四川省遂寧市職業(yè)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

四川省遂寧市職業(yè)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，有命題:①；②；③若，則△ABC是等腰三角形；④若，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是…………（

）

(A)②③

(B)①④

(C)

①②

(D)②③④參考答案：A因?yàn)椋寓馘e(cuò)誤。排除B,C.②正確。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正確。若，則，即為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以④錯(cuò)誤，所以上述命題正確的是②③，選A.2.已知函數(shù)，在其圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，總能使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(1，2) D.[1,2]參考答案：B【分析】根據(jù)可知的圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)連線的斜率大于2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求.【詳解】，因?yàn)?，所以；易知?dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，所以，即，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線上任意兩點(diǎn)的斜率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).3.若不等式4x2﹣logax＜0對(duì)任意x∈（0，）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

) A．[，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，]參考答案：A考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意可得，x∈（0，）時(shí)，函數(shù)y=4x2的圖象在函數(shù)y=logax的圖象的下方，可得0＜a＜1．再根據(jù)它們的單調(diào)性可得4×≤，解此對(duì)數(shù)不等式求得a的范圍．解答： 解：∵不等式4x2﹣logax＜0對(duì)任意x∈（0，）恒成立，∴x∈（0，）時(shí)，函數(shù)y=4x2的圖象在函數(shù)y=logax的圖象的下方，∴0＜a＜1．再根據(jù)它們的單調(diào)性可得4×≤，即loga≤，∴≥，∴a≥．綜上可得，≤a＜1，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．4.“a＞1”是“函數(shù)f（x）=（a2）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)”的（）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先寫(xiě)出函數(shù)f（x）=（a2）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)的等價(jià)命題，再根據(jù)必要條件、充分條件與充要條件的判斷方法，直接作答即可．【解答】解：根據(jù)題意，分析可得，條件：“函數(shù)f（x）=（a2）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)”?a＜﹣1或a＞1，從而條件“a＞1”?條件“函數(shù)f（x）=（a2）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)”．反之，不能推出．∴“a＞1”是“函數(shù)f（x）=（a2）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)”的充分條件．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．5.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各面中互相垂直的面的對(duì)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知向量,,且，則的值為

(

)A． B． C． D．參考答案：B8.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，則函數(shù)的最大值為A．2 B．4 C．5 D．6參考答案：D作出可行域如下圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，最大，由得，所以的最大值為6．9.明朝數(shù)學(xué)家程大位將“孫子定理”（也稱(chēng)“中國(guó)剩余定理”）編成易于上口的《孫子歌訣》：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一支,七子團(tuán)圓正半月,除百零五便得知”.已知正整數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值.按此歌訣得算法圖，則輸出的結(jié)果為（

）A．53

B．54

C．158

D．263參考答案：A10.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則______.參考答案：10【分析】將二項(xiàng)式等價(jià)變形為，根據(jù)變形后的二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得的值.【詳解】，其通項(xiàng)公式為，故，所以.故答案為：10【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12.若向量,,則的最大值為

.參考答案：因?yàn)橄蛄?,所以，所以，所以的最大值為9，因此的最大值為4.13.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且的取值范圍為_(kāi)__________．參考答案：【分析】作出的圖象，根據(jù)函數(shù)方程之間的關(guān)系，確定，，的取值范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】作出的圖象如圖：由得，，，，，則由，得，即，得，即，，則，即的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，作出函數(shù)的圖象．確定，，的范圍，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.（幾何證明選做題）如圖所示，圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn)，BC=3,過(guò)C作圓的切線，則點(diǎn)A到直線的距離AD=

.參考答案：略15.若隨機(jī)變量～，且＝0.1587，則__________.參考答案：0.8413略16.程序框圖（即算法流程圖）如圖下所示，其輸出結(jié)果是_______參考答案：12717.某大學(xué)對(duì)1000名學(xué)生的自主招生水平測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，現(xiàn)規(guī)定不低于70分為合格，則合格人數(shù)是

參考答案：600三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．(l)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：（1）

（2）由

解得

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為略19.設(shè)0<a<b，過(guò)兩定點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)分別引直線l和m，使與拋物線y2=x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，求這種直線l與m的交點(diǎn)P的軌跡．參考答案：解：設(shè)l：y=k1(x－a)，m：y=k2(x－b)．于是l、m可寫(xiě)為(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0．∴交點(diǎn)滿(mǎn)足若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則此圓可寫(xiě)為(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)+l(y2－x)=0．此方程中xy項(xiàng)必為0，故得k1=－k2，設(shè)k1=－k2=k≠0．于是l、m方程分別為y=k(x－a)與y=－k(x－b)．消去k，得2x－(a+b)=0，(y≠0)即為所求軌跡方程．20.(本題滿(mǎn)分13分)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，

四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ)求證：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ)若點(diǎn)M在線段EF上移動(dòng)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45o，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：解(Ⅰ)證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，AC是交線，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC、BC、CF兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，AC、BC、CF所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，設(shè)，則，，設(shè)是平面AMB的法向量，則取x=1，得，顯然是平面FCB的一個(gè)法向量，于是，化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

∴線段EF上不存在點(diǎn)M使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45o.21.（本小題滿(mǎn)分分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，，且，，三點(diǎn)不共線.(1)

求橢圓的方程；(2)

求點(diǎn)的軌跡方程；(3)

求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：（1）解法1：∵雙曲線的頂點(diǎn)為,,…………1分∴橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.

設(shè)橢圓方程為，∵橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，得.

………2分∴.

………3分∴橢圓的方程為.

………4分解法2:∵雙曲線的頂點(diǎn)為,,……1分∴橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.設(shè)橢圓方程為，∵橢圓過(guò)點(diǎn)，∴.

①

………2分.∵,

②

………3分由①②解得,.∴橢圓的方程為.

………4分（2）解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得，∴，，，.由,得，……5分即.

①同理,由,得.

②

……………6分

①②得.

③

………7分由于點(diǎn)在橢圓上,則，得,代入③式得.

當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)，則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或，其坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程.

………8分當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得，解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.∴點(diǎn)的軌跡方程為,除去四個(gè)點(diǎn),,,.

………9分解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得，∵，，

∴，.

∴，①

……5分

.②

……6分

①②得.

(*)

………7分∵點(diǎn)在橢圓上,

∴，得,代入(*)式得，即,

化簡(jiǎn)得.

若點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或，其坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程.

………8分當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得，解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.∴點(diǎn)的軌跡方程為,除去四個(gè)點(diǎn),,,.

………9分(3)解法１：點(diǎn)到直線的距離為.△的面積為………10分

.

………11分

而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）∴.……12分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.由解得或

………13分∴△的面積最大值為,此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為或.…14分解法２：由于，故當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，△的面積最大．………1０分設(shè)與直線平行的直線為，由消去，得，由，解得．………1１分若，則，；若，則，．…1２分故當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，△的面積最大，其值為．……