畢業(yè)論文矩陣初等變換的若干應(yīng)用

PAGESomeapplicationsofelementarytransformationofmatrix專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者:指導(dǎo)老師:學(xué)校二○一PAGE第1頁,共11頁摘要本文介紹了矩陣初等變換在高等代數(shù)中的一些應(yīng)用,總結(jié)了其在求矩陣和向量組的秩、求逆矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、求解矩陣方程以及求一元多項式最大公因式中的應(yīng)用.關(guān)鍵字:初等變換;秩;逆矩陣;標(biāo)準(zhǔn)形;矩陣方程;最大公因式0引言矩陣?yán)碚撌谴鷶?shù)的主要內(nèi)容之一,在數(shù)學(xué)及其它科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.在矩陣的應(yīng)用中,矩陣的初等變換起著關(guān)鍵作用.關(guān)于矩陣初等變換的應(yīng)用,前人已經(jīng)得出了很多有價值的結(jié)論,本文在前人理論的基礎(chǔ)上對矩陣的初等變換在代數(shù)中的若干應(yīng)用進行了一些討論.歸納了初等變換在求矩陣和向量組的秩,矩陣的逆,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,線性矩陣方程的解以及求一元多項式的最大公因式等方面的應(yīng)用.1矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念我們先來看看有關(guān)矩陣初等變換和初等矩陣的相關(guān)知識:(1)對矩陣施以以下三種變換,稱為矩陣的初等變換:(i)交換矩陣的兩行(列);(ii)以一個非零數(shù)乘矩陣的某行(列);(iii)矩陣的某行(列)加上另一行(列)的倍.(2)矩陣的初等變換用如下形式表示:(i)交換矩陣的第行(列)與第行(列):或;(ii)非零常數(shù)乘矩陣的第行(列):或;(iii)矩陣的第行(列)加上第行(列)的倍:或.(3)初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣,共3類:(i)——交換的第行與第行(或第列與第列)得到的初等矩陣;(ii)（或）——用數(shù)域中的非零數(shù)乘的第行(或第列)得到的初等矩陣;(iii)——把的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩陣.2用初等變換求矩陣和向量組的秩由于初等變換不改變矩陣的秩,且任意一個矩陣均可以經(jīng)過一系列行初等變換化為梯形矩陣;因此,我們要確定一個矩陣的秩,首先要用行初等變換將其化為梯形矩陣,然后再由梯形矩陣的秩確定原矩陣的秩.例1設(shè),求矩陣的秩.解因此矩陣的秩為3.如果我們要求向量組的秩,可以把每一向量作為矩陣的一行,從而向量組就轉(zhuǎn)化為了一個矩陣,使求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩,自然使問題簡單化了.例2求向量組,,,,的秩.解以為列,構(gòu)造矩陣,再對進行行初等變換,化為梯形矩陣:因此,矩陣的秩是4,從而向量組的秩也是4.3用初等變換法求逆矩陣如果是階可逆矩陣,我們將與并排放到一起,形成一個的矩陣,因為,所以對矩陣作一系列行初等變換,將其左半部分化為單位矩陣,這時右半部分就是.例3設(shè)，求.解.因此,.同理,如果是階可逆矩陣,我們將與并列放到一起,形成一個的矩陣,因為,所以對矩陣作一系列列初等變換,將其上半部分化為單位矩陣,這時下半部分就是.用初等變換法求逆矩陣是一種通用而較簡便的方法.正確地選擇和使用它們能更快更好地解決各類求逆矩陣問題.4用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形,即為對稱矩陣找一個可逆矩陣,使得為對角矩陣,而可逆矩陣可以寫成若干個初等矩陣的乘積,所以存在初等矩陣有，從而有是一個對角矩陣.由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下:首先,寫出二次型的矩陣,構(gòu)造矩陣,然后對矩陣每進行一次行初等變換后,就對進行一次同樣的列初等變換,當(dāng)矩陣化為對角矩陣時,單位矩陣將化為可逆矩陣,此時,最后得到可逆矩陣和非退化線性變換,在這個變換下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.例4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的非退化線性替換.解題中二次型的矩陣為,由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟可知:=,從而非退化線性替換為,原二次型化為.在運用矩陣初等變換來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵:對矩陣進行的行初等變換和列初等變換必須是一致的.5用初等變換求解矩陣方程5.1當(dāng),可逆時線性矩陣方程的解我們知道的解為.實際上就是計算形如的矩陣乘積,因為,所以經(jīng)過行初等變換可使化為,也即對矩陣作初等行變換,當(dāng)處變成單位矩陣時,處得到的矩陣就是.例5求解矩陣方程,其中，.解,因此.5.2當(dāng),不可逆時線性矩陣方程的解當(dāng),不可逆時我們將要用到新的初等變換法來解這種矩陣方程.定理5.2.1如果矩陣方程有解,且可逆矩陣使,那么該矩陣方程的通解為,其中為的前行組成的矩陣,中的元素可以任意取值.（證明見參考文獻[5]）以上定理可給出求解矩陣方程的具體方法:（1）把,,放到一起,組成一個矩陣,然后對其做初等行變換,使得經(jīng)過行變換后得到矩陣,其中是上階三角矩陣,從而可確定矩陣和矩陣的秩,判斷方程是否有解,同時取的前面行作成,它滿足,且為的前行.（2）如果上述方程有解,則對作初等列變換.經(jīng)過列變換后變成其中,必有.（3）從而由定理5.2.1可知，的通解公式為.例6設(shè),,求矩陣方程的通解.解根據(jù)求解矩陣方程的步驟,首先將放到一起,組成一個矩陣,如下:,然后對其作一系列初等行變換,使得為上三角矩陣,即.很明顯,矩陣和矩陣的秩都是2,故該方程有解.取=,有=,接下來對作初等列變換,經(jīng)過列變換后我們可得到.從而,由定理5.2.1知,該方程的通解為,其中是任意的矩陣.矩陣方程的通解公式和解法與上面類似（詳見參考文獻[2]或[5]）,應(yīng)用矩陣的初等變換來求解矩陣方程具有很大優(yōu)點,不但通俗易懂,而且容易掌握.6用初等變換討論一元多項式最大公因式的求法求一元多項式最大公因式的方法,目前最常用的方法是輾轉(zhuǎn)相除法和因式分解法.下面給出用矩陣及其初等變換來求一元多項式的最大公因式,而且方便快捷.定理6.1設(shè),令,則對實施一系列初等列變換后得,此時,且是與的最大公因式.證明若不全為零,則必有一個次數(shù)相對較低的多項式,不妨設(shè)為,對進行初等列變換,第一列乘以一個適當(dāng)?shù)亩囗検郊拥降诙猩?消去的最高項,由于的次數(shù)有限,重復(fù)上述過程,必然出現(xiàn)矩陣中第一行只有一個非零元,而其它均為零的情形,即.以上對所實施的變換,即存在初等矩陣,使得.因而,,,即.設(shè)矩陣的逆矩陣為,顯然也是初等矩陣,由于.因而,即,于是,,從而是與的公因式,從而可知:是與的最大公因式.例7求,,其中,.解因為,所以,且同時還滿足.上述方法可靈活運用,不一定必須用次數(shù)最低的多項式去消其它多項式.也可以用次數(shù)較高的多項式去消次數(shù)更高的多項式,以達到逐漸消去各多項式最高項,使第一行只剩下一個非零元素的目的.以上方法只討論了列的情形,行的情形與列相同,此時,行初等變換的結(jié)果是第一列只剩下一個非零元素,該元素即為多項式的最大公因式（詳見參考文獻[2]）.對于求兩個多項式的最大公因式,輾轉(zhuǎn)相除法是一種比較好的方法,但對于求多個多項式的最大公因式,輾轉(zhuǎn)相除法在理論上可行,在實際操作中卻是非常繁瑣的.本文介紹的方法,對求多個多項式的最大公因式是一種行之有效的方法.致謝本文是在的指導(dǎo)和幫助下完成的,在此對汪教授表示衷心的感謝!參考文獻[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]王文省,姚忠平.初等變換的思想方法在高等代數(shù)中的應(yīng)用[J].聊城師范學(xué)報(自然科學(xué)版)2003,13(3).[3]樊惲,錢吉林等.代數(shù)學(xué)詞典[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,1994.[4]錢吉林.線性代數(shù)概論[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2000.[5]林亨成,陳群.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的一些應(yīng)用[J].成都教育學(xué)院學(xué)報,2006,91–92.[6]戴天時,陳殿友.大學(xué)數(shù)學(xué)?線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2004.[7]趙樹嫄.線性代數(shù)(3版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2005.061.[8]Bebiano,NewdevelopmentsbontheMarcus-OliveiraconjectureN.LinearAlgebraApplic,(1994)197-19