大一下高數(shù)下習題課

目目錄13任意項級數(shù)..........................................................7函數(shù)項級數(shù)·上9函數(shù)項級數(shù)·下冪級數(shù)–I 別方法，但是請在學習之初謹記兩個最基本的分析工具，一個是部分和數(shù)列，一個是收斂原理。試考慮以下問題：討論級數(shù)a1a1+a2?a2···an?an···n=n=

n+1 設(shè)數(shù)列{an}單調(diào)減少收斂于0，且bn=an?2an+1+an+2≥0∑數(shù)n=1判斷級

n=

(?1)n?11nn=1設(shè)anbncn，n≥1∑

∑an=1a

∑ c數(shù)n=1bn如果對每個正整數(shù)p，均成立limn→∞(an+1+an+2+···+an+p)=0n=1推出級數(shù)∑ an=1n

設(shè)n

) 2.求下列函數(shù)在x=0點的局部泰勒至x3項exln(1x)，(1x)αsinxcosxtanxarcsinxarccosxarctanx。3.（達朗貝爾判別法）若正項級數(shù)∑ a

n=1

=則當l1當l1當l=1n=1 判別法）若正項級數(shù)∑ a滿n=1n√

nan=則當l1當l1當l=15.（拉阿伯判別法）若正項級數(shù)∑

a

n=1 limn(an?1)= 則當R>1當R<1當R=1試考慮以下問題，體會達朗貝爾判別法、判別法和拉阿伯判別法的差判斷級數(shù)

3nn

n=1

2?n?(?1)n

(2n?1)!! 1 ∑

n=1 n

n=1 an≤an≤bn，n≥則∑(1)由級數(shù)b收斂可斷定級∑ 數(shù)n=1 ∑(2)由級數(shù)a發(fā)散可斷定級∑ b也發(fā)散 數(shù)n=1 nn=n=

n=

bn(bn0)liman=n→∞當0≤h<+∞時，由級數(shù)∑ b收斂可斷定級數(shù)∑ n=1 n=1 當0<h≤+∞時，由級數(shù)∑ b發(fā)散可斷定級數(shù)∑ n=1 n=1 當0<h<+∞n=9.（比較判別法的比n=

an(an>0)

n=

bn(bn

，n≥則∑(1)則∑(1)由級數(shù)b收斂可斷定級∑ 數(shù)n=1 ∑(2)由級數(shù)a發(fā)散可斷定級∑ b也發(fā)散 數(shù)n=1 n

n=2(lnnlnn ∞ ∞∑n=3(lnn)lnln√ 1√∑n=13

∑n=1∑∞∑n=1∑∞

(2n?1]k(k0)的斂散性；[e?(1+1)n]n ?(11+···1)n ∑∑∑

∞

(n+1

n) (p> ∑∑

n=2∞

lnp(secπ)(p>0)討論級

n=1∞n=2∑

n?plnkn(p1)√n3[2+(—1)n]n

n=1

n=2

1p(p>0) (ln

n=3n(lnn)p(ln

n)q(p>0，q>0)對于一個給定的收斂正項級數(shù)∑

a，一定存在一個收斂正項級∑∞b數(shù)n=1bn，使得limn→∞b

=

n=1

對于一個給定的發(fā)散正項級數(shù)∑∞

∑n=1

an，一定存在一個發(fā)散正項級數(shù)n=1bn，使得limn→∞bn=0 注意：在任意項級數(shù)的斂散性討論中，若級數(shù)收斂，則還需進一步討論請仔細閱讀225頁例

∑ a加括號后所得的級

n=1 數(shù) a′收斂，且在每個括號內(nèi)各項的符號相同，則級數(shù)

n=1

n=1∞∞

n=1

n? n設(shè)級數(shù)n=2(a )絕對收斂，級數(shù)n=1

收斂，試證明：級數(shù)n1a n

設(shè)級數(shù)n=2(a?a?)絕對收斂，lim =0，級數(shù)n=1

有界，試證明：級數(shù)n=1anbn∑∑

(?1)n+1n!

∞

(s>0，t>∑n=2ns(ln n2+ ∑n n=1

n

[(2n?1)!!]p(p>0)

cosnφ(1+1)n(0<φ<2π，p>0)∑

∑n=1∑∞∑n=1∑∞∑n=1∑∞∑n=1∑∞

(?1)n+1(1?cos√π)的斂散性；(?1)n+1arc√tann的斂散性；ln(1+(1) ln(1+(1) )nnnsinn·sinn2n

n=1(1+1+···+1)sinnx∑ ∑

(?1) (p>0)的斂散性； ∑n=1 (nn?1)n=1試證明：若級數(shù)n=1

數(shù)數(shù)n=1

′n∑∞n∑試證明：對于任意的一個條件收斂的級 n=1an與任意給定的一數(shù)A(?∞≤A≤+∞)，我們總可以通過重新排列級數(shù)

a中的項而得n∑n∑

∞n=1

′

n=1

∞a是 (?1)n+1的一個重排，{a}中正項之間的順序以及負項n=1 間的順序與重排之前相同，又設(shè)在∑ a的前n項中有

n限limn→∞pnpn

n= ln21ln( )

1?第四章函數(shù)項級數(shù)· fn(x)=sinxn，(a)0≤x≤1?δ(0<δ<1)，(b)0<x<

(x) xn，0<x<

∑n=1(n?n+1)，?1≤x≤ x2，0<x<+∞；∑n=1

sin√x·sinnx，0≤x≤

(?1)n+1x2e?nx2，x+∞

g(x)

∞

2nsin在(?∞+∞)中不一致收斂，但在任意閉區(qū)間[?M，M](M>0)上一致收斂，并證明g(x)在(?∞，+∞)中有連續(xù)的導函數(shù)。

n=1an收斂，證明級數(shù)n=1nx在[0，+∞)中一致收斂，并x

∞ x

an

函數(shù)序列fn(x)}的一致收斂性是相對于某個給定的收斂集合X而言的。同一個函數(shù)序列在集合X1上可以一致收斂，而在一個較大的集合X2上可能不一致收斂。第五章函數(shù)項級數(shù)· fn(x)=xlnx，(a)0<x<1，(b)0<x<

∑∑∞

(?1)n+1arctannx，?∞<x<nsinnx，0≤x≤n 1[ex(1x)n]，(a)0xa，(b)0x+∞n=1 設(shè)對每個n，函數(shù)a(x)在x=c處左連續(xù)，又已知∑ a(c)發(fā)散。試證明 n= a(x)在區(qū)間(c?δ，c)上必不一致收斂∑n=1

xnn=1+x2n

n+1試證明：函數(shù)項級數(shù)

(—

x在(?∞+∞)

n=1

設(shè)在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)序列{fn}一致收斂于極限函數(shù)f知f在[a，b]上無零點。試證明：函數(shù)序列{f1}在[a，b]上一致收斂。 ∫ 試證明：函數(shù)項級

n=0

設(shè)f1(x∈R[a，b]∫fn+1(x)= fn(t)dt，n=1，2an=9.確定函數(shù)S(x)n=

)1n10.設(shè)連續(xù)函數(shù)序列{fn}在[a，b]上收斂，且對?ε∈(0，b?a)，{fn}在[a，b|fn(x)|≤g(x)，x∈

∫

∫fn(x)dx

limfn(x)dx a n=0

n ；(2n+1)·；

(3?n+

anxn(a>∑n=1

∑∑∞∑∑∞

(1+1+···+1 ；；

∑n=1

n+1

(?1)n+1(2n?

(2n?1)!!nxxn=1(2n n

。。4sin(π+4ln(1+x? ln(x 1+ xsint ∫+∞1+x2∫ +∞arctanx 2

xcos

； x3x0∫1(lnx)ndx(n∈N)0證明下列各式，其中σ> ∫+∞—

?∞ 2σ2dx= ∫ — ?∞ 2σ2dx= ∫ 2?(x?μ)2

?∞(xμ) 2σ2dx=σ∫+∞sinxdx(p>∫

dx(p>0，q>∫ ∫+∞sin∫1∫+∞(1+e?x)sinx∫ +∞arctanxdx(p>∫ +∞esinxsin2xdx(p>∫ dx∫1|lnx|pdx(p∈

1ln 0∫fa5.試證明：如果無窮積分∫+∞f(x)dx收斂，則 f(x)=0 6.試證明：如果無窮積分+∞f(x)dx收斂，且lim f(x)有意義，則它一a等于0

7.設(shè)f(x)在[a，+∞)連續(xù)，且無窮積分∫+∞f(x)dx收斂，則存在數(shù)列{x}? [a+∞)limxn=+∞limf(xn)=0 ：以下題目都是經(jīng)過驗證而正確的，請放心解答g(y)=∫cosyey√1?x2dx，0≤y≤π∫sin g(yyln(1+xydx，0y+ 2x∫πarctan(ytanx)dx，?∞<y<2x∫ ∫02ln(y2sin2xcos2x)dx，y?=00 ：以下題目都是經(jīng)過驗證而正確的，請放心解答∫+∞e?yxsinxdx，(a)0<y≤y<+∞，(b)0<y<∫

+∞e?yxcosxdx，0≤y<∫ ∫∫+∞x3e?yx2dx，(a)0<y≤y<+∞，(b)0<y<∫

+∞sin

dx，0≤y<

∫ ∫+∞ye?yx2dx，0≤y<∫1∫+∞e?xsinyxdx，0≤y<∫ +∞cosyxdx，(a)0<y≤y<+∞，(b)0