河北省唐山市東田莊鄉(xiāng)東田莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河北省唐山市東田莊鄉(xiāng)東田莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為+=1，雙曲線C2的方程為﹣=1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】通過橢圓與雙曲線的方程可得各自的離心率，化簡即得結(jié)論．【解答】解：∵橢圓C1的方程為+=1，∴橢圓C1的離心率e1=，∵雙曲線C2的方程為﹣=1，∴雙曲線C2的離心率e2=，∵C1與C2的離心率之積為，∴?=，∴==1﹣，又∵a＞b＞0，∴=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的離心率問題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．2.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

（

）

A．80

B．40

C.

50

D.

30參考答案：B3.已知等比數(shù)列{an}的公比為2,前4項(xiàng)的和是1,則前8項(xiàng)的和為

（

）

A．15.

B．17.

C．19.

D．21參考答案：B4.已知圓M：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圓N：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，則兩圓圓心的距離等于（） A．25 B．10 C．2 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定． 【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓． 【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，利用距離公式求解即可． 【解答】解：圓M：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9的圓心坐標(biāo)（5，3）， 圓N：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0的圓心坐標(biāo)（2，﹣1）， 則兩圓圓心的距離等于：=5． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 5.在等比數(shù)列中，，，則公比q等于（

）。A.

B.﹣2

C.2

D.參考答案：D6.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012P

那么，當(dāng)在(0,1)內(nèi)增大時(shí),的變化是（）A.減小B.增大C.先減小后增大D.先增大后減小參考答案：B【分析】先求期望，再求方差，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】則是在上的遞增函數(shù)，所以是在上的遞增，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量及其分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：D略8.小明的媽媽為小明煮了5個(gè)粽子，其中兩個(gè)臘肉餡三個(gè)豆沙餡，小明隨機(jī)取出兩個(gè)，事件，事件，則

（

）A. B. C. D.參考答案：B【詳解】由題意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故選B．9.某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為，他重復(fù)投籃5次，若他命中一次得10分，沒命中不得分，命中次數(shù)為，得分為，則分別為（

）A．，60

B．3，12

C．3，120

D．3,參考答案：C略10.直線的斜率為A.2

B.1

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是網(wǎng)格工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行，數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行；依此類推，若數(shù)字195在第m行從左至右算第n個(gè)數(shù)字，則為_______.參考答案：25【分析】每行的行號(hào)數(shù)和這一行的數(shù)字的個(gè)數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，每行中相鄰的數(shù)字為連續(xù)正整數(shù)，由此結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果．【詳解】由網(wǎng)格可知每行的行號(hào)數(shù)和這一行的數(shù)字的個(gè)數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，由等差數(shù)列的求和公式可得前19行共有個(gè)數(shù)，第19行最左端的數(shù)為190，第20行從左到右第5個(gè)數(shù)字為195，故數(shù)字195在第20行從左至右第5個(gè)數(shù)字，即m=20,n=5,可得m+n=25,故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查合情推理、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng).12.已知x，y滿足約束條件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值為7，則的最小值為

．參考答案：7【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由x，y滿足約束條件，畫出可行域：利用圖象可知：當(dāng)z=a（4x+2y）+b直線過（2，﹣1）時(shí)，z取得最大值7．得到6a+b=7．再利用基本不等式即可得出答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件，畫出可行域：∵a＞0，b＞0，z=a（4x+2y）+b，∴y=﹣2x+，其斜率﹣2＜0，在y軸上的截距為，由圖象可知：當(dāng)此直線過點(diǎn)（2，﹣1）時(shí)，z=a（4x+2y）+b取得最大值7．即6a+b=7．∴+=（+）（6a+b）=（37++）≥（37+2）=7，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．∴+的最小值為7．故答案為：713.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略14.數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15項(xiàng)是

▲

．參考答案：5略15.雙曲線x2﹣=1的離心率是，漸近線方程是．參考答案：2,y=.【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，即可求出雙曲線的離心率與漸近線方程．【解答】解：雙曲線x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，漸近線方程是y=±x．故答案為：2，y=．16.長方體中,則與平面所成角的正弦值為

.參考答案：17.雙曲線的離心率大于的充分必要條件是

．參考答案：m>1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)一袋子中有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，從袋子里隨機(jī)取球，取到每個(gè)球的可能性是相同的，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分．(1)若從袋子里一次取出3個(gè)球，求得4分的概率；(2)若從袋子里每次摸出一個(gè)球，看清顏色后放回，連續(xù)摸2次，求所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：P(ξ＝4)＝2＝，故ξ的分布列為ξ234Pks5u略19.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為，直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q滿足：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由已知得，，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可．（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），分類討論：當(dāng)λ=0時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱性即可得出；λ≠0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得．故所求橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）當(dāng)λ=0時(shí)由知，，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，存在Q滿足題意，∴λ=0成立．當(dāng)λ≠0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）∴，．由，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，∴，代入到得到，代入（*）式，由1+2k2＞0得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．∴綜上λ∈（﹣2，2）．20.（本小題滿分14分）某重點(diǎn)高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的三位畢業(yè)生甲，乙，丙參加了一所中學(xué)的招聘面試，面試合格者可以正式簽約，畢業(yè)生甲表示只要面試合格就簽約，畢業(yè)生乙和丙則約定：兩人面試合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響，求：（1）至少有1人面試合格的概率；（2）簽約人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考答案：解（1）至少有1人面試合格的概率為

.所以X的分布列為：X0123P所.略21.已知p：函數(shù)y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，q：函數(shù)y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；探究型．【分析】本題是一個(gè)由命題的真假得出參數(shù)所滿足的條件，通過解方程或不等式求參數(shù)范圍的題，宜先對(duì)兩個(gè)命題p，q進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出其為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再由p∨q為真，p∧q為假的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍，在命題p中，用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在命題q中，用二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化．【解答】解：若函數(shù)y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，則﹣≤﹣1，∴m≥2，即p：m≥2

…若函數(shù)y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立，則△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3

…∵p∨q為真，p∧q為假，∴p、q一真一假

…當(dāng)p真q假時(shí)，由得m≥3

…當(dāng)p假q真時(shí)，由得1＜m＜2

…綜上，m的取值范圍是{m|m≥3或1＜m＜2}

…【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解p∨q為真，p∧q為假，得出兩命題是一真一假，再分兩類討論求出參數(shù)的值，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想及分類討論的思想22.已知函數(shù)y=f（x），若存在零點(diǎn)x0，則函數(shù)y=f（x）可以寫成：f（x）=（x﹣x0）g（x）．例如：對(duì)于函數(shù)f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）=（x+1）g（x）（這里g（x）=x2﹣3x+3）．若函數(shù)f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零點(diǎn)x=2．（1）若f（0）=﹣2，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)x1∈[﹣1，0]，且|f（1）|≤1，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：（1）求出g（x）=x2+ax+1，令g（x）≥0在區(qū)間[﹣2，2]上恒成立，列不等式組得出a的范圍；（2）求出g（x）=x2+ax+b，根據(jù)條件列出不等式組，作出平面區(qū)域，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)求出b的范圍．解：（1）∵f（0）=﹣2，∴c=﹣2，設(shè)f（x）=（x﹣2）g（x），則g（x）為二次函數(shù)，不妨設(shè)g（x）=（x2+mx+n），則f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，∴，解得，∴g（x）=x2+ax+1，∵當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）≤0，且x﹣2≤0，∴g（x）=x2+ax+1≥0在[﹣2，2]上恒成立，∴△=a2﹣4≤0，或，或，解得﹣2≤a≤2．（2）設(shè)f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，則