杭州市高級中學(xué)2023屆學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬卷(一)

杭州市高級中學(xué)2023屆學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題模擬卷(一)注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．3．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．4．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．5．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．6．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件7．已知正項數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時，的值為()A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．9．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論，其中關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．611．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8412．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機到達小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，其中且，則______________．14．若，則______.15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為_______．16．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.20．（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.3、A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當(dāng)直線經(jīng)過時，；當(dāng)直線經(jīng)過時，，可知當(dāng)時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵，運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.5、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.6、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運算求解能力.8、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.9、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.10、B【解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點睛：本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合，屬于中檔題，解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關(guān)系（比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項積等）.11、B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.12、C【解析】

設(shè)出兩人到達小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點為開始算起，則有，在平面直角坐標系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先化簡函數(shù)的解析式，在求出，從而求得的值.【詳解】由題意，函數(shù)可化簡為，所以，所以.故答案為：0.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.14、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、90°【解析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動，易知，當(dāng)P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯位相減，即可求解數(shù)列的前n項和．【詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當(dāng)最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標原點，以過點O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：，即，因為平面平面，所以平面，所以，因為，所以平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，故；解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點為，因為平面，平面平面于，所以，因為是中點，所以是的中點，因為，取的中點為，連接，則，因為平面平面，所以面，以為坐