數(shù)學理科二輪總復習23題逐題特訓（三）應用題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精(三)應用題1．已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克,配料的價格為1.8元/千克，每次購買配料需支付運費236元．每次購買來的配料還需支付保管費用，其標準如下:7天以內(nèi)（含7天），無論重量多少,均按10元/天支付；超出7天以外的天數(shù)，根據(jù)實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）當9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用P是多少元？(2）設(shè)該廠x天購買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費用y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少？解(1)當9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用P＝70＋0.03×200×(1＋2）＝88（元）．(2)①當x≤7時，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，②當x>7時，y＝360x＋236＋70＋6[（x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1］＝3x2＋321x＋432，∴y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（370x＋236，x≤7，，3x2＋321x＋432，x〉7,））∴設(shè)該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f（x）元．f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（370x＋236,x)，x≤7，,\f(3x2＋321x＋432，x)，x〉7.)）當x≤7時，f(x）＝370＋eq\f（236,x），當且僅當x＝7時,f(x）有最小值eq\f（2826，7)≈404(元)；當x＞7時，f(x)＝eq\f(3x2＋321x＋432,x)＝3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（144，x))）＋321≥393。當且僅當x＝12時取等號．∵393<404，∴當x＝12時f（x）有最小值393元．2．南半球某地區(qū)冰川的體積每年中隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間，以月為單位,年初為起點，根據(jù)歷年的數(shù)據(jù),冰川的體積（億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系式為V（t)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－t3＋11t2－24t＋100，0<t≤10，，4t－103t－41＋100，10<t≤12.))(1）該冰川的體積小于100億立方米的時期稱為衰退期．以i－1〈t〈i表示第i月份(i＝1，2，…,12)，問一年內(nèi)哪幾個月是衰退期？（2）求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積．解（1)當0〈t≤10時,V(t)＝－t3＋11t2－24t＋100<100，化簡得t2－11t＋24〉0，解得t〈3或t〉8.又0〈t≤10，故0〈t<3或8<t≤10，當10〈t≤12時,V（t）＝4(t－10)(3t－41)＋100〈100，解得10〈t〈eq\f(41,3）,又10<t≤12，故10<t≤12。綜上得0<t<3或8<t≤12。所以衰退期為1月，2月，3月，9月,10月，11月，12月共7個月．(2)由(1)知，V(t）的最大值只能在(3,9）內(nèi)取到．由V′（t)＝(－t3＋11t2－24t＋100）′＝－3t2＋22t－24，令V′（t）＝0，解得t＝6或t＝eq\f(4,3)（舍去)．當t變化時,V′(t）與V(t)的變化情況如下表：t(3，6)6(6，9)V′（t）＋0－V(t)↗極大值↘由上表，V(t）在t＝6時取得最大值V(6）＝136(億立方米）．故該冰川的最大體積為136億立方米．3．如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北α角方向的OB.位于該市的某大學M與市中心O的距離OM＝3eq\r（13）km，且∠AOM＝β.現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段,且經(jīng)過大學M。其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3，\r(13))，AO＝15km。（1）求大學M與站A的距離AM；(2)求鐵路AB段的長AB.解（1）在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ＝eq\f（3,\r（13))，OM＝3eq\r(13），由余弦定理，得AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM＝152＋（3eq\r(13））2－2×15×3eq\r（13)×eq\f（3,\r（13))＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM＝6eq\r(2)，即大學M與站A的距離AM為6eq\r(2)km。（2)∵cosβ＝eq\f(3，\r（13)),且β為銳角，∴sinβ＝eq\f（2，\r（13）)，在△AOM中，由正弦定理，得eq\f(AM，sinβ)＝eq\f(OM，sin∠MAO)，即eq\f(6\r(2),\f（2，\r（13))）＝eq\f（3\r(13）,sin∠MAO),sin∠MAO＝eq\f（\r（2),2），∴∠MAO＝eq\f(π,4），∴∠ABO＝α－eq\f（π，4）,∵tanα＝2，∴sinα＝eq\f（2，\r(5）),cosα＝eq\f（1，\r(5））,∴sin∠ABO＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α－\f(π，4)))＝eq\f(1,\r(10）），又∠AOB＝π－α，∴sin∠AOB＝sin（π－α)＝eq\f（2，\r(5)）。在△AOB中,OA＝15,由正弦定理，得eq\f(AB，sin∠AOB）＝eq\f(OA，sin∠ABO），即eq\f(AB,\f(2,\r（5）)）＝eq\f(15,\f(1，\r(10)))，∴AB＝30eq\r（2），即鐵路AB段的長為30eq\r(2)km.4．(2017·江蘇蘇州大學指導卷)如圖，某地區(qū)有一塊長方形植物園ABCD，AB＝8(百米），BC＝4（百米)．植物園西側(cè)有一塊荒地，現(xiàn)計劃利用該荒地擴大植物園面積,使得新的植物園為HBCEFG，滿足下列要求：E在CD的延長線上，H在BA的延長線上，DE＝0。5(百米)，AH＝4（百米），N為AH的中點，F(xiàn)N⊥AH，EF為曲線段，它上面的任意一點到AD與AH的距離的乘積為定值，F(xiàn)G,GH均為線段，GH⊥HA，GH＝0.5（百米）．（1）求四邊形FGHN的面積；(2)已知音樂廣場M在AB上，AM＝2（百米），若計劃在EFG的某一處P開一個植物園大門，在原植物園ABCD內(nèi)選一點Q為中心建一個休息區(qū)，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，問點P在何處時，AQ最小．解(1)以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系如圖所示．則Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2），4))，因為E到AD與AH距離的乘積為2，所以曲線EF上的任意一點都在函數(shù)y＝－eq\f(2，x)的圖象上．由題意，N(－2,0）,所以F(－2,1)．四邊形FGHN的面積為eq\f（1,2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)＋1)）×2＝eq\f(3,2）(平方百米）．(2）設(shè)P（x，y），則eq\o(MP，\s\up6（→））＝(x－2，y），eq\o（MQ,\s\up6(→））＝(y,－x＋2），eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(y＋2，－x＋2）,因為點Q在原植物園內(nèi)，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤y＋2≤8，,0≤2－x≤4,）)即－2≤x≤2.又點P在曲線EFG上,x∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－4，－\f(1，2）)），所以－2≤x≤－eq\f(1，2），則點P在曲線段EF上,AQ＝eq\r（y＋22＋2－x2),因為y＝－eq\f(2，x），所以AQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(2，x）＋2)）2＋2－x2)＝eq\r（x2＋\f(4，x2)－4x－\f(8,x)＋8)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（2，x)))2－4\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)）)＋4）＝eq\r（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(2，x)－2））2）＝－x＋eq\f(2,－x)＋2≥2eq