河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高考模擬數(shù)學(xué)試題

河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高考模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)2．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．4．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．5．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．已知曲線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為（）A． B．2 C．4 D．7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．若實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．310．設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．3611．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．12．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四面體中，分別是的中點(diǎn)．則下述結(jié)論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）14．已知的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為______.15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)，是上一點(diǎn)(不與重合)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)，求的取值范圍．18．（12分）如圖，正方形所在平面外一點(diǎn)滿足，其中分別是與的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.19．（12分）某大學(xué)開學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成，從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)，為曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求面積的最大值.21．（12分）橢圓：的離心率為，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線的斜率之積為定值.22．（10分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對(duì)于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對(duì)于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對(duì)于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

解對(duì)數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項(xiàng).4、A【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實(shí)數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．5、C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè)，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點(diǎn)，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以為上的偶函?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，且，解?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點(diǎn)，由得，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．9、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

方法一：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得成等差數(shù)列，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及，化簡(jiǎn)可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，從而的最小值為16，故選B．11、A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.12、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④．【解析】

補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計(jì)算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體設(shè)其邊長(zhǎng)為，，解得補(bǔ)成長(zhǎng)，寬，高分別為的長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價(jià)于邊長(zhǎng)為的矩形的對(duì)角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯(cuò)；③四面體外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設(shè)異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理方法，補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補(bǔ)圖方法.14、1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式得：，解得，令得：展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，得解．【詳解】解：由的展開式的通項(xiàng)，令，得含有的項(xiàng)的系數(shù)是，解得，令得：展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式，屬于中檔題．15、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)拋物線，不妨設(shè)，取，通過求導(dǎo)得，，再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則，得到，兩式聯(lián)立，求得點(diǎn)N的軌跡，再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，不妨設(shè)，取，所以，即，所以，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過，所以，所以，所以，由，解得，所以點(diǎn)在直線上，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據(jù)二面角的余弦值，可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計(jì)算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連結(jié).則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應(yīng)用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.19、（1）0.4；（2）；（3）應(yīng)選擇方案，理由見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式，即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】（1）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計(jì)為0.4.（2）設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設(shè)事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)，將圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標(biāo)方程.（2）利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達(dá)式，再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因?yàn)榍€和相切，所以，即：；（2）設(shè)，所