

}1F0

(t 。k1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2

ki1

(mnp)2i inpi

~2(k1r),(n)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中rF0

(x)中需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量2的值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----22(k1r2222， 則否定H；否則，一般情況下接受H。0 0例3 遺傳學(xué)家孟德爾根據(jù)對(duì)豌豆的觀察，發(fā)現(xiàn)豌豆的兩對(duì)特征——圓與皺、黃與綠所出現(xiàn)的四種組合有下述的頻數(shù)：組合： 圓黃 皺黃 圓綠 皺綠 nm： 315 101 108 32 556i根據(jù)他的遺傳學(xué)理論，孟德爾認(rèn)為豌豆的上述四種組合應(yīng)有理論上的概率如下：組合： 圓黃 皺黃 圓綠 皺綠 和p： 9/16 3/16 3/16 1/16 1i試用皮爾遜平方和準(zhǔn)則來檢驗(yàn)實(shí)際觀測數(shù)據(jù)是否與孟德爾的理論相符。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----解 首先建立待檢假設(shè)H :p0

9/16,p2

3/16,p3

3/16,p4

1/16。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其次選取統(tǒng)計(jì)量：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2

i1

(m556p)2i i556pi

~2(410)，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算得20.47。然后取檢驗(yàn)水平0.05，查表得臨界值：2 (410)7.81。0.0520.477.81H0.05下，認(rèn)為實(shí)際數(shù)0據(jù)與孟德爾的遺傳理論相符。§4方差分析20單因素方差分析----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----將試驗(yàn)的變異因素A分成r個(gè)水平A,A,1 驗(yàn)，列出試驗(yàn)結(jié)果記錄表（2-：

A，對(duì)每一個(gè)水平進(jìn)行重復(fù)試r----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----因素A X1 A X2

表2-1試驗(yàn)結(jié)果X X112 1n1X X122 2n1

行平均值X1X2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----A Xr r1

X X Xrr2 rn rrr----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

表示第i個(gè)因素水平進(jìn)行第j次試驗(yàn)的結(jié)果。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）方差分析的假設(shè)前提①對(duì)變異因素的某一個(gè)水平，比如第i個(gè)水平，進(jìn)行試驗(yàn)，得到觀察結(jié)果----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X ,Xi1

, ,Xi2

，看作是從正態(tài)總體N(,2中取出的一個(gè)容量為ni i

的樣本。而----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----且2未知。i②對(duì)于表示r個(gè)水平的r個(gè)正態(tài)總體的方差認(rèn)為都是相等的。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Xij（2）統(tǒng)計(jì)假設(shè)

相互。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----如果要檢驗(yàn)因素的各個(gè)水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響，則試驗(yàn)的全部結(jié)果----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X Xij ij

都取自同一正態(tài)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----N(,2。 r待檢假設(shè)為H : r0 1 2（3）檢驗(yàn)方法----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----n，r記nnn，r1 2

1rn----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----總體均值：Xn

i X ，iji1j1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----行均值：Xi

i X ，1 nn ij1 nij1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

1rn

ni X ，ij----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----S

i1j1r

ni(Xn

X)2，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----T iji1j1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----組內(nèi)平方和：SE

r

i(X X)2，n)2，n----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1j1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----組間平方和：SA

ri1

n(Xi i

X)2。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----S /(r1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----F

SA/(n1)~F(r1,n1)，再根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出E----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----統(tǒng)計(jì)量F的值。在計(jì)算組內(nèi)平方和S 時(shí)，可根據(jù)關(guān)系S S S 得到。E T A E然后查表得臨界值 F F(r1,n1)，再根據(jù)F}下結(jié)論：若 ----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----FF

，則否定H0

；否則，一般情況下接受H。0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----如果檢驗(yàn)的結(jié)果是拒絕H0

，自然希望進(jìn)一步找出因素A取何種水平時(shí)效果----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----最佳。通過比較行平均值的大小，選出行平均值最大的兩種水平做檢驗(yàn)。例1 為了考察6種不同的農(nóng)藥的殺蟲率有無顯著差異，做了18次試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如表2-2：農(nóng)藥殺表2-2蟲 率行平均值1 87.485.080.284.202 90.588.587.394.7 90.263 56.262.459.304 55.048.251.605 92.099.295.391.5 94.506 76.2n18,r6,X72.380.12,S81.3 76.274006.85,S 3825.81,S 181.04。統(tǒng)計(jì)量T A EF60.7。對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問題 6H : 60 1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----取顯著性水平0.01，查表得臨界值F0.01

(5,12)5.06，易見50.75.06，因此----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----拒絕H0

，即認(rèn)為這6種不同的農(nóng)藥的殺蟲率有顯著差異。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----25號(hào)的農(nóng)藥較優(yōu)，因此我們來檢驗(yàn)假設(shè)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量（n2

n 4：5

H:1 2

。5----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----T X2X5

~t(442)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----25 (S2S2)/4----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----統(tǒng)計(jì)量T25

2 5的觀測值為----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----90.2594.5(10.54(10.5412.66)/425

1.765。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----取顯著性水平0.05，查表得臨界值t (6)2.447，易見|1.7652.447，因0.05此不能拒絕，即認(rèn)為這兩種農(nóng)藥的殺蟲率無顯著差異。雙因素方差分析進(jìn)行雙因素方差分析的目的是要檢驗(yàn)兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無影響。在試驗(yàn)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----n

的樣本。雙因素方差分析的假----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----nij

）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----和n 1（不能重復(fù)試驗(yàn)，考慮兩因素間的交互作用）分為兩種情形。ij（1）無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析ArBsAB----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----組合(A,Bi j

)只進(jìn)行一次試驗(yàn)，列出試驗(yàn)結(jié)果記錄表（2-：BBAB1BB2XsiA1X11X12X1sX1A2X21X22X2sX2AXXr r1 r2X Xrs rXjX1X2XsX----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

AiBj個(gè)水平的一對(duì)組合(ABi

)進(jìn)行----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----一次試驗(yàn)的結(jié)果。記nrs。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

1rsn

X,Xij i

1ss

X,Xij j

1r X ；r ij----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1j1

j1

i1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ST

rs

(X X)2,Sij E

rs

(X Xij i

X X)2，j----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1ji1jX)2,S rsX)2,S rs(X X)2。B jA ii1 j----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ST

S SE A

S 。B----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----判斷因素A的影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)假設(shè)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----H :0A 1j

,j1,2,js。rj----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量： FA

(s1)S /SA E

~F(r1,(r1)(s1)) ，再根據(jù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----P{FA

F(r1,(r1)(s1))}F A

FH 0A

否則接受H 。0A----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----判斷因素B的影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)假設(shè) ,i ,i1,2, ,r。ir i0B i1 i2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量： FB

(r1)S /SB E

~F(s1,(r1)(s1)) ，再根據(jù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----P{FB

F(s1,(r1)(s1))}F B

FH 0B

否則接受H 。0B----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----例2 設(shè)4個(gè)工人操作3臺(tái)機(jī)器各一天，日產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表2-4：工人機(jī)器B工人機(jī)器B1BBB234行平均值25A25354575855.5A35242414845.75列平均值51.6747.6748.335350.17問是否真正存在機(jī)器質(zhì)量或工人技能之間的差別？----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ST

317.65,SA

194.97,SB

59.67,SE

63.01。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----因?yàn)镕A

(41)S /SE

9.283F0.05

(2,6)5.14，所以機(jī)器質(zhì)量之間的差別比----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----較顯著，由行平均值可看出，機(jī)器A2

的日產(chǎn)量較高。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----FB

(31)S /SE

1.894F0.05

(3,6)4.76，所以工人技能之間的差別不----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----顯著。（2）重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析如果要考察兩個(gè)因素A、B之間是否存在交互作用的影響，需要對(duì)兩個(gè)因素----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(ABi j

m(m1)次----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（若是不等重復(fù)試驗(yàn)，殘缺數(shù)據(jù)可按均值補(bǔ)齊以便于計(jì)算，列出試驗(yàn)結(jié)果記錄表（2-：B因素AB因素AB1BB2sA1X ,X , ,X111 112 11mX ,X , ,X121 122 12mX ,X , ,X1s1 1s2 1smA2X ,X , ,X211 212 21mX ,X , ,X221 222 22mX ,X , ,X2s1 2s2 2smAX ,X , ,Xr11 r12X ,X , ,Xr21 r22rr1mr2mX ,X , ,Xrs1 rs2 rsm----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

ijk

AiBj個(gè)水平的一對(duì)組合(ABi

)進(jìn)行----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的第k次試驗(yàn)的結(jié)果。記nmrs。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----X

1rn

sm

X ,Xijk ij

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X ，ijk----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----j1mri1jkkj1mr----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1X sm1ms

X ,Xijk

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X 。ijk----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----jki1k----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----平方和：ST

r

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X)2，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1j1k1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----SAB

mrs

(X Xij i

X X)2，j----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1j1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----S rE

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(X X)2)2，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1j1k1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----S msr (XA i

X)2,SB

mrs

X X)2。j----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1 j平方和關(guān)系：S S S S S 。T AB E A B判斷因素A的影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)假設(shè)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----H :0A 1j

,j1,2,js。rjS

/(r1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----A選 取 統(tǒng) 計(jì) 量 ： F AA

S /(nrs)E

~F(r1,nrs)

， 再 根 據(jù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----P{FA

F(r1,nrsF A

F，拒絕H 0A

；否則，接受H 。0A----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----判斷因素B的影響是否顯著，就是要檢驗(yàn)假設(shè)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享---- ,i ,i1,2, ,r。ir i0B i1 i2S

/(s1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選 取 統(tǒng) 計(jì) 量 ： FB

S /(nrs)E

~F(s1,nrs)

， 再 根 據(jù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----BP{FBB

F(s1,nrsF B

F，拒絕H 0B

；否則，接受H 。0B----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----判斷兩個(gè)因素A、B之間的交互作用是否顯著，就是要檢驗(yàn)假設(shè),r;j1,2, ,s。H :,r;j1,2, ,s。0AB ij----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----FAB

SABS

/(r1)(s1)/(nrs)E

~F((r1)(s1),nrs)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----P{FAB

F((r1)(s1),nrs下結(jié)論：若F AB

F，拒絕H

0AB

；否則，接----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----受H 。0AB§5回歸分析回歸概念----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Y與變x（它可能是多維向量）x確定之后，因變量Y的值并不跟著確定，而是按一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（Y的分布）取值。這時(shí)我們將它們之間的關(guān)系表示為Yf(x)，其中f(x為隨機(jī)項(xiàng)，且~N(0,2。f(xf(x是一元線性函數(shù)時(shí)，稱f(xf(x是非線性函數(shù)時(shí)，稱之為非線性回歸。如何確定回歸函數(shù)f(x呢？一是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，二是根據(jù)散點(diǎn)圖。不管是哪種類型的回歸，f(x總含有未知參數(shù)，需要用到參數(shù)估計(jì)方法。一般情況下，還需要檢驗(yàn)f(x是否合理?；貧w分析的目的f(x來做預(yù)測和決策。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----一元線性回歸一元線性回歸模型為

Y0

x，1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----將數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)(i1,2, ,n)代入，有----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i iyi

x1i

,i1,2,,,n，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----并且假定殘差i

~N(0,2)。以下用最小二乘法確定回歸直線方程----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y0

x1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----中的未知參數(shù)0

和，即使殘差平方和（也稱之為剩余平方和）1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Q(0

,)n1

2ni

[y(i 0

x)]21i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----達(dá)到最小值，令Q0

0,

i1 i1Q0得1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Sxy,1 S 0xx

yx，1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x

1nn

x,yi

1nn

y,Si xx

n

(xx)2,Si xy

n

(xx)(yi i

y。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1 i1 i1 i1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----再記Syy

n

(yy)2,Uni

( x0 1i

y)2S2/Sxy xx

（----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1 i1UQS yx之間是否存在線性關(guān)系，需要檢驗(yàn)假設(shè)yy----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量

H :0 1

0 。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----F U ~F2)，Q/(n2)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----根據(jù)P{FF

2)}下結(jié)論：若FF

，拒絕H0

yx之間----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Hyx之間不存在線性關(guān)系，考慮用其0他回歸模型。利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----如何根據(jù)樣本提供的信息來預(yù)測當(dāng)變量 xx0

Y0

的值？一個(gè)自----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----然的想法是用預(yù)測量y0

x0 10

Y0

的差值是多少呢？預(yù)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----測量y0

的優(yōu)劣取決于|y Y0

|的大小。記----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----1 (xx)2 Qd21 0 2 。n S n2xx----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----可以證明當(dāng)Y與Y,Y

, ,Y相互時(shí)，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0 1 2

ny Y----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0d?

0~t(n2)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----這樣在顯著性水平下可得到Y(jié)0

的預(yù)測區(qū)間：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----[y t0

(n,y0

t(n2)d?]。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----當(dāng)ny01.9?（95）或----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y 2.5?（99。0Y落在指定的區(qū)間yyL U

)內(nèi)，變量x----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----應(yīng)控制在什么區(qū)間內(nèi)？從方程yL

x1L

1.96?，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y U

xU

1.9?----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xxL U

1

0(xxL U

1

0時(shí)，控制區(qū)間為----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(x,x)。U L例1 下面給出了懸掛不同重量單位的物體時(shí)彈簧的長度y（單位：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----c：

x： 5iy： 7.25i

108.12

158.95

209.90

2510.90

3011.80----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----yx16g重物時(shí)彈簧的長度大約是多少？10cm~11cm之間，問懸掛物體的重量應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解 從所給的數(shù)據(jù)可得：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----n6,x17.5,y9.487,Sxx

437.5,Sxy

80.065,Syy

14.678。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----于是，0

的最小二乘估計(jì)值分別為1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----S /S1 xy xx

0.183,0

y1

x6.284。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)為y6.2840.183x。F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)變量yx之間的線性關(guān)系的顯著性?；貧w平方和----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----US2/Sxy xx

14.652，殘差平方和QS

U0.026。因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量Fyy

UQ/(n2)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的觀測值F2254F0.01

21.2yx之間存在特別顯著的線性關(guān)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----系。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----當(dāng)x 16時(shí)，y6.2840.183169.212。取顯著性水平0.05時(shí)，0t (4)2.776，111(1617.5)26437.5----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----t(n2)d

2.776

0.242，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0.02662得到預(yù)測區(qū)間為[8.970,9.454]16g0.02662----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0.026/(62)~9.454cm95%。由106.2840.183x0.026/(62)

解得x21.17。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0.026/(62)由116.2840.183x1.96 解得x0.026/(62)度控制在10cm~11cm 之間，懸掛物體的重量大致應(yīng)控制在21.17g~24.91g之間?？删€性化回歸2-6列出了常用的可線性化回歸曲線方程（a0，他2-5~2-9所示。表2-6曲線方程變換公式變換后的線性方程1/yab/xu1/x,v1/yvabuyaxbulnx,vlnyvcbu(clna)yablnxux,vlnyvabuyaebxux,vlnyvcbu(clna)y1/(abex)uex,v1/yvabu----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----例2 電容器充電后電壓達(dá)到100V，然后開始充電，測得時(shí)tiu如下：i

時(shí)的電壓----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ti(s)： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----u(V)： 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5i試求電壓u關(guān)于時(shí)間t的回歸方程。解 畫出散點(diǎn)圖（圖2-1，可設(shè)回歸方程為uBeat(a0)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----取對(duì)數(shù)，得ylnuxtblnB，得

lnuatlnB，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----yaxb。相應(yīng)的數(shù)據(jù)變換如下：x： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10iy： 4.605 4.317 4.007 3.689 3.401 2.996 2.708 2.303 2.303 1.609 1.609i----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得：x5,y3.050,Sxx

110,Sxy

34.389,Syy

10.860。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)變量yx之間的線性關(guān)系的顯著性?；貧w平方和----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----US2/Sxy xx

10.751，殘差平方和QS

U0.109。因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量Fyy

UQ/(n2)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----的觀測值F887.697F0.01

(1,9)10.56yx之間存在特別顯著的線----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----性關(guān)系。按最小二乘法：aS /Sxy

0.3126,byax4.613。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----所以變量y關(guān)于x的回歸直線方程為y0.3126x4.613。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----再換回原變量得

u100.786e0.3126t。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----這就是所求的回歸直線方程。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----多元線性回歸和預(yù)測（1）多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----設(shè)隨機(jī)變量Y與mxx1

, ,xxxmm

有關(guān)系----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Yx11

x22

，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中為隨機(jī)項(xiàng)，且~N(0,2。記yy1y2,X11 x11x21x x1my2mn, ,11 22，1 xn1xnm n(m1) n m----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中yi

為隨機(jī)變量Y的觀測值，Xxx,1

x 的一組觀m----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xxi1 i2

, ,xim

,i1,2, n，且殘差i

~N(0,2)，則有----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----yX，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----殘差平方和

QTyX)TyX。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----yX求，使殘差平方和Q達(dá)到最小值。（2）參數(shù)估計(jì)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----令Q0

0,

Q0,1

0，得,,Q----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(XTX)1XTy，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----即得到所求的回歸方程為（3）相關(guān)性檢驗(yàn)

yx11

x 。xmm----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----與一元回歸情況相似，首先建立待檢假設(shè) mH : m0 1 2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----若能通過檢驗(yàn)拒絕H0記

，則Y與mxx,1

x 之間存在線性相關(guān)關(guān)系。m----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y1nn

y,Si yy

n

(yy)2,QSi yy

U。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----選取統(tǒng)計(jì)量

i1 i1F U/m ，Q/(nm1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----在 H 成 立 的 條 件 下 ， F~F(m1,nm1) 。 然 后 根 據(jù)0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----P{FF

(m1,nm1)}FF

，拒絕H0

，即Ym個(gè)變量----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x,x1 2

, ,xm

之間存在線性關(guān)系；否則，接受H0

，即Y與mxx,x x 之m----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----間不存在線性關(guān)系。在多元線性回歸模型中 ，拒絕假設(shè) H ，即回歸方程顯著。然而變量0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x,x1 2

, ,xm

對(duì)Y的影響并不都是十分重要的，人們還關(guān)心Yxx1

, ,xm

的回歸----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----,m。,m。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----通常選取統(tǒng)計(jì)量

H :k k

0,k1,2,----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----2/aF k kk ，k Q/(nm1)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中akk

是矩陣XTX)1的主對(duì)角線上第k1個(gè)元素。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----在H 立的條件下k k

~Fm1)F

m1)}----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----下結(jié)論：如果FF

，拒絕Hk

，即xk

對(duì)Y的影響顯著；否則，接受Hk

，即x對(duì)k----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Y的影響不顯著。（4）預(yù)測問題,x(x ,x(x x , x 時(shí)隨m 10 20 m0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----機(jī)變量Y0

1 2的值？一個(gè)自然的想法是用預(yù)測量----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y 0

x110

x220

xmm0----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----來代替。預(yù)測量y0

的優(yōu)劣取決于|y Y0

|的大小。記----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x 1n x,l

n(x x)(x x),i,j1,2,----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----,m。j n ij ij,m。

ki i kj j----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----i1 i1l11l11l1ml,11l 1mm1lmmlm1lmm。Lll----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----d211ml(x

x)(x x2 Q 。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----n ij i0i1j1

i j0 j

nm1----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----可以證明當(dāng)Y與Y,Y

, ,Y相互時(shí)，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0 1 2

nyY----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0d?

0~t(nm1)。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----這樣在顯著性水平下可得到Y(jié)0

的預(yù)測區(qū)間：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----[y0非線性回歸

t(nm1)d?,y 0

t(nm1d?]。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xmm這里介紹的一種情形是最常見的、最具有代表性的一元多項(xiàng)式回歸分析方y(tǒng)fxmm----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----y0

x1 2

x2 ，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xmm其中m2。隨機(jī)變量Yxmm----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Y0

x1 2

x2

，----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----其中為隨機(jī)項(xiàng)，且~N(0,2x作變換：----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----xmm

x xj,j,m,m。----宋停云與您分享-------