高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總復(fù)習(xí)題

高等數(shù)學(xué)（上）總復(fù)習(xí)數(shù)高上習(xí)題課安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第一章函數(shù)與極限第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二章導(dǎo)數(shù)與微分第五章定積分第四章不定積分第六章定積分的應(yīng)用⑴利用微分中值定理⑵利用函數(shù)的單調(diào)性3.1、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章基本要求⑶利用函數(shù)的極值與最值⑷利用圖形的凹凸性⑴基本定理⑵有關(guān)命題的證法3.2、微分中值定理⑴中值定理⑵證題技巧分析3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5、證明不等式3.4、解函數(shù)方程⑴單調(diào)性的判定⑵函數(shù)極值與最值⑶凹凸性與拐點(diǎn)⑷函數(shù)作圖⑸弧微分曲率曲率圓⑴利用函數(shù)表示與字母無關(guān)⑵利用極限⑶利用導(dǎo)數(shù)的定義⑷利用變上限積分的可導(dǎo)性⑸利用連函可積與原函連續(xù)第三章基本要求Back3、理解函數(shù)的極值概念，并掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。4、會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性；會(huì)求拐點(diǎn)；會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)；會(huì)求最值應(yīng)用問題。5、熟練使用洛必達(dá)(LHospital)法則求幾類不定式的極限(已放到第一章)。6、了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。1、理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。2、了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。7、了解方程近似解的二分法和切線法。3.1、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)⑴基本定理定理1(有界性定理)f(x)在[a,b]上連續(xù),則$M>0,對(duì)"x?[a,b]，恒有|f(x)|≤M.定理3(介值定理)f(x)在[a,b]上連續(xù),且m≤f(x)≤M,對(duì)"?[m,M],則$x?[a,b],

使得f(x)=,a≤x≤b.定理4(根的存在定理或零點(diǎn)定理)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(a)<0,則$x?(a,b),

使得f(x)=0,a<x<b.定理2(最值定理)f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上至少取得最大值與最小值各一次，即$x,h使得3.1、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)⑵有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證法解題提示命題的證明有兩種方法：①直接法：先利用最值定理，再利用介值定理；②輔助函數(shù)法：先構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),再驗(yàn)證F(x)滿足零點(diǎn)定理的條件,最后由零點(diǎn)定理得出命題的證明。輔助F(x)作法：a)把結(jié)論中的x或x0改成x;

b)移項(xiàng),使等式右端為0，左端即F(x).證由零點(diǎn)定理,例13.1、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)證明：例2由介值定理,Back3.2、微分中值定理⑴中值定理②Rolle定理

條件：①f(x)∈C[a,b],②在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),③f(a)=f(b);結(jié)論：至少有一點(diǎn)x∈(a,b),使得①費(fèi)馬定理設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義,且在x0處可導(dǎo),若對(duì)"x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),則f'(x0)=0.

閉連開導(dǎo),端值相等;內(nèi)必有點(diǎn),切線水平.

③Lag-定理?xiàng)l件：①f(x)∈C[a,b],②在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);結(jié)論：至少ョ一點(diǎn)x∈(a,b),使f(b)-f(a)=f'(x)(b-a).

閉連開導(dǎo),端值不等;內(nèi)有點(diǎn)切線與弦平行.

④Cauchy定理

條件:①f(x)、F(x)∈C[a,b];②f(x)、F(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

③F'(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)均不為零。結(jié)論:至少存在一點(diǎn)x∈(a,b),使得3.2、微分中值定理⑤Taylor定理設(shè)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),則對(duì)任一x∈(a,b),有常用麥克勞林公式⑵證題技巧分析3.2、微分中值定理①欲證命題結(jié)論:至少存在一點(diǎn)x?(a,b),

使得f(n)(x)=0解題提示此類命題的證法有三條思路：①驗(yàn)證f(n-1)(x)在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，可證之；②驗(yàn)證x為f(n)(x)的最值或極值，用費(fèi)馬定理可證之；③個(gè)別命題可用泰勒公式證明。證例33.2、微分中值定理證例43.2、微分中值定理②欲證結(jié)論:至少$一點(diǎn)x?(a,b),

使得f(n)(x)=k及其代數(shù)式證題程序a)構(gòu)造輔助函數(shù)F(x);b)驗(yàn)證F(x)滿足羅爾定理?xiàng)l件;c)由定理結(jié)論即得命題的證明。輔助函數(shù)F(x)作法(一)：原函數(shù)法a)把結(jié)論中的x或x0換成x;b)通過恒等變形將結(jié)論化成易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)形式;c)用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡(jiǎn)便取C=0;d)移項(xiàng),使等式右端為0，左端即F(x).3.2、微分中值定理例5分析證由零點(diǎn)定理,3.2、微分中值定理例6分析證3.2、微分中值定理輔助函數(shù)F(x)作法(二)：常數(shù)k值法(適于常數(shù)已分離)a)令常數(shù)部分為k;b)恒等變形,使a及f(a)在等式一端,b及f(b)在另一端;c)分析端點(diǎn)表達(dá)式是否為對(duì)稱或輪換對(duì)稱,若是,把a(bǔ)及f(a)改成x及f(x)，變換后的表達(dá)式即為F(x).例7分析3.2、微分中值定理Back證例83.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑴單調(diào)性的判定定理注意(a,b)內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響函數(shù)的單調(diào)性。例9解3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例10解⑵函數(shù)極值與最值極大值與極小值統(tǒng)稱極值,使f(x)取極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).①定義3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用③定理(必要條件)

f(x)在x0可導(dǎo)且取極值,則f'(x0)=0.②極值是函數(shù)的局部性概念：極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值,極值點(diǎn)不唯一.⑤臨界點(diǎn):即可能的極值點(diǎn),駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的統(tǒng)稱.④駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即f'(x)=0的實(shí)根).3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑥定理(第一充分條件)若x<x0時(shí)f'(x)>0,x>x0時(shí)f'(x)<0,則

f(x0)為極大值;若x<x0時(shí)f'(x)<0,x>x0時(shí)f'(x)>0,則

f(x0)為極小值;若x<x0與x>x0時(shí)f'(x)的符號(hào)相同,則

f(x0)不是極值.⑦定理(第二充分條件)設(shè)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)=0,

f"(x0)≠0,則當(dāng)f"(x0)<0時(shí),f(x)在x0處取得極大值;當(dāng)f"(x0)>0時(shí),f(x)在x0處取得極小值.⑧求極值的步驟:3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑨閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最值問題①求出f在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)x1,x2,…,xn;②計(jì)算函數(shù)值:f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b);③通過比較確定f在[a,b]上的最值:ymax=max{f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b)};ymin=min{f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b)}.注意:在實(shí)際問題,如果開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)注意:實(shí)際問題求最值①建立目標(biāo)函數(shù)(數(shù)學(xué)模型);②求最值。3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑶凹凸性與拐點(diǎn)定義1定理13.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義2

連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).求法1:求法2:3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.⑷函數(shù)圖形的描繪①求f(x)的定義域、奇偶性、周期性,并求出f'(x)、f"(x);②求f'(x)=0,f"(x)=0全部根或不可導(dǎo)點(diǎn),以此劃分定義域;③據(jù)f'(x)和f"(x)的符號(hào)確定函數(shù)升降和凹凸,極值和拐點(diǎn),結(jié)合分區(qū)列表;

⑤找出曲線上若干特殊的點(diǎn),描繪函數(shù)的圖形.

④確定曲線的水平,鉛直,斜漸近線以及其他變化趨勢(shì);3.3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑸弧微分曲率曲率圓曲率的計(jì)算公式二(2).A.極大值B.極小值C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)分析第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(2).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用由兩式可得：由式還可以得第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(2).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(4).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一(4).分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析:第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二(3).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自我檢查試題七二(2).分析:如下圖第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章