2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）函數(shù)f（x）＝x2+sinx在區(qū)間[0，π]上的平均變化率為（）A．1 B．2 C．π D．π22．（5分）“3+1+2”高考方案中，“3”是指統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門科目，“1”是指考生在物理、歷史兩門選擇性考試科目中所選擇的1門科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門選擇性考試科目中所選擇的2門科目．小明同學(xué)非常喜歡化學(xué)，所以必選化學(xué)，那么他的選擇方法數(shù)有（）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種3．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y＝x﹣1，則f（2）+f′（2）＝（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f（x）其有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A．y＝lnx B．y＝cosx C．y＝ex D．y＝5．（5分）若函數(shù)f（x）＝x+tsinx在（0，）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．[﹣1，+∞）6．（5分）5名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種7．（5分）若曲線y＝lnx在點(diǎn)P（x1，y1）處的切線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)Q（x2，y2），則+x2＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．e8．（5分）若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30種不同的選法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法 D．如果4人中必須既有男生又有女生，那么有184種不同的選法（多選）10．（5分）若2≤m≤n，m，n∈N*，則下列等式中正確的有（）A．C＝C+C B．mC＝nC C．A＝mA D．A+mA＝A（多選）11．（5分）若函數(shù)f（x）＝xln（x+2），則（）A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 B．f（x）有兩個(gè)零點(diǎn) C．f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處切線的斜率為﹣1 D．f（x）是奇函數(shù)（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cosx，g（x）＝f（x）﹣a，則（）A．當(dāng)a＝5時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)a＝4時(shí)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)a＝2時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)a＝3時(shí)，g（x）有四個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）寫出一個(gè)滿足條件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函數(shù)f（x）＝．14．（5分）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有種．（用數(shù)字作答）15．（5分）如圖，煤場(chǎng)的煤堆形如圓錐，設(shè)圓錐母線與底面所成角為α＝，傳輸帶以0.9m3/min的速度送煤，則r關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是，當(dāng)半徑為3m時(shí)，r對(duì)時(shí)間t的變化率為．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，則實(shí)數(shù)a的值是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）若3A﹣6A＝4C，求n；（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展開式中x3的系數(shù)．（用數(shù)字表示結(jié)果）18．（12分）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）在組成的四位數(shù)中，求大于2000的自然數(shù)個(gè)數(shù)；（3）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)．19．（12分）已知函數(shù)f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求f（7，x）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，①求ai；②求ai（0≤i≤10，i∈N）的最大值．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x+．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線f（x）上過點(diǎn)（1，f（1））的切線方程；（2）若f（x）___，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．①在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)減函數(shù)；②在（，2）上存在減區(qū)間；③在區(qū)間（m，+∞）上存在極小值．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，x∈[0，π]．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的最值；（2）若f（x）+x2≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝lnx+﹣ax，g′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論函數(shù)g（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)h（x）＝f（x）g′（x）﹣1在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）函數(shù)f（x）＝x2+sinx在區(qū)間[0，π]上的平均變化率為（）A．1 B．2 C．π D．π2【分析】根據(jù)題意，由平均變化率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝x2+sinx，在區(qū)間[0，π]上，有△y＝f（π）﹣f（0）＝π2，△x＝π﹣0＝π，則其平均變化率＝π，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率的計(jì)算，注意平均變化率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）“3+1+2”高考方案中，“3”是指統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門科目，“1”是指考生在物理、歷史兩門選擇性考試科目中所選擇的1門科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門選擇性考試科目中所選擇的2門科目．小明同學(xué)非常喜歡化學(xué)，所以必選化學(xué)，那么他的選擇方法數(shù)有（）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明在思想政治、地理、生物中再選出一門，②小明在物理、歷史兩門選出一門，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，需要在思想政治、地理、生物中再選出一門，有C31＝3種選法，②小明在物理、歷史兩門選出一門，有C21＝2種選法，則有3×2＝6種選擇方法，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y＝x﹣1，則f（2）+f′（2）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點(diǎn)滿足切線的方程，可得f（2），f′（2），可得所求和．【解答】解：函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y＝x﹣1，可得f（2）＝2﹣1＝1，f′（2）＝1，則f（2）+f′（2）＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f（x）其有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A．y＝lnx B．y＝cosx C．y＝ex D．y＝【分析】分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的條件，即可得到具有T性質(zhì)的函數(shù)．【解答】解：由y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝，由x＞0，可得切線的斜率大于0，不存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)f（x）＝lnx的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直；由y＝cosx的導(dǎo)數(shù)y′＝﹣sinx，由sinx∈[﹣1，1]，可得存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)y＝cosx的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直；由y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，由ex＞0，可得不存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)f（x）＝ex的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直；由y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝，由＞0，可得不存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)f（x）＝的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若函數(shù)f（x）＝x+tsinx在（0，）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．[﹣1，+∞）【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到t≥﹣在（0，）恒成立，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出t的取值范圍即可．【解答】解：f′（x）＝1+tcosx≥0在（0，）恒成立，故t≥﹣在（0，）恒成立，y＝﹣在（0，）遞減，故y的最大值小于﹣1，故t≥﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)問題，是基礎(chǔ)題．6．（5分）5名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名同學(xué)分為3組，②將分好的三組安排到3個(gè)小區(qū)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名同學(xué)分為3組，若分為1、2、2的三組，有＝15種分組方法，若分為1、1、3的三組，有C53＝10種分組方法，則有10+15＝25種分組方法，②將分好的三組安排到3個(gè)小區(qū)，有A33＝6種情況，則有25×6＝150種不同的安排方法，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意正確的分組，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若曲線y＝lnx在點(diǎn)P（x1，y1）處的切線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)Q（x2，y2），則+x2＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．e【分析】求得y＝lnx和y＝ex的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，由兩直線重合的條件，可得x1，x2的關(guān)系，整理化簡(jiǎn)可得所求和．【解答】解：y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝，可得曲線y＝lnx在點(diǎn)P（x1，y1）處的切線方程為y﹣lnx1＝（x﹣x1），y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得在點(diǎn)Q（x2，y2）處的切線的方程為y﹣ex2＝ex2（x﹣x2），由兩條切線重合的條件，可得＝ex2，且lnx1﹣1＝ex2（1﹣x2），則x2＝﹣lnx1，即有l(wèi)nx1﹣1＝（1+lnx1），可得lnx1＝，則+x2＝lnx1﹣lnx1＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，以及兩直線重合的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（5分）若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【分析】根據(jù)已知中三個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)變形特點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)f（x）＝解決此題．【解答】解：令f（x）＝（x＞0），則f′（x）＝．由f′（x）＞0得：0＜x＜e．∴函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．∵4a＝a4，5b＝b5，6c＝c6，∴aln4＝4lna，bln5＝5lnb，cln6＝6lnc，∴f（4）＝＝＝f（a），f（5）＝＝＝f（b），f（6）＝＝＝f（c）．∵6＞5＞4＞e，∴f（6）＜f（5）＜f（4），∴f（c）＜f（b）＜f（a），又∵c＜6，b＜5，a＜4，∴c，a，b都小于e，∴c＜b＜a．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、構(gòu)造法、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算及建模能力，屬于中檔偏難題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30種不同的選法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法 D．如果4人中必須既有男生又有女生，那么有184種不同的選法【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的選法有C62＝15種選法，女生的選法有C42＝6種選法，則4人中男生女生各有2人選法有15×6＝90種選法，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有C82＝28種選法，B正確；對(duì)于C，在10人中任選4人，有C104＝210種選法，甲乙都不在其中的選法有C84＝70，故種男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)選法有210﹣70＝140種，C正確；對(duì)于D，在10人中任選4人，有C104＝210種選法，只有男生的選法有C64＝15種，只有女生的選法有C44＝1種，則4人中必須既有男生又有女生的選法有210﹣15﹣1＝194種，D錯(cuò)誤；故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）若2≤m≤n，m，n∈N*，則下列等式中正確的有（）A．C＝C+C B．mC＝nC C．A＝mA D．A+mA＝A【分析】由題意利用排列數(shù)公式的計(jì)算公式，可得結(jié)論．【解答】解：2≤m≤n，m，n∈N*，由做合數(shù)的性質(zhì)可得C＝C+，故A正確；∴mC＝m?＝，而n＝n?＝，故mC＝n，故B正確；∵A＝n（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1），mA＝m（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1），故C錯(cuò)誤；∵A+mA＝n?（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1）+m?n?（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+2）＝[n（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+2）][（n﹣m+1）+m]＝（n+1）?n（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+2）；而A＝（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m），故A+mA≠A，故D錯(cuò)誤，故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中當(dāng)題．（多選）11．（5分）若函數(shù)f（x）＝xln（x+2），則（）A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 B．f（x）有兩個(gè)零點(diǎn) C．f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處切線的斜率為﹣1 D．f（x）是奇函數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷A，解方程判斷B，計(jì)算f′（﹣1）的值判斷C，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷D．【解答】解：∵f（x）＝xln（x+2），∴x+2＞0，∴函數(shù)f（x）的定義域是（﹣2，+∞），對(duì)于A：f′（x）＝ln（x+2）+，x＞0時(shí)，ln（x+2）＞0，＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：令f（x）＝0，即xln（x+2）＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，故函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：斜率k＝f′（﹣1）＝ln（﹣1+2）+＝﹣1，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)的定義域是（﹣2，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，是中檔題．（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cosx，g（x）＝f（x）﹣a，則（）A．當(dāng)a＝5時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)a＝4時(shí)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)a＝2時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)a＝3時(shí)，g（x）有四個(gè)零點(diǎn)【分析】由題意知f（x）＝，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，推出f（x）的單調(diào)性和值域，然后作出函數(shù)f（x）的草圖，根據(jù)函數(shù)y＝f（x）與y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得解．【解答】解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cosx＝，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f'（x）＝﹣2﹣2sinx≤0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（﹣1）＝2+2cos（﹣1）＝2+2cos1∈（3，4），當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）＝2+2cosx為偶函數(shù)，在[﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1]上單調(diào)，∴f（x）∈[f（1），f（0）]，即f（x）∈[2+2cos1，4]?（3，4]，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＝2﹣2sinx≥0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）＝2+2cos1∈（3，4），由此作出函數(shù)f（x）的草圖如下所示，由圖可知，當(dāng)a＝5時(shí)，函數(shù)y＝f（x）與y＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，即g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確；當(dāng)a＝4時(shí)，函數(shù)y＝f（x）與y＝a有三個(gè)交點(diǎn)，即g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，即選項(xiàng)B正確；當(dāng)a＝2或a＝3時(shí)，函數(shù)y＝f（x）與y＝a沒有交點(diǎn)，即g（x）沒有零點(diǎn)，即選項(xiàng)C和D均錯(cuò)誤，故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，還涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，理解函數(shù)的零點(diǎn)與兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）寫出一個(gè)滿足條件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函數(shù)f（x）＝x3．【分析】由題意可知滿足條件的是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)，從而可寫出一個(gè)滿足題意的函數(shù)．【解答】解：由條件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0，可知滿足條件的是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)．根據(jù)此分析可知函數(shù)f（x）＝x3滿足條件，故答案為：x3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，考查學(xué)生的分析推理及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有20種．（用數(shù)字作答）【分析】根據(jù)題意，該問題是組合問題，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，假設(shè)有6個(gè)位置，在其中任選3個(gè)，安排三個(gè)“陽爻”，有C63＝20種情況，即該重卦可以有20種情況，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意正確理解題意，轉(zhuǎn)化為排列或組合問題，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）如圖，煤場(chǎng)的煤堆形如圓錐，設(shè)圓錐母線與底面所成角為α＝，傳輸帶以0.9m3/min的速度送煤，則r關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是r＝，當(dāng)半徑為3m時(shí)，r對(duì)時(shí)間t的變化率為．【分析】由題意可得tanα＝，從而可得h＝r，利用圓錐的體積公式即可求解r關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，對(duì)t求導(dǎo)，由t＝3可得對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t0，代入導(dǎo)函數(shù)中即可求解變化率．【解答】解：由題意值，tanα＝，所以h＝rtanα＝rtan＝r，設(shè)tmin時(shí)煤堆的體積為V，則V＝πr2h＝πr3＝0.9t，①所以r＝，②對(duì)t求導(dǎo)可得r′（t）＝，③當(dāng)r＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t0，由①得t0＝10π，代入③式可得r′（t）＝＝＝×＝．故答案為：r＝；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐體積公式，變化率，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，則實(shí)數(shù)a的值是．【分析】問題轉(zhuǎn)化為求直線y＝ex上的動(dòng)點(diǎn)到曲線y＝lnx的最小距離，得到關(guān)于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，∴函數(shù)f（x）可看作動(dòng)點(diǎn)M（x，lnx）與動(dòng)點(diǎn)N（﹣a，﹣ea）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在y＝lnx的圖像上，N在y＝ex的圖像上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y＝lnx，得y′＝＝e，則x＝，故曲線上的點(diǎn)M（，﹣1）到直線y＝ex距離的最小值是d＝，則f（x）≥，根據(jù)題意若存在x0，使得f（x0）≤，則f（x0）＝，此時(shí)N恰為垂足，由KMN＝﹣，故＝﹣，解得：a＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）若3A﹣6A＝4C，求n；（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展開式中x3的系數(shù)．（用數(shù)字表示結(jié)果）【分析】（1）直接利用排列數(shù)以及組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可，（2）直接利用二項(xiàng)式定理求解即可．【解答】解：（1）∵3A﹣6A＝4C，∴3n（n﹣1）（n﹣2）﹣6n（n﹣）＝4×＝2n（n+1）?3n2﹣17n+10＝0?n＝5（舍），即n為5，（2）由題意可得：展開式中x3的系數(shù)為：+……+＝+……+＝＝330．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展開式中x3的系數(shù)：330．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查二項(xiàng)式定理以及排列數(shù)，組合數(shù)的應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)的綜合考查．18．（12分）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）在組成的四位數(shù)中，求大于2000的自然數(shù)個(gè)數(shù)；（3）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①三位偶數(shù)的個(gè)位必須是2或4，②在剩下的4個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，作為三位數(shù)的百位、十位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①要求四位數(shù)大于2000，其千位數(shù)字必須為2、3、4、5，有4種情況，②在剩下的4個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，作為三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①選出1個(gè)偶數(shù)，夾在兩個(gè)奇數(shù)之間，②將這個(gè)整體與其他2個(gè)數(shù)字全排列，排除其中有2個(gè)偶數(shù)夾在奇數(shù)之間的情況，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①三位偶數(shù)的個(gè)位必須是2或4，有2種情況，②在剩下的4個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，作為三位數(shù)的百位、十位，有A42＝12種情況，則有2×12＝24個(gè)三位偶數(shù)，（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①要求四位數(shù)大于2000，其千位數(shù)字必須為2、3、4、5，有4種情況，②在剩下的4個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，作為三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位，有A43＝24種情況，則有4×24＝96個(gè)符合題意的四位數(shù)；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①選出1個(gè)偶數(shù)，夾在兩個(gè)奇數(shù)之間，有A32C21＝12種情況，②將這個(gè)整體與其他2個(gè)數(shù)字全排列，有A33＝6種情況，其中有2個(gè)偶數(shù)夾在奇數(shù)之間的情況有2種，則有6﹣2＝4種恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的情況，故有12×4＝48個(gè)符合題意的五位數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知函數(shù)f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求f（7，x）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，①求ai；②求ai（0≤i≤10，i∈N）的最大值．【分析】（1）由已知寫出f（7，x）的關(guān)系式，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）①求出f（10，x）的展開式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)已知即可求出m的值，進(jìn)而可以求出ar的通項(xiàng)公式，由此即可求解；②設(shè)a為ai（0≤i≤10）中的最大值，則，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出r的值，進(jìn)而可以求解．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時(shí)，f（7，x）＝（1+）7的展開式共有8項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)或第五項(xiàng)，所以T或T；（2）①f（10，x）＝（）10的通項(xiàng)公式為Tr+1＝C（）10﹣r（r＝2x﹣r，且f（10，x）＝a，所以的系數(shù)為a＝180，解得m＝2，所以f（10，x）的通項(xiàng)公式為T，所以ar＝2，當(dāng)r＝0時(shí)，a0＝1，令x＝1，，②設(shè)a為ai（0≤i≤10）中的最大值，則，解得，即，r∈N，所以r＝7，所以（ai）max＝a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+x2﹣x+．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線f（x）上過點(diǎn)（1，f（1））的切線方程；（2）若f（x）___，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．①在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)減函數(shù)；②在（，2）上存在減區(qū)間；③在區(qū)間（m，+∞）上存在極小值．【分析】（1）使用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出切線方程；（2）選擇其中一個(gè)條件，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，從而求解得出結(jié)果．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，f（x）＝，所以f（1）＝0，則有①當(dāng)點(diǎn)（1，f（1））為切點(diǎn)時(shí)，f'（x）＝x2+x﹣1?f'（1）＝1，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，函數(shù)在點(diǎn)（1，0）處的切線方程即為：y＝x﹣1；②當(dāng)（1，0）不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則可得切線方程為：y﹣y0＝f'（x0）（x﹣x0），因?yàn)椋?，所以切線方程即為：，代入點(diǎn)（1，0）化簡(jiǎn)可得，，解之可得，，?切線方程為：，綜上可得，過點(diǎn)（1，0）的切線方程為x﹣y﹣1＝0，或11x+16y﹣11＝0．（2）∵f'（x）＝x2+mx﹣1，∴若選①函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)減函數(shù)，則有：f'（x）≤0在區(qū)間（m，m+1）上恒成立，即x2+mx﹣1≤0在（m，m+1）上恒成立，∴，解之可得；若選②函數(shù)f（x）在（，2）上存在減區(qū)間，則有：f'（x）＜0在區(qū)間（，2）上有解，即得在區(qū)間（，2）上有解，此時(shí)令g（x）＝，因?yàn)間（x）在區(qū)間（，2）上單調(diào)遞減，所以g（x）＜g（）＝，故有m＜；若選③函數(shù)在區(qū)間（m，+∞）上存在極小值，則有：函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)應(yīng)落在（m，+∞）；令f'（x）＝x2+mx﹣1＝0，求得，，此時(shí)可得，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增；在（x1，x2）上單調(diào)遞減；所以x＝x2是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，即得?，所以當(dāng)m≤0時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)m＞0時(shí)，m2+4＞9m2，解之可得0＜m＜，綜上可得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合使用，同時(shí)考查學(xué)生邏輯推理和計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，x∈[0，π]．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的最值；（2）若f（x）+x2≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為x﹣sinx+x2≥0對(duì)x∈[0，π]恒成立，令g（x）＝x﹣sinx+x2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的最值確定a的取值范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝﹣sinx，f′（x）＝﹣cosx，x∈[0，π]，令f′（x）＝0，得cosx＝，x∈[0，π]，解得：x＝，x，f′（x），f（x）的變化如下：x0（0，）（，π）πf′（x）﹣0+f（x）遞減極小值遞增而f（0）＝0，f（）＝﹣，f（π）＝，故f（x）max＝，f（x）min＝﹣．（2）f（x）+x2≥0即x﹣sinx+x2≥0對(duì)x∈[0，π]恒成立，令g（x）＝x﹣sinx+x2，g′（x）＝﹣cosx+2x，令h（x）＝g′（x）＝﹣cosx+2x，則h′（x）＝sinx+2＞0，h（x）在[0，π]上單調(diào)遞增，故h（x）min＝h（0）＝﹣1，h（x）max＝h（π）＝+1+2π；①當(dāng)h（π）＝+1+2π≤0即a≤﹣4π﹣2時(shí)，h（x）≤0即g′（x）≤0，g（x）在[0，π]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）＝0，不合題意，舍；②當(dāng)h（π）＝+1+2π＞0，h（0）＝﹣1＜0即﹣4π﹣2＜a＜2時(shí)，存在x0∈（0，π），使得h（x0）＝0，又h（x）在[0，π]上單調(diào)遞增，故x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0即g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，x∈（x0，π）時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合題意，舍，③當(dāng)h（0）＝﹣1≥0即a≥2時(shí)，h（x）≥h（0）≥0，即g′（x）≥0，g（x）