模塊二第一章空間幾何體

模塊二

第一章空間幾何體

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、識(shí)記柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單的組合體的結(jié)構(gòu)特征;能識(shí)別一個(gè)幾何體是由哪一些簡(jiǎn)單的幾何體組

合而成的。

2、能描述平形投影和中心投影，能用平形投影的方法畫空間圖形的三視圖與直觀圖。

3、能理解空間幾何體的三視圖，能畫出空間簡(jiǎn)單幾何體的三視圖;并能根據(jù)幾何體的三視圖想象立體

模型。

4、了解斜二測(cè)畫法，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出空間幾何體的直觀圖。

5、識(shí)記柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式，并能運(yùn)用公式求表面積和體積。

第一講空間幾何體

基礎(chǔ)知識(shí)

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各

面都是四邊形,并且每相鄰的兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體,

叫做棱柱。

（2）棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各

面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所

圍成的多面體叫做棱錐。

（3）棱臺(tái)：棱臺(tái)可以由棱錐截得，其方

法是用平行于棱錐底面的平面截棱錐,截面和

底面之間的部分叫棱臺(tái)。

2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體都可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到，畫出

旋轉(zhuǎn)出下列幾何體的平面圖形及轉(zhuǎn)軸：

3、空間幾何體的三視圖

（1）空間幾何體的三視圖，是用正投影得到，在這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與

平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。

（2）畫三視圖的基本要求是：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。

4、空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：

（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸和y'軸的夾角為45?；?35。，z'軸與x'

軸和y'所在的平面垂直。

（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段直觀圖中仍然平行，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中丕變,

平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中減半。

5、平行投影與中心投影

平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。

6、多面體的表面積

（1）圓柱的表面積：S=2%"+2〃，，（其中「為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）

（2）圓錐的表面積：S=++%〃，（其中r為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）_

2

（3）圓臺(tái)的表面積：S=7rr}+7rr^+7i{r}+r2）1,（其中小々為上、下底面半徑，/為母線長(zhǎng)）

（4）球的表面積：S=4%，，（其中r為球半徑）

7、幾何體的體積公式：

（1）柱體：V=sh,（其中S為底面積，h為高）

（2）錐體：V=-sh,（其中S為底面積，h為高）

3

（3）臺(tái)體：SSSh（其SpS2為上下底面面積，h為高）

V=1（I+2+A/^7）

（4）球體：丫=4萬(wàn)/,（其中1_為球半徑）

3

課前熱身

1、下列結(jié)論正確的是（D）

A、各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B、以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，

其余兩邊旋轉(zhuǎn)所形成的曲面所圍成的

幾何體叫圓錐

C、棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相

等，則該棱錐可能是六棱錐

D、圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)

的連線都是母線

2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

何體的體積等于也

3

俯視圖

3、如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD—A與GA中，用截面截下

一個(gè)棱錐C—4。烏，則棱錐C—4。烏的體積與剩余

部分的體積之比為1:5

4、如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該

幾何體的表面積。（其中NR4C=30°）

解：作CD_LA5于D,則8C=H,AC=G/?,CD=孚火

故所求表面積為：S=4TTR2+R（R+V37?）=11+—■7rR2

22

范例分析

例1下列命題中，不正確的是（C）

A、棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體是正方體

B、有兩個(gè)相鄰側(cè)面為矩形的棱柱為直棱柱

C、有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱

D、底面為平行四邊形的四棱柱叫平行六面體

變式訓(xùn)練

關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是（B）

A、棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B、棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

C、棱臺(tái)的上下底面是相似多邊形D、有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

點(diǎn)評(píng)：識(shí)記常見空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例2一個(gè)五面體的三視圖如下，主（正）視圖與側(cè)（左）視圖是等腰直角三角形俯視圖為直角梯形,

部分邊長(zhǎng)如圖所示，則此五面體的體積為，

主（正）視圖側(cè)（左）視圖正視圖

俯視圖

例2圖變式圖

變式訓(xùn)練

如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體

的表面積為（C）

A、6B、1273C、24D、32

點(diǎn)評(píng)：嚴(yán)格按排列規(guī)則放置三視圖，并用虛線畫出長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，對(duì)準(zhǔn)確把握幾何體很有利。

例3已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為那么□ABC的平面直觀圖口44G的面積為:g/

變式訓(xùn)練：用斜二測(cè)畫法得到一水平放置的三角形為直角三角形ABC,AC-

1,/ABC=30。，如圖示，則原圖的面積為J4

點(diǎn)評(píng)：

畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，認(rèn)真理解規(guī)則中的“斜”和“二

測(cè)”，把握好角度和長(zhǎng)度的變化。

例4一個(gè)多面體的三視圖如下，則此多面體的

外接球的表面積是（C）

A、3兀B、4yb兀

C、12"D、48萬(wàn)

變式訓(xùn)練：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱

垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面

上，且該六棱柱的高為百，底面周長(zhǎng)為3,那么這側(cè)視圖

個(gè)球的體積為主4〃

3

點(diǎn)評(píng)：涉及球與柱、錐的切接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心

2

及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸

為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元

素間的關(guān)系.

俯視圖

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓,則這個(gè)幾何體一定是（C)

A、圓柱B、圓錐C、球體D、圓柱、圓錐、球體的組合體

2、當(dāng)圓錐的側(cè)面積和底面積的比值是加時(shí),圓錐軸截面的頂角等于（C）

A、45°B、60°C、90°D、120°

3、如圖所示，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形得到一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原來(lái)圖形的形

狀是（A）

4、如圖所示由哪個(gè)平面圖旋轉(zhuǎn)得到的（A）

5,如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)幾何體的三視圖，甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)正確的是（A)

①長(zhǎng)方體②圓錐③三棱錐④圓柱

A、④③②B、①③②C、①②③D、④②③

6、底面半徑為2的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，那么截面圓的面積為7V。

7、把曲線y=兇和y=2圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)360。，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

3

8、用任意一個(gè)平面去截正方體，下列的平面圖形可能是截面的是①②③⑤⑥。

①正方形②長(zhǎng)方形③等邊三角形④直角三角形⑤菱形⑥六邊形

9、一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40cm,底面半徑為30cm的圓錐中，求正方體的棱長(zhǎng)。

解：如圖所示，過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,y

則。。=交乂A

23040/__\

解得：x=120（3-2&）正方體棱長(zhǎng)為120（3-2夜）cm/

io、一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示乙————?——I—

（1）請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積（2）證明：AOC

A。J■平面ABC

⑶若D是棱CG的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E,判斷DE是否平行于平面ABC一并證明你的結(jié)論。

6.A（A）

「L

』c（c,）L——\B（B,）

B（C）

B4正視圖4?側(cè);圖

A（C）4（G）

3

析：（1）幾何體的直觀圖如圖，丫=一

2

B'---------------------1月

（2）可證：4C_LA￡和A。，4G俯視圖

（3）可取BBi的中點(diǎn)F,證明面DEF〃面AB.C,

第二章空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解平面的概念和特性，能直接運(yùn)用三個(gè)公理解決一些簡(jiǎn)單的空間點(diǎn)、線、平面關(guān)系的問(wèn)題。

2、理解空間中直線與直線之間的三種位置關(guān)系，會(huì)判定的兩直線平行、垂直或異面，會(huì)求簡(jiǎn)單空間

圖形中兩條異面直線所成的角。

3、理解空間中直線與平面之間的三種位置關(guān)系。

4、能運(yùn)用直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，證明一些簡(jiǎn)單空間圖形中的線面平行問(wèn)題；

5、能運(yùn)用平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，證明一些簡(jiǎn)單空間圖形中的面面平行問(wèn)題。

6、能運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，證明一些簡(jiǎn)單空間圖形中的線面垂直問(wèn)題，會(huì)求

簡(jiǎn)單空間圖形中直線與平面所成的角；

7、能運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，證明一些簡(jiǎn)單空間圖形中的面面垂直問(wèn)題，會(huì)求

簡(jiǎn)單空間圖形中平面與平面所成的角。

第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1、平面的基本性質(zhì)

公理1：如果一條直線上的兩息在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

公理2：過(guò)不在一條直線的三點(diǎn)，有且只有一平面。

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

2、直線與直線的位置關(guān)系

（1）位置關(guān)系的分類：

士，.，、「相交直線同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

■、-1平行直線:同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)以人是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)。作直線口人把屋與//所成的銳角（或

直角），叫異面直線。、。所成的角（或夾角）。

②范圍：（o、g

3、直線和平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號(hào)表示auaa[\a-AaV\a

4、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

Z_/

兩平面平行沒有公共點(diǎn)

z/__/

有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)在

兩斜交ans=/一條直線上

平

面

相

有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一

垂直aA.(3

交條直線上

5、平行公理

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

6、定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

課前熱身

1、（教材改編題）有以下命題：

①經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

②經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

③經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面

④若平面a與平面夕相交，則它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)⑤兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面

其中真命題的個(gè)數(shù)為（C）

A、5個(gè)B、4個(gè)C、3個(gè)D、2個(gè)

2、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是（D）

A、異面B、平行C、相交D、以上都有可能

3、如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果它還原為正方體，那么下列結(jié)論不正確的是（B）

A、與EF異面

B、與CD異面

C、CDI/EF

D、"G與EF所成的角為60。

4、如圖所示，在正方體A3CO一—A4GA中，E、F分別是AB、

AD的

中點(diǎn)，則異面直線qC與EF所成角的大小為60。

范例分析

例1下列結(jié)論：（1）公理1可用集合符號(hào)敘述為：若

Ael,Bel,^AGa,Bea,則必有/ea;（2）四邊形的兩條對(duì)角線必相交于一點(diǎn)；（3）若

an￡=/Sua,cu￡Snc=A/ijAe/（4）梯形是平面圖形，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題是直接根據(jù)三個(gè)公理解題，能將符號(hào)語(yǔ)言翻譯成文字語(yǔ)言，意在讓學(xué)生“識(shí)記”公理及直

接應(yīng)用

例2如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、

匚小上CFCG2

CD上的點(diǎn)，且a==一

CBCD3

求證：三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)

證明：YE、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，

由中位線定理知：EH^-BDX—

2CBCD3

2

.?.在A8CD中,FGDBD,且FG=-8D

3

由公理4知：E”口FG,一旦EH<fG

J.四邊形EFGH是梯形，EH、FG為上、下兩底

兩腰EF、GH所在直線必相交于一點(diǎn)P

直線EF、EFu面ABC

.?.點(diǎn)P€面ABC,同理可得：PW平面ADC

.?.點(diǎn)P在平面ABC和平面ADC的交線上

又?.?平面ABC口平面ADC=AC

r.Pe直線AC

故EF、GH、AC三直線交于一點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題屬于“理解”層次，意在學(xué)生能利用有關(guān)結(jié)論判定空間兩直線的位置關(guān)系及點(diǎn)與平面的位

置關(guān)系。

例3分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（D）

A、一定平行B、一定相交C、一定異面D、相交或異面

點(diǎn)評(píng)：本題屬：“理解”層次，意在學(xué)生能將“文字語(yǔ)言”翻譯成“圖形語(yǔ)言”從而利用有關(guān)結(jié)論進(jìn)

行判定。

例4空間四邊形ABCD中，AB=CD,且AB與CD所成的角為30°,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求

EF與AB所成角的大小。*

解：取AC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG//\F

則EG□AB,FG□CO,且由A3=CD知：EG=FG

J.NGEF（或它的補(bǔ)角）為EF與AB所成的角，ZEGF（或它的補(bǔ)角）為AB與CD所成的角

???AB與CD所成的角為30°

/.ZEGF=30°或150

由EG=FG知\EFG為等腰三角形

當(dāng)NEGF=30°時(shí)，ZGEF=75°

當(dāng)NEGR=150°時(shí)，NGEF=15。

故EF與AB所成角的大小為15°或75°

點(diǎn)評(píng)：本題屬“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次，意在讓學(xué)生掌握求兩異直線所成角的步驟與方法，從而加深理解立

體幾何中的計(jì)算問(wèn)題貫徹一作二證三計(jì)算等步驟

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是（A）

A、直線在平面外B、直線在平面內(nèi)

C、直線上所有點(diǎn)都在平面外1）、直線與平面相交

2、直線a、b、c兩兩平行，但不共面，經(jīng)過(guò)其中兩條直線的平面的個(gè)數(shù)為（B）

A、1B、3C、6D、0

3、如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（B）

A、12對(duì)B、24對(duì)C、36對(duì)I）、48對(duì)

4、空間交于一點(diǎn)的四條直線最多可以確定平面（C）

A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)I）、12個(gè)

5、a、Z?是異面直線，au平面a,bu平面￡,111￡=?那么直線c（B）

A、同時(shí)與a、b相交B、至少和a、。中一條相交

C、至多與a、匕中一條相交D、與a、中一條相交，一條平行

6、如圖，三棱柱ABC-44G的側(cè)棱垂直底面，ZBCA=90°,點(diǎn)?！付謩e是片片,AG的中點(diǎn)，若

8C=C4=CG，則84與AF1所成的角的余弦值是（A）

7、長(zhǎng)方體A8CO——AAG2中，ZBAB=30°,則CQ與q8所成的角兒

是（A）

A、60°B、90°C、30°D、45°

8、若E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則A

四邊形EFGH是平行四邊形;若空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BC垂直,則EFGH

是矩形;若空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相等，則EFG1I是菱形。

9、如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形；，NBAD="18=90。BC^AD,B*FA,G、H

分別是FA、FD的中點(diǎn)

(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？

(1)證明：由已知FG=GA,FH=HD

/.GH-AD又BC-ADGHBC

~2~2

J.四邊形BCHG為平行四邊形

(2)解：C、D、E、F四點(diǎn)共面。證明如下:

由8段,G為FA的中點(diǎn)知：BEIIFG

-2=

/.四邊形BEFG為平行四邊形/.EF/JBG

由(1)知BG//C”，￡77//?！?\￡77與(^共面

又DeFH.?.(：、D、E、F四點(diǎn)共面。

10、如圖所示，正方體ABC。一一A4GA中.

(1)求AG與所成角的大小

(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求4G與EE所成角的大小

⑴解：連結(jié)

由已知A4&CG，???四邊形A4￡C為平行四邊形

:.ACH\C,于是/qCA是AG與所成的角

在中ACZB,CA=60°

故AG與4c所成的角為60。

(2)由己知=AF=FD:.EF//BD

由(i)知AC//AC.

又四邊形ABCD是正方形，AC_L8。

于是

.?.AC與所成為角為90。

第三講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

基礎(chǔ)知識(shí)

1、直線與平面平行

（1）定義：如果直線a與平面a無(wú)公共點(diǎn)，則直線a與平面a平行，記作a//a。

（2）判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

用符號(hào)表示為：aaa,bua旦aIlbna11a.

（3）性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行,

用符號(hào)表示為：a//a,au⑶an￡=/=>a/〃。

2、平面與平面平行的判定與性質(zhì)

（1）定義：如果平面夕與平面《無(wú)公共點(diǎn)，則平面a與平面￡平行，記作：a//￡。

［注］:兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面必平行，即“面〃面n線〃面”。

（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面壬紅，則這兩個(gè)平面平行。

用符號(hào)表示為：au/3,buB、aCb=P,alia,b//a=>a//￡。

（3）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

用符號(hào)表示為：a///3,aC\Y=a,/3C\y=b=>a//bo

［注］:線線平行，面面平行有傳遞性，而線面平行沒有傳遞性，如a//a,a//￡,得不到a//￡,同

時(shí)，a//a,b//a也得不到a//Z?。

課前熱身

1、（教材改編題）如圖，正方體極力一44。4中，E為D0的

中點(diǎn)，則下列直線中與平面AEC平行的是（D）

A、BB}B、GAc、4GD、BD］

2、已知a,〃是兩條不重合的直線，a是一個(gè)平面，有以下四個(gè)命題:

①W/〃,〃ua=>cz//a；②?！╝,Z?ua=>a//Z?；

③alla,blla=allb；@a//b,a//a,b（^a^h//a,其中真命題的個(gè)數(shù)是（A）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

3、若直線。不平行于平面a,則下列結(jié)論成立的是（D）

A、。內(nèi)的所有直線都與直線。異面B、。內(nèi)不存在與直線。平行的直線

c、a內(nèi)的直線都與。相交D、直線a與平面a有公共點(diǎn)

4、已知正方體ABCD-A4GA，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是①②④（只填序號(hào)）

①曲//80；②平面的4〃平面③ADJIDQ；④物〃平面BOQ

范例分析

例1如圖，矩形ABCD和梯形龐KC有公共邊3C,BE//CF,ZBCF=^,

求證：AE7/平面QGF。

證明：過(guò)E點(diǎn)作上右，。?7交CF于G,連結(jié)QG

又NBb=9(f.?.四邊形BCGE是矩形

又4BCD是矩形，...4^￡G

于是四邊形4DGE是平行四邊形

&AE//DG又AEQ平面ZXF,QGu平面QCF

「.A￡//平面QC77

點(diǎn)評(píng)：此題是線面平行的判定定理的直接應(yīng)用，意在讓學(xué)生熟練線面平行的判定定理。

例2如圖所示，正三棱柱4BC—A4G，各棱長(zhǎng)均為4EEG,//分別是他AC,aq,44的中

點(diǎn)，求證：平面4及7/平面5cs。

證明：AASC中，AE=EB,AF=FC

:.EFHBC

又EFU平面BCGH,BCu平面BOGH

:.EF〃平面BCGH

又AG=GC[,AF=&,..A.GIJFC

四邊形AKCG為平行四邊形:AFUGC

又?「AF'Z平面第GCu平面3Q筑

平面HOT又?:AFCEF=F

平面〃平面3Q五/

點(diǎn)評(píng)：此題是面面平行的判定定理的直接應(yīng)用，意在讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明面面平行，弄清楚要證面面平行,

先證明線面平行。

例3如圖，在四面體ABC。中，截面砒才/平行于對(duì)棱48和CD,試問(wèn)截面在什么位置其截面

面積最大？

解：:AB〃平面￡?（汨

且平面上RGH「|平面ABC=KG平面EFGHC面ABD=EH

:.AB//FG,AB//EH:.FG//EH

同理可證：EFHGH...截面砒汨是平行四邊形

設(shè)AB=a,CD=b,ZFGH=a（a即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角）

xCGyBG

又設(shè)FG=x,GH=y則由平面幾何知識(shí)得：--廠而

%V1b,、

兩式相加得：一+：=1即'=_（［一%）

aba

ee——.b,、.hsina/、

/.5uEFGH=FGGHsincr=x—(a-x)-sin<7=------x-(a-x)

aa

又%>0。一%>0且x+（a-x）=a為定值

aOsina,、absina

.?.當(dāng)且僅當(dāng)x=a—x即％=二時(shí)，------x(a-x)=--—取最大值。

2a4

即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)￡F,G,H分別為棱AD,AC,BC,8D的中點(diǎn)時(shí)，截面積最大。

點(diǎn)評(píng)：本題是利用線面平行的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)由線面平行到線線平行的轉(zhuǎn)化，旨在培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力。

例4如圖，。力是異面直線，A、C與反。分別是“。上的兩點(diǎn)，直線。//平面二，直線6〃平面

a,ABV\a=M,CD^\a=N,若AM=BM,求證：CN=DN。

證明：連結(jié)AD交平面a于七點(diǎn)

:b//a,MEu面ABD,平面ap|面陽(yáng)P=ME

.'.ME//BD又?.?在AABD中，AM=BM

:.AE=ED,即石為AD的中點(diǎn)

又。〃a,￡Nu面ACD,平面an面ACD=RV

.'.EN//AC,又￡為4）的中點(diǎn)

，N必是CD的中點(diǎn):.CN=DN

點(diǎn)評(píng)：本題是利用面面平行，來(lái)證線線平行，并且添加了適當(dāng)?shù)木€。意在靈活運(yùn)用性質(zhì)定理。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、若la,則。與a的關(guān)系是（D）

A、相交B、平行c、auaD、alla或aua

2、直線。，〃都平行于平面a,則為〃的位置關(guān)系是（D）

A、平行B、相交C、異面D、以上均有可能

3、己知平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與平面，平行，那么（D）

A、B、a與，相交

c、a與力重合D、a〃尸或a與，相交

4、已知加，”為異面直線，相〃平面a,〃〃平面aC\/3=l,則/（B）

A、與周〃都相交B、與初;〃中至少有一條相交

c、與小〃都不相交D、與中一條相交

5、已知all/3,aua,Be/3,則在月內(nèi)過(guò)點(diǎn)8的所有直線中（D）

A、不一定存在與〃平行的直線

B、只有兩條與。平行的直線

c、存在無(wú)數(shù)條與“平行的直線

D、存在唯一一條與。平行的直線

6、已知/是過(guò)正方體ABC。一A4GA的頂點(diǎn)的平面做4與下底面ABCD所在平面的交線，下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（D）

A、44〃/B、即〃平面的4

c、〃/平面A44D、

7、已知直線“人和平面0夕，則在下列命題中：①若。//以a//￡,貝Ija〃a；②若a//以c/ua,

則。//?、廴鬭lIB，aua,buB，則?！?。；④若。//以R/a,a〃夕，則a//b,其中假命題為工

③④（只填序號(hào)）

8、正方體ABCD-A4Gq中，棱長(zhǎng)為a，E為A4中點(diǎn)，過(guò)E，G，C作一截面，則截面面積為

V5，

一?o

2

9、如圖所示，在三棱柱4BC-44G中，。為棱AB的中點(diǎn)，求證：AG〃平面。啰。

證明：連結(jié)明，交4c于點(diǎn)E,連結(jié)QE,則困與4c互相平分

:.BE=QE,又BD=AD

.?.。足是乂明的中位線，/.46；//￡氏

又QEu平面。啰，平面C啰

.'.AQ〃平面CDBJ

10、如圖，在正方體ASCD-A4Gq中，。為底面A8CD的中心，P是的中點(diǎn)，設(shè)。是。G

上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí)，平面4伏2〃平面Q4O?

解：當(dāng)。為eq的中點(diǎn)時(shí)，平面平面Q4。，證明如下:

??.Q為eg的中點(diǎn)，尸為皿的中點(diǎn)

面必O,B4u面B40..?沙〃面440

?;PQ分別為DD、,DB的中點(diǎn)，：.D、B〃P0

又?「ABcZ平面E40,POu面而0,〃平面440

又?.?ABC?"u平面43

平面平面

DXBQ//PAO

第四講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

基礎(chǔ)知識(shí)

1、直線與平面垂直

（1）定義：如果直線/與平面a內(nèi)的每一條直線都垂直，就說(shuō)直線/與平面a垂直，記作/

［注］:若已知/_La,貝I/垂直于平面a內(nèi)的所有直線，即''線，面芻義線，線”

（2）判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

用符號(hào)表示為：lLj,lLb,aua,bua,aC\b=A=>lA.a

（3）性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線平行

用符號(hào)表示為：ala,hla^a//h

2、直線與平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳魚，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

規(guī)定：當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角是直角01/

當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角是0P的角。/

如圖，440就是斜線AP與平面a所成的角。/J|0/

（2）線面角。的范圍：［N,900］夕------U

3、平面與平面垂直/1

（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，兩

個(gè)半平面叫做二面角的面。

如圖（1），記作：二面角a一/一夕或二面角1一48一,或二面角尸一43一。

（2）二面角的平面角

如圖（2）,二面角。一/一，

若有（i）OEI

（ii）OAu?OBu0

（iii）OAU,OBU,則NAOB就叫做二面角二一/一夕的平面角。

［注］:

①二面角的平面角的定義可歸納為：“棱上取點(diǎn)，面內(nèi)作線，線棱垂直，線線成角”；

②二面角的大小可以用它的平面角來(lái)衡量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度;

③平面角是直角的二面角叫直二面角。

（3）平面與平面垂直

①定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直；

②畫法:

記作：aV（3

③面面垂直的判定定理

若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直

符號(hào)表示

④面面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直

符號(hào)表示：cd_￡,ain夕=/,auQiJJ=>[_!_￡

［注］:兩個(gè)平面Q夕都垂直于平面八則a與,可能平行也可能相交，若an〃=/,則/_Lr。

課前熱身

1、（教材改編題）在三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,則下列結(jié)論

一定成立的是（c）

A、VALBCB、ABLVCc、VB1ACD、VA1VB

2、（教材改編題）如圖，45是口。的直徑，Q4垂直于口。所在的平面，C是圓周上不同于AB的

角C-BD-A的余弦值的大小為：（A）

11

A'3B'6

11

c'9D'n

范例分析

例1如圖，已知以垂直于矩形板D所在的平面，分別是48,PC的中點(diǎn)，若4YM=45°,

求證：平面PCD。

證明：如圖，取ED的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,NE

.；E,N分別為PD,PC的中點(diǎn)、，：.NE旦二CD

~2

又M為A8的中點(diǎn).,.AM//-CD,.,.NE//MA

=2=

四邊形AA頌為平行四邊形，.?.腸V//AE

又平面MCD404=45°

.?.AfiM)為等腰直角三角形，.?.?!￡：，/￥)

...CD_L平面加＞,而AEu面加＞,...CD1_AE

又CDCPD=D-.AE，平面汽力

...MV_L平面PCD

點(diǎn)評(píng)：本題直接用線面垂直的判定定理來(lái)證明，旨在讓學(xué)生熟練線面垂直的判定。

例2如圖，在矩形中，AB=3\H,BC=3,沿對(duì)角線比)把MCD折起，使C移到C',且C

在平面ABD內(nèi)的射影。恰好落在AB±.

(1)求證：AD1BC；

(2)求證：平面QBC_L平面4DC'

證明：(1)由題意知：COJ■平面AKD

Ou平面ABC'平面ABC'，平面A8Z)

又?.?ADJLAB,平面ABC,n平面ABD=AB

平面期C,.?.M_L8C

（2）?/BC'±CD,BC'1AD,CDC\AD=D

.?.BC_L平面ADC',又BCu面DBC,

平面Q8C'_L平面ADC'

點(diǎn)評(píng)：本題是面面垂直的判定與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，旨在讓學(xué)生理解線面垂直與面面垂直的轉(zhuǎn)化。

例3在三棱錐P-A3C中，PC,AC,BC兩兩垂直，8C=&=1,AC=2,求二面角3—4P—C的

正切值。

解：過(guò)C作CH_LAP交AP于點(diǎn)”，連結(jié)BH

,/PC,AC,8C兩兩垂直3C_L平面PAC

于是又CHCBC=C

.?.出_1平面比“，.?.44_1陽(yáng)

NCHB是二面角3—"一。的平面角

ePCAC2A/5

在3C中，苗二—丁

BC45

在母帖HC中,ianZBHC=--=—

C/i2

故二面角B—AP—C的正切值為g

點(diǎn)評(píng)：本題是利用定義來(lái)作出二面角的平面角，然后再解直角三角形，皆在讓學(xué)生熟練求二面角的平

面角的步驟。

例4如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-44GA中，AB=8C=2,A4]=1,求與平面所

成角的正弦值

解：連結(jié)4G交片。于點(diǎn)0,連結(jié)B0

?.?長(zhǎng)方體A8CO——44GA中，A8=BC=2

A4=BC=2,于是四邊形A4G2為正方形

4G±BIDI

又_L平面A4GA，ACtu平面A4GA

4G_LBB],又BQn“=4

4G，平面BBQQ

于是8。是BQ在平面BBQQ中的射影

NOBG為BC}與平面所成的角

在RtQ8￡0中，BC}=45,CtO=42

/.sin

故BG與平面8片。。所成角的正弦值為半

點(diǎn)評(píng)：本題屬“簡(jiǎn)單應(yīng)用”層次。求直線和平面所成的角關(guān)鍵是找直線與平面所成的角，而找直線和

平面所成的角的關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、直線/與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線/與平面。的位置關(guān)系是（D）

A、平行B、垂直C、在平面a內(nèi)D、無(wú)法確定

2、過(guò)平面外的一條直線且與這個(gè)平面垂直的平面有（D）

A、一個(gè)B、無(wú)數(shù)個(gè)C、不存在D、一個(gè)或無(wú)個(gè)

3、下列結(jié)論：①allb,a工anbla?，②a工a,b工a=a〃b

③。_!_/?=>〃//a④a//a,Q_LZ?=>〃_La,其中正確的結(jié)論是（A）

A、①②B、①②③C、②③④D、①②④

4、已知直線。，平面a,根表示直線，夕表示平面，有以下四個(gè)結(jié)論

①②a/hn,muBna工B③m//anaLm④若，與o相交，則/?必與

a相交，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（C）

A、4B、3C、2D、1/A

5、如圖，R/Q48C的斜邊BC在平面a內(nèi)，兩直角邊AB,AC與平面a所/

成的角分別為30。，45。，則平面ABC與平面a所面的銳二面角的大小為（C）/―7

A、30°B、45°C、60°D、90°//

6、三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=BC,N8AC=90°,則直線PA與底面ABCiSL________Q./

所成的角為（D）

A、90°B、45°C>30°D、60°

7、已知平面a,￡和直線m,給出條件①〃?//a②加_La③加ua④a_L￡⑤a//￡

(1)當(dāng)滿足條件③⑤時(shí),有機(jī)//￡

(2)當(dāng)滿足條件②⑤時(shí),有機(jī)，夕

8、四面體的所有棱長(zhǎng)都相等，頂點(diǎn)到底面的距離為〃，側(cè)面與底面所成的二面角為60。則此四面體

的全面積為36萬(wàn)，體積為二

-----3

9、如圖，在三棱錐S—ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為缶的正三角形，S4=SC=a,D為AC的中點(diǎn)

(1)求證：ACJ?平面SBD(2)若二面角S—AC—B為直二面角，求三棱錐S—ABC的體積

證明：(1):口ABC為正三角形，D為AC的中點(diǎn)

/.BD1.AC

又在DSAC中，SA=SC,.-.SD1AC

又SDRBD=D,SD,BDu平面SB。

/.AC_L平面ABC

(2)?.?二面角S—AC-B為直二面角，.?.面S4c_LtMA6C

又SD1AC,:.SD14畫鉆。

在SA=SC=a,AC=6a

SD=a

2

23

匕-ABC=1SMBC.SO=；x曰x(y[2d)義今a=^a

10、(2009年湖南水平考試題改編)

如圖所示，已知平面BCD,M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，BC1CD

⑴求證：MNJ_平面ABC

(2)若AB=T,BC=^,求直線AC與平面BCD所成的角

解(1);M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，.?.A/M/CD

又AB_L平面BCD,.\AB1CD,又BC，C￡>AB[\BC=B

.?.CD_L平面ABC于是用呼上面人臺(tái)。

(2).?.鉆_1面區(qū)》,8C是AC在平面8c的射影

ZACB為直線AC與平面BCD所成的角

在R/OABB，AB=1,BC=6,tanZACB=—■=—

BC3

.-.ZACB=3O°

故直線AC與平面BCD所成的角為30°

第三章直線與方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)