平面向量的概念及線性運(yùn)算37883

平面向量的概念及線性運(yùn)算37883平面向量的概念及線性運(yùn)算37883/NUMPAGES29平面向量的概念及線性運(yùn)算37883平面向量的概念及線性運(yùn)算37883§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或稱______)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為_(kāi)_____的向量；其方向是任意的記作______單位向量長(zhǎng)度等于________的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向____或____的非零向量0與任一向量______或共線共線向量__________________的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度______且方向______的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度______且方向____的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝____________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝____________.減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差________法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝________；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝______λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_______3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得______.[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1.向量的兩要素向量具有大小和方向兩個(gè)要素.用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān)系.同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量.或者說(shuō)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而沒(méi)有誰(shuí)大誰(shuí)小之說(shuō)，即向量不能比較大小.2.向量平行與直線平行的區(qū)別向量平行包括向量共線和重合的情況，而直線平行不包括共線的情況.因而要利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.1.化簡(jiǎn)eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MS,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))的結(jié)果為_(kāi)_______.2.在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝____________.3.下列命題：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；④相等向量一定共線.其中不正確命題的序號(hào)是________.4.已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______.5.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D.2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.探究提高(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(3)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.(5)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量.判斷下列命題是否正確，不正確的請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a與b方向相同，則a＝b；(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上；(7)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等.題型二向量的線性運(yùn)算例2在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).探究提高(1)解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問(wèn)題間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.在△ABC中，E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).題型三平面向量的共線問(wèn)題例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.探究提高(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a、b如圖所示，△ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取一點(diǎn)M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))時(shí)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，試確定λ的值.11.用方程思想解決平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題試題：(14分)如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up6(→)).審題視角(1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.(2)既然eq\o(OM,\s\up6(→))能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb.(3)利用共線定理建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b. [3分]又∵A、M、D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線.∴存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)). [5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t,n＝\f(t,2)))，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.① [7分]又∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三點(diǎn)共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線. [10分]∴存在實(shí)數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up6(→))＝t1eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1,n＝t1))，消去t1得，4m＋n＝1.② [12分]由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b. [14分]批閱筆記(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過(guò)程復(fù)雜，有一定的難度.(2)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問(wèn)題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題學(xué)生易忽視A、M、D共線和B、M、C共線這個(gè)幾何特征.(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì).方法與技巧1.將向量用其它向量(特別是基向量)線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ).2.可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題.如eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且AB與CD不共線，則AB∥CD；若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，則A、B、C三點(diǎn)共線.失誤與防范1.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2.在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1.給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D2.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B.eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝03.已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ()A.k＝1且c與d同向B.k＝1且c與d反向C.k＝－1且c與d同向D.k＝－1且c與d反向二、填空題4.設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)_______.5.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.6.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.三、解答題7.如圖，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))、eq\o(ON,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).8.若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在()A.△ABC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上2.已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m等于 ()A.2 B.3C.4 D.53.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的 ()A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心二、填空題4.已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，則在下列四個(gè)條件中，能使a、b共線的條件是__________(將正確的序號(hào)填在橫線上).①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e②存在相異實(shí)數(shù)λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)；④若四邊形ABCD是梯形，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線.5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為_(kāi)_____.6.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.7.已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.三、解答題8.已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn).(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ過(guò)△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.

答案要點(diǎn)梳理1.大小方向長(zhǎng)度模零01個(gè)單位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四邊形(1)b＋a(2)a＋(b＋c)三角形(1)|λ||a|(2)相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.b＝λa基礎(chǔ)自測(cè)1.eq\o(OS,\s\up6(→))2.b－eq\f(1,2)a3.①②③4.－25.A題型分類·深度剖析例1②③變式訓(xùn)練1解(1)不正確，因?yàn)橄蛄恐挥懻撓嗟群筒坏?，而不能比較大小.(2)不正確，因?yàn)橄蛄磕Ｏ嗟扰c向量的方向無(wú)關(guān).(3)正確.(4)不正確，因?yàn)橐?guī)定零向量與任意向量平行.(5)不正確，因?yàn)閮烧咧腥粲辛阆蛄浚阆蛄康姆较蚴侨我獾?(6)不正確，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，而AB與CD可以不共線即AB∥CD.(7)正確.(8)不正確，因?yàn)榱阆蛄靠梢耘c它的相反向量相等.例2解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.變式訓(xùn)練2解eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,2)b.又eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(1－m)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)a＋(1－m)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(m,2),1－m＝\f(λ,2)))，解得λ＝m＝eq\f(2,3)，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.例3(1)證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線.(2)解∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.變式訓(xùn)練3eq\f(1,2)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1.C2.B3.D4.－15.eq\f(4,3)6.eq\f(3,11)7.解∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.又eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.即eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.8.解設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A、B、C三點(diǎn)共線，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).即－eq\f(2,3