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電力應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)部王玲

二矩陣的初等變換和矩陣的秩1.矩陣的初等變換定義對(duì)m×n矩陣施以以下變換均稱(chēng)為矩陣的初等變換初等行變換1)對(duì)調(diào)兩行；2)以非零數(shù)k乘某行的所有元素3)把某一行的所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去.如果A僅經(jīng)過(guò)初等行變換得到B.記為：例如1）若矩陣某一行的元素不全為零，則稱(chēng)該行為非零行2、行階梯陣2）若矩陣某一行的元素全為零，則稱(chēng)該行為零行3）滿足以下兩條件的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣：（1）非零行一定排在零行之上；（2）每一非零行的首非零元素出現(xiàn)在上一非零行首非零元素的右邊。4）滿足以下三個(gè)條件的矩陣稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣：例如：下列矩陣為行階梯陣行階梯陣的特點(diǎn)：每一非零行的第一個(gè)非零元向下的元素（若有的話）全為零.（1）一定是階梯形矩陣；（2）首非零元素為1，首非零元素所在的列的其余元素全為零。例如：下列矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣的特點(diǎn)：一定是行階梯形矩陣；首非零元素為1首非零元素所在的列的其余元素全為零。

例1將矩陣化為行階梯形.行階梯形練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們將上面階梯形矩陣化為最簡(jiǎn)形3、矩陣的秩（1）設(shè)A為一m×n矩陣,在A中任取k行、k列,將位于這些行,列交叉處的k2個(gè)元素,按其原有位置次序構(gòu)成的k階行列式,稱(chēng)為A的一個(gè)k階子式.

（2）設(shè)A為一m×n矩陣,如果A有一個(gè)r階子式Dr≠0,且所有的r+1階子式都等于0,則稱(chēng)數(shù)r為A的秩,記為R(A)或ran(A).并規(guī)定零矩陣的秩為0.

例2求矩陣的秩

解A為一階梯形矩陣,其非零行只有2行,故其所有三階子式全為0.此外,又至少有A的一個(gè)二階子式所以，R(A)=2.

定理1:如果A僅經(jīng)過(guò)初等行變換得到B,(A→B),則R(A)=R(B).

由上面定理可知：初等行變換不會(huì)改變矩陣的秩例3設(shè)求矩陣A的秩

可見(jiàn),階梯形矩陣B的非零行有3行.因此R(A)

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