四年級三大原理包含與排除教師版

減去交集的元素個數(shù)，用式子可表示成：A BABA (其中符號“”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當于中文“且"的意思。)，則 1A部分 B計算了2次，多加了1次2、再排除——AB 把多加了1次 部分 B減去包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A、B的并集 B的元素的個數(shù)，可分以下兩步第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去CA A類、B類與C類元素個數(shù)的總和A類元素的個數(shù)B類元素個數(shù)C類元素個數(shù)ABB類又是C類的元素個數(shù)A類又是C類的元素個數(shù)AB類、C用符號表示為： CABC B CAC 先包含——AB B、 C、 了2次，多加了1次再排除——ABC B CA部分 了3次，但是在進行ABC B CAC計算時都被減掉了ABCBB CAC 138厘米和534厘米，焊接后這根鐵條有所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長3853487（厘米）242厘米的長方形紙擺放成如圖形狀。把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘【分析】被覆蓋面積=長方形面積之和部分被覆蓋面積4222212（平方厘米【例3】一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長10厘米，寬6厘米，它們中間的部分是一4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積?！痉治觥拷M合圖形的面積=長方形面積之和部分組合圖形的面積12810644140（平方厘米432人，參加軍棋比賽的有28人，有18人兩項比賽AACB32281842（人5（第二屆小學迎春杯數(shù)學競賽）有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂83人懂俄語。問既懂英語又懂俄語的有多少人？【分析】（法1）在100人中懂英語或俄語的有：1001090（人又因為有75907515（人從83位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的831568（法2）在100人中懂英語或俄語的有：1001090（人 BAB B75839068（人61820幅不是五年級的?，F(xiàn)在知道五、六年級共展出22幅畫，問：其它年級共展出多少幅畫？（方法一）其中18幅不是六年級的，則15年級共展出1820幅不是五年級的，則14年級與6年級共展出20五、六年級共展出22令14x幅，則22x1820xx8，其它年級共展出8（方法二）182022281---4年級【例7】100個非零自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個AACBA圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被2B圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被3C為前100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3前100個自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有：100250(個)由1003331知，前100個自然數(shù)中能被333由100(23)16 4知，前100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有1個。所以A中有50個數(shù)，B中有33個數(shù)，C中有1個數(shù)。AB都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或350331667(個)81~20092009個自然數(shù)既不能被741 7 venn因為20097287，所以在1~2009自然數(shù)中，能被7整除的自然數(shù)有287因為20094149，所以在1~2009自然數(shù)中，能被41整除的自然數(shù)有49因為200974171~20097整除又能被41整除的自然數(shù)有7由容斥原理，在1~2009自然數(shù)中，能被7整除或能被41整除的自然數(shù)有287497329在1~2009自然數(shù)中，既不能被7整除又不能被41整除的自然數(shù) 3291680個【例9】50名同學面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1、2、 49、50依次報數(shù)；再讓4的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)。問：現(xiàn)在面向老師的同學還有多少第一類是標號既不是4的倍數(shù)又不是6第二類是標號既是4的倍數(shù)又是621504的倍數(shù)有12504226的倍數(shù)有8個5062既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)即是12的倍數(shù)有4個5012 2于是第一類同學有50128434第二類同學有4人，所以現(xiàn)在共有34438【例10】 組織棋類比賽分成圍棋中國象棋和國際象棋三個組進行參加圍棋比賽的有42人，參加中國象棋比賽的有55人，參加國際象棋比賽的有33人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有18人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有10人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多少人？【分析】根據(jù)：A CABCA BB CACA 參加棋類比賽的總?cè)藬?shù)為：42553318109598（人）?！纠?1】 有三個面積各為30平方厘米的圓，兩兩的面積分別為5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三個圓共同的面積為3平方厘米（如圖）。三個圓共蓋住多大面積？303030568374 如圖已知甲乙丙三個圓的面積都是30甲與乙乙與丙甲與丙重合部分的面積分別為685，三個圓覆蓋的總面積為73甲甲乙【分析】由圖中關系可得：三個圓的公共部分面積應該為733036852所以陰影部分面積為6852215空白部分面積為731558 在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被5整除的數(shù)有多少個【分析】在1至100的自然數(shù)中，或能被2整除，或能被3整除，或能被5503320166374所以，在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被51007426（個【例14】有三個面積各為20平方厘米的圓紙片放在桌面上。三個紙片共同的面積是8平方厘米，三個紙片蓋住桌面的總面積是36平方厘米。問：圖中陰影部分的面積之和是多少？88x，則36203x82x8。或者20382368平方厘米 五年級3班有46名學生參加三項課外活動，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項活動都參加人數(shù)的組的有10x，參加朗誦小組的為7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2x，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)也為2x。根據(jù)列出方程4624207x2x2x10x，解得x3，所以參加朗誦小組的人數(shù)為7x21人。【例16】在游藝會上，有100名同學抽到了分別為1至100的獎券。按獎券號獎品的規(guī)則數(shù)可以重復領獎；其他號均獎1支鉛筆。那么游藝會為該活動準備的獎品鉛筆共有多少支？【分析】100250，1003 1，1006 411002的倍數(shù)有503的倍數(shù)有336的倍數(shù)有16個，既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)有10050331633個；游藝會為該活動準備的獎品數(shù)為502333331232【例17】 有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制著，現(xiàn)按其順序標號為123 2000，然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下200021000，2的倍數(shù)的個數(shù)為1000；20003 2，3的倍數(shù)的個數(shù)為666200054005的倍數(shù)的個數(shù)為40020006 2，同時是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的個數(shù)為200010200，同時是2和5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)的個數(shù)為200015 5，同時是3和5的倍數(shù)，即是15的倍數(shù)的個數(shù)為同時是2、3、5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)的個數(shù)為200030沒被拉一次的電燈盞數(shù)（不是2、3、5的倍數(shù)）只被拉兩次的電燈盞數(shù)（只是其中兩者的倍數(shù)）為333200133663所以最后亮著的燈的盞數(shù)為534468100222的倍數(shù)610的倍數(shù)15不是2、3、5【例18】 （第六屆“杯”五年級初賽）甲、乙、丙三人澆花，甲澆了68盆，乙澆了62盆，丙澆了56盆。已知共有花90盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？【分析】甲乙丙一共澆花6862 86三人都澆的花至少有1869026盆【例19】 甲、乙、丙、丁四人共澆了100盆花，其中甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，問：恰好僅被一人澆過的花至多有 甲乙丙丁

5 甲乙丙

丁

25103252720】一個班有若干個學生，其中會游泳的有3027人，會下象棋的有24人，三樣都會的有1人，那么只會兩樣的至多有幾人？【分析】一共30272481只會兩樣的至多(81323921】甲、乙、丙三人同時在讀同樣的故事書，書中有100個故事，每個人都從某一個故事開始，按順序往后讀，已知甲讀了75個故事，乙讀了60個故事，丙讀了52個故事，那么甲、乙、丙3人共同讀【分析】先考慮甲、乙兩個人，甲、乙都讀過的故事至少有756010035（個甲單獨看的故事是753540（個，乙單獨看的故事有603525（個，所以三人共同看過的故事最少有524012（個【例22】 某班有46人,其中40人會騎自行車,38人打乒乓,35人會打羽毛球,27人會游泳,這個班上【分析】一共40383527140若要四項運動盡可能的少，那么每人會3項運動四項運動都會的至少有1404632人【例23】 五條同樣長的線段拼成一個五角星如果每條線段上恰有2010個點被染成紅色那么在這個【分析】有10個交點部分的紅色點是公用點，因此五角星上紅色點最少有201051010040【例24】 最小值684310011種，最大值就是含鐵的種數(shù)43【例25】 【分析】每隔3厘米做一個記號，記號有1803159（個每隔4厘米做一個記號，記號有1804144（個因為[3412，所以其中重合的記號有18012114（個繩子上共有59441489（個）記號，繩子被剪成89190（段【例26】 將113分別填入右圖四個圓相互分割成的13個區(qū)域，然后把每個圓內(nèi)的7個數(shù)相加，最后11 6938125方法（一）上方圓的總和1711810131262下方圓的總和101312695358；左邊圓的總和27106111395右邊圓的總和111398125462；總和62585862240方法（二）總和134(121110 桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？AAB【分析】如圖，用長方形表示全體采摘人員46AB圓表示采了杏的人數(shù)。46640（人，而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏的人數(shù)，4018715（人。 二年級一班共42名同學，其中少先隊員33人。這個班男生20人，中有4人不是少先隊【分析】二年級一班共42名同學，這個班男生20人，這個班422022人中有4人不是少先隊員，中有22418人是少先隊員男生中有331815 甲、乙、丙同時給100盆花澆水。已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58，那么3人都澆【分析】甲乙丙一共澆花786858204三人都澆的花至少有20410024 （2007年3月18日第五屆小學“希望杯”數(shù)學邀請賽四年級第1試第12題）養(yǎng)牛場2007頭黃牛和水牛其中母牛1105頭黃牛1506頭公水牛200頭那么母黃牛 頭（方法一）因為養(yǎng)牛場有2007頭黃牛和水牛，母牛有1105頭；所以公牛有20071105902頭；因為公水牛有200所以公黃牛有902200702頭；因為黃牛有1506頭；所以母黃牛有1506702804（方法二）因為養(yǎng)牛場有2007頭黃牛和水牛，黃牛有1506頭；所以水牛有20071506501頭；因為公水牛有200所以母水牛有501200301頭；因為母牛有1105頭；所以母黃牛有1105301804 （2009年3月14號第九屆杯四年級決賽第3題）某次考試，通過語文考試的有53人通過數(shù)學考試的有41人，通過語文考試但沒有通過數(shù)學考試的有34人，那么通過數(shù)學考試但沒【分析】通過語文考試且通過數(shù)學考試的有533419（人所以通過數(shù)學考試但沒有通過語文考試的有411922（人 甲乙丙三個小組學，為學校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組和乙組一共擦了60塊玻璃，那么，甲乙丙三個小組各擦了多少塊玻璃？【分析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這6852塊玻璃不是乙組擦的，說明這52A表示乙丙兩組擦的68B圓表示甲丙兩組擦的52塊玻璃，因為甲乙兩組共擦了6068526060塊，這是兩個兩組擦的玻璃數(shù)，因此丙組擦了60230塊玻璃。乙組擦了683038塊玻璃，甲組擦了523022 A甲B 某大學某班學生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格若兩次考試中，都沒有及格的有4A26B24顯然，AB262450； B32428BABAB B5028那么兩次考試都及格的人數(shù)是22 在某個風和日麗的日子，10個同學相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6個人帶了漢堡了芝士蛋糕。2(1)三種都帶了的有幾人?2)只帶了一種的有幾個?AABCABC（1）根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)(帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)(帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)即10664321得三種都帶了的人數(shù)為：10100（人（2）求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10(321)4（人。只帶了一種的有4人。 在1到2004所有自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)又不是3和5的倍數(shù)的數(shù)有多少個2004210022的倍數(shù)的個數(shù)為1002200436683的倍數(shù)的個數(shù)為66820045 45的倍數(shù)的個數(shù)為40020046334，同時是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的個數(shù)為334200410 4，同時是2和5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)的個數(shù)為200200415 9，同時是3和5的倍數(shù)，即是10 24，同時是2、3、5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)的個數(shù)為不是2、3、5的倍數(shù)的個數(shù)為2004100266822倍數(shù)633010的倍數(shù)155不是2、3、5【補充】從1 的正整數(shù)中，至少能被3、5、7之一整除的數(shù)有多少個【分析】能被3整除的數(shù) 0033333331能被5整除的數(shù) 005200000能被7整除的數(shù) 007 1同時能被3、5整除的數(shù) 00015 10同時能被5、7整除的數(shù) 0035 5同時能被3、7整除的數(shù) 0021 1同時能被3、5、7整除的數(shù) 0010