江蘇省第九屆淮海工學院高等數(shù)學競賽本科二級模擬試卷(二)答案與評分標準

江蘇省第九屆高等數(shù)學競賽

x2y3z2,8設直線2xyz3 在平面z1上的投影為直線L則點到直線L淮海工學院本科二級模擬試卷 (閉卷二 )

3的距離為25

50．答案及評分標準

二、計算題（本大題8分）題號一二三四五六七八九總分核分人分值32888881288100得分設f(x)在x題號一二三四五六七八九總分核分人分值32888881288100得分x0 x6

2，3求f(0),f'(0),f''(0)．xf() x 2x（一x6

,其中l(wèi)im0 1'3 x0ln(1x2)x2 2則f(x) x2x2, 1'x4 3ln(1x2)x2 1一、填充題（84分，共32分）

f(0)

f(x)lim , 2'f( 1

x0

x0 x4 2ff(x) f(0) 21f(xf1(xf1[

]的反函數(shù)為f1[3f(x)]} ．3 2

x2)x2 x4f'(0)lim lim 0 2'x0 x x0 x5x2en(x1)axb2、設f(x)lim 連續(xù)，則ab1．

f'(x)f'(0)故f''(0)lim

2lim

f(x)f(0)

2 --------------------------------2'n en(x1)11

x0 x2

x0 x2 3x4 x63、某曲線極坐標方程為

，其斜漸近線的直角坐標方程為y 3x．

解（二：因ln(x2)x2 2

(x6), 1'33

x4f(x)x4

1(x6) f(x)1提示：將極坐標方程化為x,y關于的參數(shù)方程，注意僅

x．3

則2lim

2 3 lim

21

-----------------------------2' cosx

xtcost dxdx

dx

3 x0 x6

x0 x2 34、 2x(x)2

dx2t(t)2 2

2．

f(x)0 0 0 (x)2()2

2 112 21x x3

即lim x0 x2 3

1'1 f(x)f(0)5、已知f(0,0)1,f

(

3x2

() ,則f(x,y)x3yy41．

f(0)

f(x),f'(0)lim 0 2'．x y 2 2．

x0 2

x0 x26、設曲線332L:x y 26、設曲線332

ydxxdy

f'(x)f'(0) f(x)f(0) 2，則 2x2，則 L

x0 x

x0 x2 3故f''(0)lim 2lim 7、冪級數(shù)故f''(0)lim 2lim n11112 n 三、問答題（8分）１設f(x)(x1)2(x2)2(x3)2，試問曲線yf(x)有幾個拐點？ 于是原題得證 1'4 7 4 7解：f'(x)6(x )(x1)(x2)(x )(x3) 1'

六、計算題（本大題8分）3 3 x2y21(z0)zx22x2．為計算則f'(x)有5個零點由羅爾定理知在其相鄰零點之間必有f''(x)的零點 2'

曲面的面積，我們用薄鐵片制作的模型，A(1,0,5),B(1,0,1),C(1,0,0)為f''(x至少有4xx1 2

xx3

-------------------------------1'

BC剪開并展成平面圖形D,Dx而f''(x)為4次多項式，至多有4個零點，則f''(x)恰有4個零點 1'

軸正上方，點A的坐標為(0,5),試寫出D的邊界方程，并求D的面積．于是，可令f''(x)30(xx1

)(xx2

)(xx3

)(xx4

)----------------------1'注意到f)(xx)0,i，i i jji故曲線yf(x)有4個拐點 2'四、計算題（本大題8分）z10

xytf(t)dt,0x,y1，若f(t)為連續(xù)函數(shù)，求zxx

z .yy解：zxy(xyt)f(t)dt1(xyt)f(t)dt 2'0xy[0

f(t)dt1f(t)dt]1tf(t)dtxytf(t)dt 1'xyxy xy 0xy

七、設計題（本大題8分）z y[

f(t)dt

f(t)dt] 2'

為原點到:x2

y2y2

1,abc0的切平面之距，計算Ids．x 0 xy

a2 b2 c2 z 2y2f(xy) 1'xx由對稱性知zyy

2x2f(yx) 1'故z zxx

2(x2y2)f(xy). 1'五、證明題（本大題8分）設f(x)在[0,1]且1f(x)dx1，若(0,1)，0證明:在(0,1)內(nèi)存在不同的,,使f()(1)f()1.證明：設F(x)xf(t)dt則F(x)在[0,1]上可導且F(0)0,F(1)1 1'0令G(x)F(x)(1x)，則G(0)1,G(1)1 1'由連續(xù)函數(shù)零點定理存在(0,1),使F()1 1'在區(qū)間[0,]與[,1]上分別用拉格朗日中值定理,有f()F)F()f0

1, 0-------------------------------------2'fFF(1)F()1

1

, 1--------------------------------------2'２八、計算題（本大題10分）f(ux0f(0)0f'(0)5Dx2y22txy01

九、討論題（本大題10分）試根據(jù)k的不同取值，討論級數(shù)

(1)nnk(lnn)2

的斂散性，何時絕對收斂？何時條件求limt0t

f( x2y2)ydxdy．D

收斂？何時發(fā)散？

n11解一原式lim 2t2f()darccos2tsin 3'1t0 t4 0 0lim 12t2f()(1)d 2't0 t4 0 lim

t2t2f()d12t3f()d 0 20 -------------------------------------------1't0 t52t2f()dlim 0 2't0 44lim

f(2t)f(0) 1'5t0 4f'(0)4． 1'5解二原式lim 1d2tcosf()sind------------------------------------------22 2'2t0 t4 0 0limt0

124t3 02