“亞黃金橢圓”的性質再探究 論文

“亞黃金橢圓”的性質再探究[摘要]圓錐曲線是高中數(shù)學重要知識點之一，也是高考中的重難點；它們有很多完美的性質，本文通過對亞黃金橢圓性質的進一步探究，以期引導中學生對圓錐曲線的性質有更深入的學習和發(fā)現(xiàn).[關鍵字]亞黃金橢圓；性質；探究在初中階段，我們知道5-1稱為線段的“黃金分割比”，簡稱“黃金比”；這里給2出亞黃金橢圓的定義：若橢圓的離心率e滿足e2=5-1，則稱該橢圓為亞黃金橢圓.2為了探究的方便，我們假設亞黃金橢圓的中心為坐標原點，焦點在x軸上，標準方程為xCa2+y2=(a>>0)，其中長軸端點為A1、A2，短軸端點為B、B，左、2b21 2右焦點為F1、F2，如下圖所示.y

B2A1F1OF2A2xB1圖1亞黃金橢圓的性質性質1．在亞黃金橢圓中，a、、b成等比數(shù)列.-1=0【證明】因為e2=c2=5-1，可得 4?? 2+?? ?÷ è?a22?÷è?即c4+ac22-a4=0所以ac22=a4-c4所以a2(a2-b2)=a4-c4所以ab2 2=c4即ab=c2故a、、b成等比數(shù)列.命題得證.性質2．在亞黃金橢圓中，1+1=1.a2c2b2【證明】由性質1，ab=c2所以12 1

=c4ab2變形為c22 1

=c2ab2即a2-b2 1

=c2ab22所以1-1 1

=c2b2a2故1 1+c2 1=b2.a2命題得證.性質3．在亞黃金橢圓中，以橢圓中心（坐標原點）為圓心，以半長軸a為半徑作圓，交y軸于A3、A4，在圖1中，F(xiàn)1、、、1 2 A4四點共圓；在圖2中，DAFB4 2 1 p=2.yA4yA4B2B2xxA1F1OF2A2A1F1OF2A2B1B1A3A3圖2圖3【證明】先證明圖2中DAFB4 2 1 p=2成立.由性質1，在亞黃金橢圓中，ab=c2所以a=c，即OA4=OF2cbOF2OB1 p=2，故F1、、、1 2 A4四點共圓.因為DAOF4 2=DFOB2 1所以DAOF4 2∽DFOB2 1可得DAFB4 2 1 p=2.由對稱性，可知圖1中，DAFB4 1 1=DAFB4 2 1命題得證.性質4．在亞黃金橢圓中，以橢圓中心（坐標原點）為圓心，分別以半長軸b為半徑作大圓與小圓，大圓交y軸于A3、A4，如圖所示，則小圓與直線即原點到直線AF4 2的距離為半短軸長.yA4B2B1

A3圖4【證明】在亞黃金橢圓中，ab=c2，lAF42:ax+cy-ac=0，故原點到直線AF4 2的距離A1F1OdF2A2xa、半短軸AF4 2相切，d=ac=abc=abc=abc=abc=abc=b.a2+c2ab22+bc22c4+bc22c2(b2+c2)ac22ac所以小圓與直線AF4 2相切.命題得證.性質5．在亞黃金橢圓中，以橢圓中心（坐標原點）為圓心，以半長軸a為半徑作圓，交y軸與A3、A4，過原點的直線與過lA4、B2的動圓N相切于點M，則OM=c，即切線段長為半焦距.A4yNMB2xA1F1OF2A2B1

A3圖5【證明】在亞黃金橢圓中，ab=c2，由圓切割線定理，OM2=OB2×OA4=ab=c2故OM=c，即切線段長為半焦距.命題得證.這些只是筆者淺顯地探索了亞黃金橢圓的一些簡單性質，還有更多優(yōu)美的性質待我們繼續(xù)挖掘發(fā)現(xiàn).鏈接高考例1．2006年天津卷（理科）如圖，以橢圓x2+y2=(a>>0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小a2b2圓．過橢圓右焦點Fc(,0)(c>b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．（1）求證：2c=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證：uuuruuurOPOQ 1=2b2．（1）證明略．M(0,a)（2）證明略．

yP ABOF

Qx圖6例2．（自編）橢圓Cx2+y2=(a>>0)的離心率e滿足e2=5-1，直線不與坐標軸垂直，la2b22若直線與橢圓lC相切于點P，點O為坐標原點，則直線與直線lOP的斜率之積為_________．答案：5-3（過程略）2參考文獻[1]蘇立標.從一道高考題談“亞黃金橢圓”的性質.《數(shù)學教學研究》2007年第6期39-40頁，共2頁.[2]魏海濤.橢圓族中