完整版lambert問題一般解法

Lambert問題基本解法引言Lambert問題是航天動力學中經(jīng)典的兩點邊界值問題,在空間交會、星際航行等領(lǐng)域中有廣泛的應用。Lambert問題可以表述為給定空間中的兩個位置P1和P2(對應的矢量分別為1和2)以及飛行時間(tf)和飛行方向(順時針或逆時針)，要求飛行器由位置P1經(jīng)過時間tf飛行到位置P2的開普勒軌道。目前，解決lambert問題已經(jīng)有相當成熟的理論和方法。本文將闡述lambert問題的一般解法，并用Battin方法分析多圈lambert軌道問題。Lambert問題的一般解法解決lambert問題有很多方法，比較常用的有l(wèi)ambert-euler方法、Gauss方法、以及匕@e壯方法。以上方法都是以lambert定理為基礎的解法，lambert定理可以表述為：在kepler軌道上運行一段弧線所需要的時間”只取決于三個量：軌道半長軸a,弧起點和終點到引力中心的距離之和行1+=2),以及連接弧起點和終點的弦長c。即：tf=(a,r1+r2，c)下面將給出匕@廿m方法求解lambert問題的計算步驟和公式：1)求起點和終點的矢徑夾角eacos（h2；%2。2）2r1r2其中：4=r1；r=r2;c=r1 r2112 2 12

區(qū)江義月，當R⑶<0；=2n-e0；當區(qū)江義月，當R⑶<0；其中:S=rir2c23)求lagrange參數(shù)和lagrange轉(zhuǎn)移時間方程lagrange參數(shù)其中:S=rir2c23)求lagrange參數(shù)和lagrange轉(zhuǎn)移時間方程lagrange參數(shù)a,P可以表示為s-ca—arccos(x),B0=2acrsin/——s-ca—arccosh(x),B=2acrsinh0 -2a橢圓雙曲線對于B,當e>兀，B=-B0；當e<兀，B=8。。其中：a為半長軸；x定義為x2=l-am，可以分析得到a>ama=8“a<0橢圓拋物線雙曲線lagrange轉(zhuǎn)移時間方程表示為a3 ..tf—J_2nN(a—sin(a))—(B—sin(B))橢圓/(一a)3,t=J (sinh(a)-a)-(sinh(B)-B)雙曲線1fYu由于r r和二可以用匕，J表示，這樣，lagrange轉(zhuǎn)移時間方程-1- 乙 -1- 乙就轉(zhuǎn)化為tf=/(x,不丹)。下圖為給定T，F(xiàn)后，“tf=/(x)與~tf=￡ 乙 乙 ￡ ￡/(a)的對比圖:圖1飛行圈數(shù)N=0,tf=/(x)(左)與tf=/(a)(右)的對比圖x-1 -0.8-0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20a圖2飛行數(shù)N=1,tf=/(x)(左)與tf=/(a)(右)的對比圖說明:.半長軸a單位是1AU,時間t單位是1TU/2"。(AU,TU為天文單位).從圖1tf=/a)與tf=/(a)的對比中，我們可以看出：對于N=0時，以x為變量能夠應有無奇點全局收斂性；而以a為變量則存在a=0的奇異點。.從圖2tf=/(x)與tf=/(a)的對比中我們可以看出：對于N>0時,對于給定的tf會存在兩個x或a與之對應。并且對于x<0，隨著x的減小，tf會增加；而對于x>0，tf會先減小后增加。.比較圖1和圖2,對于指定飛行圈數(shù)的lambert問題，當N=0時，存在唯一的x與tf對應；當N>0時，存在兩個的x與tf對應。.下面分析N>0時，x與tf對應關(guān)系：tf>tm時，存在兩個x與之對應，一個大于零，一個小于零。tmin<tf<tm時，存在兩個x與之對應，兩個都大于零。tf=tmin時，存在一個x與之對應。tf<tmin時，不存在x與之對應。

tf<tmin時，不存在x與之對應。4）求起點和終點的速度「2入a—m—（九+X「2入a—m—（九+X"）r12Xa erm+（＞+x"）+cos（2）r1i+vrr2工sin（2）i_riivr［e）

r;sin（2）ivtj其中:"二、"二計算實例'"二、"二計算實例'fam__a_sinh2（上學am入=F：s（2）入二廣:。s（2）橢圓雙曲線1.由軌道［100000］到［1.500002兀/3］和［1.500004兀/3］經(jīng)過時間tf=1：6的飛行軌道。-3x1083210-1-2-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -3x1083210-1-2-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5Xx108-2.5圖3N=0飛行軌道圖表1起點和終點的速度（V1和V2）N=0tf=1tf=2tf=3tf=4tf=5tf=6[1.5V1[-39.2864[-7.5725[4.0733[10.2746[14.1788[16.88660(km/s)51.367336.700032.294730.173828.917728.081800]0]0]0]0]0]0V2[-54.2429[-28.5064[-19.7163[-15.1870[-12.3889[-10.47190(km/s)25.46180.4413-8.9100-13.9271-17.0988-19.30452兀/3]0]0]0]0]0]0][1.5V1[-66.1614[-29.0626[-16.4928[-10.0342[-6.0486[-3.31960(km/s)17.200324.666728.201630.253131.602232.563100]0]0]0]0]0]0V2[-21.4950[2.0836[10.7495[15.3606[18.2622[20.27390km/s)-60.1642-29.2801-18.9835-13.7321-10.5053-8.30204兀/3]0]0]0]0]0]0]x10圖4N=1飛行軌道圖表2目標軌道為［1.500002兀/3］時起點和終點的速度N=1tf=12tf=13tf=14tf=15tf=16tf=17[1.5V1[2.5296[-0.0559[-1.6034[-2.7265[-3.6052[-4.32230(km/s)32.846833.793434.373034.799835.137235.415000]0]0]0]0]0]002兀/3]V2km/s)[-20.8600-7.66520][-22.7904-5.58380][-23.9545-4.34020][-24.8035-3.43870][-25.4702-2.73400][-26.0158-2.15930]問題總結(jié):對于飛行圈數(shù)N>0的情況會得到兩組計算結(jié)果，究竟哪一個所需要的轉(zhuǎn)移能量最小只能把兩個結(jié)果求出來比較得到。不過，當起點和終點矢徑夾角小于汽時，x>0情況下會得到較小偏心率的解；夾角大于汽，情況正好相反。一般情況下，對于初始軌道偏心率不大的情況下偏心率較小結(jié)果所對應的x所需要的轉(zhuǎn)移能量較小。參考文獻：RichardH.Battin,Ph.D.AnIntroductiontoThemathematicsandmethodsofastrodynamics.AIAAEdu