2017全國初中數(shù)學聯(lián)賽初二卷(同名10385)

2017年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題初二卷第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.已知實數(shù)a,b,c滿足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，則的值為（）.A.2B.1C.0D.-12.已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，，則(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值為（）.A.125B.120C.100D.813.若正整數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，則稱(a,b,c)為好數(shù)組.那么好數(shù)組的個數(shù)為（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整數(shù)a,b,c滿足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，則a2+b2+c2的值為（）.A.424B.430C.441D.460

5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，則梯形的面積為（）.A.B.C.D.6.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，點E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，則DE的值為（）.A.56B.58C.60D.62二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）7.使得等式成立的實數(shù)a的值為________.8.已知△ABC的三個內(nèi)角滿足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，則θ的最大值為________.9.設a,b是兩個互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則p的值為________.10.20個都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個數(shù)之和都不等于7，則這20個數(shù)之和的最小值為________.第二試一、（本題滿分20分）設A,B是兩個不同的兩位數(shù)，且B是由A交換個位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果A2-B2是完全平方數(shù)，求A的值.二、（本題滿分25分）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P為AD與EF的交點.證明：EF=2PD.三、（本題滿分25分）已知a,b,c是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.

則△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，經(jīng)計算可得.所以梯形ABCD的面積為.

6.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，點E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，則DE的值為（）.A.56B.58C.60D.62答案：B對應講次：所屬知識點：平面幾何思路：補形法，把直角梯形先補成正方形，再利用旋轉把邊長關系轉化到同一個三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CF⊥AD，交AD的延長線于點F，將△CDF繞點C逆時針旋轉90°至△CGB，則ABCF為正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED.設DE=x，則DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt△EAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）7.使得等式成立的實數(shù)a的值為________.答案：8對應講次：所屬知識點：方程思路：通過等式兩邊都6次方可以去掉最外面根式，再用換元法化簡等式，最后要驗證結果是否滿足最初的等式.解析：易得.令，則x≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0,x2=3,x3=-1，舍負，即a=-1或8，驗證可得a=8.8.已知△ABC的三個內(nèi)角滿足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，則θ的最大值為________.答案：20°對應講次：所屬知識點：代數(shù)思路：一般來說，求幾個中最小者的最大值時，就是考慮這幾個都相等的情況.解析：∵θ≤100°-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤［3（100°-C）+2(C-B)+(B-A)］=20°又當A=40°,B=60°,C=80°時，θ=20°可以取到.則θ的最大值為20°.9.設a,b是兩個互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則p的值為________.答案：7對應講次：所屬知識點：數(shù)論思路：因為p是質(zhì)數(shù)，只能拆成1和p，另一方面通過a+b、a、b兩兩互質(zhì)來拆分的可能種類，最后分類討論，要么與條件矛盾，要么得出結果.解析：因為a,b互質(zhì)，所以a+b、a、b兩兩互質(zhì)，因為質(zhì)數(shù)，所以可得a=b=1，p=4，不是質(zhì)數(shù)舍；可得a=7，b=1，p=7，符合題意.則p=7.10.20個都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個數(shù)之和都不等于7，則這20個數(shù)之和的最小值為________.答案：34對應講次：所屬知識點：數(shù)論思路：考慮1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1滿足題設要求，其和為34，接下來只需要考慮該數(shù)列是否為和最小的數(shù)列.解析：設該正整數(shù)列為，考慮，依抽屜原理必然有兩項模7的余數(shù)相同，則該兩項的差是7的倍數(shù)，于是任意連續(xù)7項之中必有連續(xù)子列之和為7的倍數(shù)，又不能為7，則最小為14.于是20個數(shù)中至少有2組這樣的子列其總和不小于28，剩下6個數(shù)之和不小于6，于是該數(shù)列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在數(shù)列和為34的情況.

第二試一、（本題滿分20分）設A,B是兩個不同的兩位數(shù)，且B是由A交換個位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果A2-B2是完全平方數(shù)，求A的值.答案：65對應講次：所屬知識點：數(shù)論思路：對于需要考慮不同位數(shù)上數(shù)字的情況，可以把一個兩位數(shù)設為10a+b，轉為為代數(shù)問題，再利用完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式也是以完全平方數(shù)對的形式出現(xiàn)，綜合分析所有限定下可能性，最終確定結果.解析：設A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N)，則B=10b+a，由A,B不同得a≠b，A2-B2=（10a+b）2-(10b+a)2=9×11×（a+b）(a-b). ………5分由A2-B2是完全平方數(shù)，則a＞b，，可得a+b=11， ………10分a-b也是完全平方數(shù)，所以a-b=1或4. ………15分若a-b=1，則a=6，b=5；若a-b=4，則沒有正整數(shù)解.因此a=6，b=5，A=65. ………20分二、（本題滿分25分）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P為AD與EF的交點.證明：EF=2PD.對應講次：所屬知識點：平面幾何思路：因為EF、PD都在△DEF中，所以想辦法推出其性質(zhì)，比較容易得出∠EDF=90°，此時若能得出EF=PD，則自然可以得到結論.解析：由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可得∠EDF=90°. ………5分由BE⊥DE得BE∥DF，則∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°，則△BED≌△DFC，BE=DF. ………15分得四邊形BDFE是平行四邊形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD. ………20分又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD. ………25分三、（本題滿分25分）已知a,b,c是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.答案：3對應講次：所屬知識點：數(shù)論思路：通過a,b,c是正整數(shù)，可以把有理部分和無理部分分離考慮.注意到，可以通過分母有理化來實現(xiàn)分離，再利用a,b,c互不相等，從最小正整數(shù)開始討論即可得出最小值