偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法目前一頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義若極限存在則稱此極限為函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

記作>>>目前二頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作偏導(dǎo)函數(shù)目前三頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)>>>目前四頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)偏導(dǎo)函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)

例如三元函數(shù)uf(x

y

z)在點(diǎn)(x

y

z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為其中(x

y

z)是函數(shù)uf(x

y

z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)

目前五頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可.偏導(dǎo)函數(shù)討論

下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？目前六頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

例1

求zx23xyy2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解

例2

求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).

解

目前七頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

解

證

例3

例4

目前八頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

證

本例說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題:偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào),不能看作分子分母之商.

例5

已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證目前九頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]yz=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.目前十頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義目前十一頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性

對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō),即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).例如但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).在點(diǎn)(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：提示：當(dāng)點(diǎn)P(x

y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(00)時(shí)有因此函數(shù)f(x

y)在(00)的極限不存在當(dāng)然也不連續(xù)

目前十二頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù),則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).

函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).

類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).目前十三頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

解

此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的.目前十四頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等

定理

解