人教A版選擇性必修第三冊第六章6.2.1排列6.2.2排列數學案

6．2排列與組合6．排列排列數必備學問·自主學習導思1.排列的含義是什么？兩個排列相同的充要條件是什么？2.排列數及排列數公式是什么？1.排列(1)定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并依據肯定的挨次排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)兩個排列相同的充要條件：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列挨次也相同．排列中的元素有哪些特性？提示：(1)無重復性：從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，否那么不是排列問題．(2)有序性：支配這m個元素時是有挨次的，有序的就是排列，無序的不是排列．檢驗它是否有挨次的依據是變換元素的位置，看結果是否發(fā)生變化，有變化就是有挨次，無變化就是無挨次．2．排列數(1)定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．(2)本質：簡捷地表示“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部排列的個數〞這類特別的計數問題．(3)作用：①建立特別的計數模型；②推導排列數公式．排列與排列數有何不同？提示：排列與排列數是兩個不同的概念，“排列〞是指從n個不同元素中取出m個元素依據肯定挨次排成一列，是一種排法；“排列數〞是指從n個不同元素中取出m個元素的全部不同排列的個數，是一個數，用Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．3．排列數公式全排列的定義n個不同元素全部取出的一個排列階乘的定義把n(n－1)×…×2×1叫做n的階乘，用n！表示排列數公式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)階乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,〔n－m〕！)(n，m∈N*，m≤n)特別狀況,Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n！，0?。?1．辨析記憶(對的打“√〞，錯的打“×〞).(1)從1，2，3三個數字中，任選兩個做加法，計數其結果數，是排列問題．(×)提示：不存在挨次問題，不屬于排列問題．(2)在排列的問題中，總體中的元素可以有重復．(×)提示：在排列問題中總體內元素不能重復．(3)用1，2，3這三個數字組成無重復數字的三位數.123與321是不相同的排列．(√)提示：依據排列的定義可以推斷123與321是不同的排列．(4)在Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)中右邊是n－m＋1項的乘積．(×)提示：從n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上m個數相乘，可得共m項．2．計算：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝________.【解析】Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝5×4＋7×6＝62.答案：623．(教材例題改編)一張餐桌上有6盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有________種不同的取法．【解析】按分步乘法計數原理，不同的取法種數為6×5×4＝120.答案：120關鍵力量·合作學習類型一簡潔的排列問題(數學抽象)1.某班上午要上語文、數學、體育和外語4門課，而體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，那么不同排課方案的種數是()A．24B．22C．20D．12【解析】選D.分兩步排課：體育可以排其次節(jié)或第三節(jié)兩種排法；其他科目有語文、數學、外語語文、外語、數學數學、語文、外語數學、外語、語文外語、語文、數學外語、數學、語文共6種排法，所以依據分步乘法計數原理可知共有2×6＝12(種)排課方案．2．北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應當有________種機票．【解析】列出每一個起點和終點狀況，如下圖．故符合題意的機票種類有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京，廣州→天津，廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．答案：123．在編號為1，2，3，4的四塊土地上分別試種編號為1，2，3，4的四個品種的小麥，但1號地不能種1號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，寫出全部不同的試種方案．【解析】畫出樹狀圖，如下圖：由樹狀圖可知，共有11種不同的試種方案．利用“樹狀圖〞法解決簡潔排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖〞在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比擬有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按肯定挨次排出，然后以先支配哪個元素為分類標準進行分類，再支配其次個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．【加練·固】假設直線Ax＋By＝0的系數A，B可以從2，3，5，7中取不同的數值，可以構成的不同直線的條數是()A．12條 B．9條C．8條 D．4條【解析】選A.畫樹狀圖如圖：故共有12條．

類型二排列數公式及應用(數學運算、規(guī)律推理)【典例】證明：Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n)).【思路導引】觀看等式左、右兩邊的排列數上標、下標均為字母用排列數公式的階乘式綻開、化簡由左邊推右邊．【證明】由于Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(〔n＋1〕！,〔n＋1－m〕！)－eq\f(n！,〔n－m〕！)＝eq\f(n！,〔n－m〕！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,〔n－m〕！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,〔n＋1－m〕！)＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))，所以Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n)).排列數的計算方法(1)排列數的計算主要是利用排列數的乘積公式進行，應用時留意：連續(xù)正整數的積可以寫成某個排列數，其中最大的是排列元素的總個數，而正整數(因式)的個數是選取元素的個數，這是排列數公式的逆用．(2)應用排列數公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會削減運算量．1．假設Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(m))＝2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))，那么m的值為()A．5B．3C．6D．7【解析】選A.依據題意，假設Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(m))＝2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))，那么有m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，即(m－3)(m－4)＝2，解可得：m＝5或m＝2(舍去).2．計算：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝________.【解析】Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝5×4×3×2，所以eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝7×6－6＝36.答案：36【拓展延長】Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中的三個隱含條件(1)m，n∈N*.(2)m≤n.(3)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))的運算結果為正整數．在解與排列數有關的方程或不等式時，應先求出未知數的取值范圍，再利用排列數公式化簡方程或不等式，最終得出問題的解．【拓展訓練】解不等式Aeq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(9))＞6Aeq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(9))，其中x≥3，x∈N*.【解析】由原不等式得eq\f(9！,〔9－x〕！)＞eq\f(6×9！,〔9－x＋2〕！)，其中3≤x≤9，x∈N*，即(11－x)·(10－x)＞6，整理得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13.又3≤x≤9，x∈N*，所以x＝3，4，5，6，7.故原不等式的解集為{3，4，5，6，7}．類型三排列與排列數公式的簡潔應用(數學建模、數學運算)角度1分類問題【典例】在冬奧會志愿者活動中，甲、乙等5人報名參與了A，B，C三個工程的志愿者工作，因工作需要，每個工程僅需1名志愿者，且甲不能參與A，B工程，乙不能參與B，C工程，那么共有____________種不同的志愿者安排方案．(用數字作答)【思路導引】由題意可以分四類，依據分類加法計數原理可得．【解析】(1)假設甲，乙都參與，那么甲只能參與C工程，乙只能參與A工程，B工程有3種方法，(2)假設甲參與，乙不參與，那么甲只能參與C工程，A，B工程，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6種方法，(3)假設甲不參與，乙參與，那么乙只能參與A工程，B，C工程，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6種方法，(4)假設甲不參與，乙不參與，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種方法，依據分類加法計數原理，共有3＋6＋6＋6＝21種．答案：21【變式探究】將本例條件“甲不能參與A，B工程，乙不能參與B，C工程〞改為“甲不能參與A工程，乙不能參與B工程〞，其他條件不變，試求有多少種安排方案．【解析】分四種狀況：(1)甲，乙都參與．假設甲參與B工程，那么有2×3＝6種方法，假設甲參與C工程，有3種方法，共有9種方法；(2)假設甲參與，乙不參與，那么有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝2×6＝12種方法；(3)假設甲不參與，乙參與，那么有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝2×6＝12種方法；(4)假設甲不參與，乙不參與，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種方法，依據分類加法計數原理，共有9＋12＋12＋6＝39種．角度2分步問題【典例】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數〞合稱“六藝〞．“禮〞，主要指德育；“樂〞，主要指美育；“射〞和“御〞，就是體育和勞動；“書〞，指各種歷史文化學問；“數〞，指數學．某校國學社團開展“六藝〞課程講座活動，每藝支配一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數〞必需排在第三節(jié)，且“射〞和“御〞兩門課程相鄰排課，那么“六藝〞課程講座不同的排課挨次共有()A．12種B．24種C．36種D．48種【思路導引】“數〞的位置已經確定，可先支配“射〞和“御〞，再支配其他三藝．【解析】選C.由題意，“數〞排在第三節(jié)，那么“射〞和“御〞兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的挨次，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種，剩余的3門全排列，支配在剩下的3個位置，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種，所以“六藝〞課程講座不同的排課挨次共有3×2×6＝36種不同的排法．解簡潔排列應用題的思路(1)仔細分析題意，看能否把問題歸結為排列問題，即是否有挨次．(2)假如是的話，再進一步分析，這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素的每一種排列對應的是什么大事．(3)運用排列數公式求解．提示：解答相關的應用題時不要無視n為正整數這一條件．1．現將愛國福、和諧福、友善福、富強福、敬業(yè)福排成一排，愛國福與敬業(yè)福相鄰，那么不同排法有________種．()A．72B．24C．36D．48【解析】選D.將愛國福與敬業(yè)福捆綁在一起，再與和諧福、友善福、富強福進行全排列，所以排法有：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝2×4×3×2＝48種．2．小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學站成一排，假設小一不消失在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰，求能滿意條件的不同排法共有多少種．【解析】按小一的位置分三類：①當小一消失在第2位時，那么第1位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學，所以滿意條件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12種；②當小一消失在第3位時，那么第1位、第2位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學或第4位、第5位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學，所以滿意條件的不同排法有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24種；③當小一消失在第4位時，那么第5位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學，所以滿意條件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12種．綜上，共有12＋24＋12＝48種．課堂檢測·素養(yǎng)達標1．以下問題中：①10本不同的書分給10名同學，每人一本；②10位同學互通一次；③10位同學互通一封信；④10個沒有任何三點共線的點構成的線段．屬于排列的有()A．1個B．2個C．3個D．4個【解