高中數(shù)學(xué)人教高中第三章空間向量與立體幾何《微專題立體幾何解答題的“建系求點(diǎn)”問(wèn)題》

立體幾何位置關(guān)系度量關(guān)系方法幾何法向量法關(guān)系復(fù)習(xí)回顧

空間角圖形空間角與向量夾角關(guān)系線線角線面角二面角復(fù)習(xí)回顧立體幾何向量法的解題流程是：

復(fù)習(xí)回顧提出問(wèn)題

使用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，說(shuō)是向量運(yùn)算，不如說(shuō)是點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算，所以“建系求點(diǎn)”就顯得尤為重要！

如何恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系？

如何有的放矢、化解自如？

如何快速寫(xiě)出需要的點(diǎn)坐標(biāo)？核心問(wèn)題：

解決立體幾何解答題的“建系求點(diǎn)”問(wèn)題，歸納其一般方法。例1

已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，試建立空間直角坐標(biāo)系．解決問(wèn)題活動(dòng)一

例2

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為2a，棱PD⊥底面ABCD，PD＝2b，取各側(cè)棱的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，試建立空間直角坐標(biāo)系．找“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一8找“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一造“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一造“墻角”建系方法2：利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一

例3

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．點(diǎn)P、H分別是線段VC、AD的中點(diǎn)．試建立空間直角坐標(biāo)系..造“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一造“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一找“墻角”建系方法3：利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)化為墻角模型）活動(dòng)一例4已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h．試建立空間直角坐標(biāo)系.造“墻角”建系方法4：利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（或者是利用頂點(diǎn)和頂點(diǎn)在底面投影點(diǎn)所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系活動(dòng)一造“墻角”建系方法4：利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系（或者是利用頂點(diǎn)和頂點(diǎn)在底面投影點(diǎn)所在直線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系活動(dòng)一空間直角坐標(biāo)系的建立：1.軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的。2.軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫(xiě)出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對(duì)稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對(duì)稱特點(diǎn)3.常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時(shí)要注意。反思提升4.同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對(duì)應(yīng)不同。但是通過(guò)坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5.解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直底面兩條線垂直），這個(gè)過(guò)程不能省略。

6.與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：(1)線面垂直：①如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與一個(gè)平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)平面垂直③兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直(2)線線垂直（相交垂直）①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對(duì)角線相互垂直④勾股定理⑤三垂線定理及其逆定理反思提升

向量法求解立體幾何問(wèn)題的第一步是恰當(dāng)建系，其次就是正確快速求解點(diǎn)坐標(biāo)。接下來(lái)，通過(guò)典型例題以求能突破在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)難的問(wèn)題。活動(dòng)二典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫(xiě)出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1O求點(diǎn)坐標(biāo)的方法活動(dòng)二典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(1)A1

(2,-2,0)

、B1

(2,2,0)、D1

(0,-2,0)

、A(2,0,)(2)射影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O求點(diǎn)坐標(biāo)的方法：射影法、公式法、向量法活動(dòng)二向量法典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn)，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)B;ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法求點(diǎn)坐標(biāo)的方法：射影法、公式法、向量法活動(dòng)二射影法典例

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點(diǎn)D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點(diǎn).(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD1寫(xiě)出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵

三點(diǎn)共線，可設(shè)即,

∵故向量法點(diǎn)P的位置原點(diǎn)Ox軸上Ay軸上Bz軸上C坐標(biāo)形式點(diǎn)P的位置xOy面內(nèi)DyOz面內(nèi)EzOx面內(nèi)F坐標(biāo)形式zx?Oy111?A?D?C?B?E?F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)點(diǎn)坐標(biāo)的求解：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為三大方法：1.投影法(1)能夠直接寫(xiě)出坐標(biāo)的點(diǎn)：①坐標(biāo)軸上的點(diǎn)②底面上的點(diǎn)反思提升求空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)的方法

(2)空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)：如果在底面的投影為，那么（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同）由這條規(guī)律出發(fā)，在寫(xiě)空間中的點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可看一下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫(xiě)。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。反思提升2.公式法利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的重心坐標(biāo)公式、距離公式、夾角公式等求出點(diǎn)的坐標(biāo).

利用向量相等、垂直、共線等向量運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo).向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，尤其動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.反思提升3.向量法運(yùn)用反饋想證算

向量坐標(biāo)運(yùn)算作為一種工具，在解決立體幾何問(wèn)題中有著無(wú)比的優(yōu)越性．將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算，這與把空間圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面圖形關(guān)系的傳統(tǒng)解法相比，顯然是更高的思維方式，它抓住了空間的主要特征和其內(nèi)在規(guī)律，使“紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序”.1.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.目標(biāo)檢測(cè)解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則2.如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD；

(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD?目標(biāo)檢測(cè)證明如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OA＝1，OA1＝a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a).設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量.故m·n＝0，即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD?故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí)，有EF⊥AD.點(diǎn)評(píng)依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對(duì)角線便可建立空間直角坐標(biāo)系.空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便.3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝

，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB1A1.(1)證明：BC⊥AB1；

又∠ABD，∠AB1B為三角形的內(nèi)角，故∠ABD＝∠AB1B，又CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以AB1⊥CO，因?yàn)锽D∩CO＝O，BD，CO?平面CBD，所以AB1⊥平面CBD，又BC?平面CBD，所以AB1⊥BC.3.在三棱柱ABC－A1B1