典型的代數(shù)系統(tǒng)

1典型的代數(shù)系統(tǒng)214.3幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)14.3.1半群與獨(dú)異點(diǎn)14.3.2群14.3.3環(huán)與域14.3.4格與布爾代數(shù)3半群與獨(dú)異點(diǎn)的定義與實(shí)例半群與獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算半群與獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)和積代數(shù)半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)

半群與獨(dú)異點(diǎn)4半群與獨(dú)異點(diǎn)的定義定義設(shè)V=<S,°>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運(yùn)算，如果°運(yùn)算是可結(jié)合的，那么稱V為半群.設(shè)V=<S,°>是半群，假設(shè)e∈S是關(guān)于運(yùn)算的單位元，那么稱V是含幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn).有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作V=<S,°,e>.5實(shí)例例1(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群，+是普通加法,其中除<Z+,+>外都是獨(dú)異點(diǎn).(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù),<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群和獨(dú)異點(diǎn)，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法.(3)<P(B),>，其中為集合的對(duì)稱差運(yùn)算.為半群，也是獨(dú)異點(diǎn).(4)<Zn,>,其中Zn={0,1,…,n1}，為模n加法.為半群，也是獨(dú)異點(diǎn).(5)<AA,°>其中°為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.為半群，也是獨(dú)異點(diǎn).(6)<R*,°>其中R*為非零實(shí)數(shù)集合，°運(yùn)算定義如下：x,y∈R*,x°y=y.為半群.6定義(1)在半群<S,°>中，x∈S，規(guī)定：x1=x，xn+1=xn°x,n∈Z+(2)在獨(dú)異點(diǎn)<S,°,e>中，x∈S，x0=e，xn+1=xn°x，n∈N用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運(yùn)算規(guī)那么：xn°xm=xn+m，(xn)m=xnm，在半群中m,n∈Z+，在獨(dú)異點(diǎn)中m,nN，半群與獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算7半群與獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)定義半群與獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)分別稱為子半群與子獨(dú)異點(diǎn).判定方法：設(shè)V=<S,°>是半群，TS，T非空，如果T對(duì)V中的運(yùn)算°封閉，那么<T,°>是V的子半群.設(shè)V=<S,°,e>是獨(dú)異點(diǎn)，TS，T非空，如果T對(duì)V中的運(yùn)算°封閉，而且e∈T，那么<T,°,e>構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn).

8理由:是T的單位元，T本身可以構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)，但不是V2

的子獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)閂2的單位元是e.

實(shí)例例：設(shè)半群V1=<S,·>，獨(dú)異點(diǎn)V2=<S,·,e>.其中·為矩陣乘法，e為2階單位矩陣,且

，那么TS，且T是V1=<S,·>的子半群，但不是子獨(dú)異點(diǎn)。9半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)定義(1)設(shè)V1=<S1,°>，V2=<S2,?>是半群，f:S1→S2.假設(shè)對(duì)任意的x,y∈S1有f(x°y)=f(x)?f(y)那么稱f為半群V1到V2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài).(2)設(shè)V1=<S1,°,e1>，V2=<S2,?,e2>是獨(dú)異點(diǎn)，f:S1→S2.假設(shè)對(duì)任意的x,y∈S1有f(x°y)=f(x)?f(y)且f(e1)=e2,那么稱f為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài).10實(shí)例那么f是半群V1=<S,·>的自同態(tài)，但不是獨(dú)異點(diǎn)V2=<S,·,e>的自同態(tài)，因?yàn)閒(e)e.

設(shè)半群V1=<S,·>，獨(dú)異點(diǎn)V2=<S,·,e>.其中·為矩陣乘法，e為2階單位矩陣,且

令1114.3幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)14.3.1半群與獨(dú)異點(diǎn)14.3.2群14.3.3環(huán)與域14.3.4格與布爾代數(shù)12群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群13群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群14群的定義與實(shí)例定義設(shè)<G,°>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運(yùn)算.如果°運(yùn)算是可結(jié)合的，存在單位元e∈G，并且對(duì)G中的任何元素x都有x1∈G，那么稱G為群.實(shí)例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是群.<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.<P(B),>是群，為對(duì)稱差運(yùn)算.<Zn,>，也是群.Zn={0,1,…,n1}，為模n加.15Klein四元群設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群

eabc

eabc

eabcaecbbceacbae運(yùn)算表特征：對(duì)稱性---運(yùn)算可交換主對(duì)角線元素都是幺元

---每個(gè)元素是自己的逆元

a,b,c中任兩個(gè)元素運(yùn)算都等于第三個(gè)元素.

16群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群17

群中的術(shù)語(yǔ)定義(1)假設(shè)群G是有窮集，那么稱G是有限群，否那么為無限群.群G中的元素個(gè)數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)假設(shè)群G中的二元運(yùn)算是可交換的，那么稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.

實(shí)例：(1)<Z,+>和<R,+>是無限群(2)<Zn,>是有限群，也是n階群(3)Klein四元群是4階群(4)n階(n≥2)實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法(1)(2)(3)都是交換群；(4)是非交換群.18【例】設(shè)<G,*>是群，那么<G,*>是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的a,bG,有(a*b)2=a2*b2。證明:(1)“〞設(shè)<G,*>是阿貝爾群，下證對(duì)任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。對(duì)任意的a,bG，有a*b=b*a，因此，(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)也就是(a*b)2=a2*b2，得證。Abel群——實(shí)例19(2)“〞設(shè)對(duì)任意a,bG，有(a*b)2=a2*b2，下證<G,*>是阿貝爾群。a?b=e*(a*b)*e=(a–1*a)*(a*b)*(b*b–1)=a–1?(a?(a*b)*b)*b–1=a–1*((a*a)*(b*b))*b–1=a–1?((a*b)*(a*b))*b–1=(a–1?a)*(b*a)*(b*b–1)=e*(b*a)*e=b*a即得a*b=b*a，因此群<G,*>是阿貝爾群。Abel群——實(shí)例20群中的術(shù)語(yǔ)(續(xù))定義設(shè)G是群，x∈G，n∈Z，那么x的n次冪xn定義為實(shí)例在<Z3,>中有23=?(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3=?23=2+2+2=6

21定義14.17設(shè)G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整數(shù)k稱為x的階〔或周期〕，記作|x|=k，稱x為k階元.假設(shè)不存在這樣的正整數(shù)k，那么稱x為無限階元.

實(shí)例〔1〕在<Z6,>中，0,1,2,3,4,5分別是幾階元？2和4是3階元，3是2階元，1和5是6階元0是1階元〔2〕在<Z,+>中，整數(shù)集合中元素分別是幾階元？0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在，都是無限階元.群中的術(shù)語(yǔ)(續(xù))22【例】求證：群中不可能有零元。證明：(1)當(dāng)群的階為1時(shí)，唯一元素為幺元。(2)設(shè)|G|＞1且假設(shè)群<G,*>有零元θ。那么

xG，都有x?θ=θ?x=θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，這與<G,*>是群相矛盾。【思考】寫出群<N17?0,×17>中各元素的階數(shù)。群——實(shí)例23群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群24群的性質(zhì)---冪運(yùn)算規(guī)那么定理14.3設(shè)G為群,那么G中的冪運(yùn)算滿足：(1)x∈G，(x1)1=x.(2)x,y∈G，(xy)1=y1x1.(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.(5)假設(shè)G為交換群，那么(xy)n=xnyn.證：(1)(x1)1是x1的逆元，x也是x1的逆元.根據(jù)逆元的唯一性，等式得證.(2)(y1x1)(xy)=y1(x1x)y=y1y=e,同理(xy)(y1x1)=e，故y1x1是xy的逆元.根據(jù)逆元的唯一性等式得證.25

等式(5)只對(duì)交換群成立.如果G是非交換群，那么

群的性質(zhì)---冪運(yùn)算規(guī)那么(續(xù))說明：

(3)(4)(5)的證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于自然數(shù)n和m證等式為真，然后討論n或m為負(fù)數(shù)的情況.(2)中的結(jié)果可以推廣到有限多個(gè)元素的情況，即

26群的性質(zhì)---群方程存在唯一解定理

G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有唯一解.

證：(1)存在性：a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是該方程的解.(2)下面證明唯一性.假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可證ba1

是方程ya=b的唯一解.例設(shè)群G=<P({a,b}),>，其中為對(duì)稱差.群方程

{a}X=，Y{a,b}=的解X={a}1={a}={a}，

Y={a,b}1={a,b}={a}27群的性質(zhì)---消去律定理G為群，那么G中適合消去律，即對(duì)任意a,b,c∈G有(1)假設(shè)ab=ac，那么b=c.(2)假設(shè)ba=ca，那么b=c.證(1)ab=aca1(ab)=a1(ac)(a1a)b=(a1a)cb=c(2)同理可證.例1設(shè)G={a1,a2,…,an}是n階群，令aiG={aiaj|j=1,2,…,n}證明aiG=G.證:由群中運(yùn)算的封閉性有aiGG.假設(shè)aiGG，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得aiaj=aiak〔j≠k〕由消去律得aj=ak,與|G|=n矛盾.28群中元素階的性質(zhì)定理14.6G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，那么

(1)ak=e當(dāng)且僅當(dāng)r|k

(2)|a1|=|a|證(1)充分性.由r|k，必存在整數(shù)m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.〔反證法〕根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得k=mr+i,0<i≤r1從而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai因?yàn)閨a|=r，必有i=0.這就證明了r|k.(2)由(a1)r=(ar)1=e1=e,可知a1的階存在.令|a1|=t，根據(jù)上面的證明有t|r.a又是a1的逆元，所以r|t.從而證明了r=t，即|a1|=|a|.29群性質(zhì)的應(yīng)用例2證明單位元為群中唯一冪等元.證設(shè)G為群.首先證存在性：顯然ee=e；再證唯一性：設(shè)a為G中冪等元.那么aa=a，從而得到aa=ae.根據(jù)消去律得a=e.例3設(shè)G為群，如果aG都有a2=e,證明G為Abel群.證a2=ea=a1任取x,yG，xy=(xy)1=y1x1=yx因此G為Abel群.30群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群31子群的定義定義14.18設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，那么稱H是G的子群,記作H≤G.假設(shè)H是G的子群，且HG，那么稱H是G的真子群，記作H<G.

實(shí)例nZ〔n是自然數(shù)〕是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當(dāng)n≠1時(shí),nZ是Z的真子群.對(duì)任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

32子群判定定理判定定理一定理設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab∈H，a∈H有a1∈H.

證：必要性顯然，只證充分性.由于H非空，存在a屬于H,因此有a1屬于H.根據(jù)必有aa1屬于H,即e屬于H.H滿足子群定義.實(shí)例：求證nZ是整數(shù)加群<Z,+>的子群.證明：顯然nZ是Z的非空子集.因?yàn)閚屬于nZ.nk,nl∈nZ,有封閉性：nk+nl=n(k+l)，n(k+l)nZ，逆元存在：nknZ根據(jù)判定定理，nZ是整數(shù)加群的子群.33子群判定定理(續(xù))判定定理二定理設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab1∈H.

證明：只證充分性.由于H非空，必有x∈H.由有xx1∈H，從而得到e∈H.任取H中元素a,由e,a∈H得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H,必有b1∈H，從而得到a(b1)1∈H，即ab∈H.根據(jù)判定定理一得證.34判定定理三定理設(shè)G,*>是群，A是G的非空子集，如果A是一個(gè)有限集，只要運(yùn)算*在A上封閉，那么<A,*>是G,*>的子群。證明：G,*是群，那么G,*是半群，A,*是半群。以下證明A中有幺元e且A中每一個(gè)元素都有逆元。⑴證明A中有幺元e。子群判定定理(續(xù))

bA，因?yàn)檫\(yùn)算*在A上封閉，所以

b2=b*bAb3=b2*bA

…

35由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨設(shè)i＜j，使得bi=bj

從而有bi=bi*bj–i和bi=bj–i*bi

根據(jù)群中的消去律得bj–i=e，即bj–i是群G,*的幺元。且這個(gè)幺元也在G的非空子集A中。⑵證明S中每一個(gè)元素都有逆元。如果j–i＞1，那么bj–i=b*bj–i–1和bj–i=bj–i–1*b，即bj–i–1是b的逆元，b–1=bj–i–1且bj–i–1A。如果j–i=1，b=bj–i，那么b是幺元。所以b–1=b。子群判定定理(續(xù))36解:作N6=0,1,2,3,4,5上模6加法＋6的運(yùn)算表，如表1所示。取N6的子集S1=0,2,4和S2=0,3，它們的運(yùn)算表是表2和表3。從表中可以看出,模6加法＋6在S1和S2上封閉。所以<S1,＋6>和<S2,＋6>是群<N6,＋6>的子群。表1+6012345001234511234502234501334501244501235501234表2+603003330表3+6024002422404402【例】求群<N6,＋6>的所有非平凡子群。37重要子群的實(shí)例生成子群定義設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，那么H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證：首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，那么

am(al)1=amal=aml∈<a>根據(jù)判定定理可知<a>≤G.實(shí)例：(1)整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z(2)群<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}(3)Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.38群G的中心C：設(shè)G為群,C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，那么C是G的子群，稱為G的中心.證:e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1

=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知C≤G。得證。注明:(1)對(duì)于阿貝爾群G，G的中心就等于G.(2)對(duì)某些非交換群G，它的中心是{e}.重要子群的實(shí)例(續(xù))39子群格定義設(shè)G為群，令S={H|HG}是G的所有子群的集合，定義S上的偏序?，x,yS,x?yxy，那么<S,?>構(gòu)成格，稱為G的子群格.實(shí)例Klein四元群G和<Z6,>的子群格如以下圖所示<3><2><1><0>40子群習(xí)題1、設(shè)<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群。證明<H∩K,*>也是<G,*>的子群。2、設(shè)E是所有偶數(shù)組成的集合，證明<E,+>是<Z,+>的子群。3、設(shè)<G,*>是群，<A,*>和<B,*>是<G,*>的子群，令A(yù)B=a*b|aA,bB，BA=b*a|aA,bB那么<AB,*>是<G,*>的子群當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA。41群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群42群同態(tài)的定義與分類定義設(shè)G1,G2是群，f:G1→G2，假設(shè)a,b∈G1都有f(ab)=f(a)f(b)那么稱f是群G1到G2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài).如果同態(tài)f為單射函數(shù)，那么稱為單同態(tài);如果是滿射函數(shù)，那么稱為滿同態(tài)，記作G1G2;如果是雙射函數(shù)，那么稱為同構(gòu)，記作G1G2.43群同態(tài)的實(shí)例例4(1)G1=<Z,+>是整數(shù)加群，G2=<Zn,>是模n的整數(shù)加群.令f:Z→Zn，f(x)=xmodn，f是G1到G2的滿同態(tài).x,y∈Zf(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)(2)設(shè)G=<Zn,>是模n整數(shù)加群，可以證明恰有n個(gè)G的自同態(tài)，即fp:Zn→Zn,

fp(x)=(px)modn，p=0,1,…,n1(3)設(shè)G1,G2是群，e2是G2的單位元.f:G1→G2，f(a)=e2，a∈G1.那么f是G1到G2的同態(tài)，稱為零同態(tài).a,b∈G1有

f(ab)=e2=e2e2=f(a)f(b)(4)G為群，a∈G.令f:G→G,f(x)=axa1，x∈G那么f是G的自同構(gòu)，稱為G的內(nèi)自同構(gòu).44群同態(tài)的性質(zhì)【例】設(shè)f是群G1到G2的同態(tài)映射，那么(1)f(e1)=e2,e1和e2分別是G1和G2的單位元(2)xG1，f(x1)=f(x)1(3)設(shè)HG1,那么f(H)G2證明:(1)f(e1)f(e1)=f(e1e1)=f(e1)=f(e1)e2f(e1)=e2(2)f(x)f(x1)=f(xx1)=f(e1)=e2f(x-1)f(x)=f(x1x)=f(e1)=e2(3)e2f(H),f(H).a,bf(H),x,yH,使得f(x)=a,f(y)=bab1=f(x)f(y)1=f(xy1)xy1Hf(xy1)f(H)ab1f(H)45例題例5

給出Klein四元群上所有的自同態(tài)解G={e,a,b,c}，因?yàn)橥瑧B(tài)f

滿足f(e)=e，因此只可能有以下6個(gè)雙射函數(shù)可能是同態(tài)映射:

f1(a)=b,f1(b)=a,f1(c)=c;

f2(a)=c,f2(b)=b,f2(c)=a;

f3(a)=a,f3(b)=c,f3(c)=b;

f4(a)=b,f4(b)=c,f4(c)=a;f5(a)=c,f5(b)=a,f5(c)=b;

f6=IG，這六個(gè)函數(shù)都是雙射，只需驗(yàn)證它們都是G上的同態(tài)映射.請(qǐng)自己驗(yàn)證。f(x)eabcf1ebacf2ecbaf3eacbf4ebcaf5ecabf6eabc4646例題例6

設(shè)G1=<Q*,>,G2=<Q,+>,證明不存在G1到G2的同態(tài).證：假設(shè)存在G1到G2的同態(tài)f,那么f(1)=0.因此

f(1)+f(1)=f((1)(1))=f(1)=0

f(1)=0與f的雙射性矛盾.

47群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群48循環(huán)群的定義定義設(shè)G是群，假設(shè)存在a∈G使得

G={ak|k∈Z}那么稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

實(shí)例整數(shù)加群G=<Z,+>=<1>=<1>模6加群G=<Z6,>=<1>=<5>49循環(huán)群的分類設(shè)循環(huán)群G=<a>，根據(jù)生成元a的階可以分成兩類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群.設(shè)G=<a>是循環(huán)群，假設(shè)a是n階元，那么

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.假設(shè)a是無限階元，那么

G={a±0=e,a±1,a±2,…}這時(shí)稱G為無限循環(huán)群.

50循環(huán)群的生成元定理14.9設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)假設(shè)G是無限循環(huán)群，那么G只有兩個(gè)生成元，即a和a1.

(2)假設(shè)G是n階循環(huán)群，那么G含有(n)個(gè)生成元.對(duì)于任何小于n且與n互質(zhì)的自然數(shù)r,ar是G的生成元.(n)為歐拉函數(shù),表示{0,1,…,n1}中與n互素的整數(shù)個(gè)數(shù).實(shí)例(18)=6，與18互素的正整數(shù)為1,5,7,11,13,17.51例7(1)設(shè)G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，那么(12)=4.小于或等于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理可知a,a5,a7和a11是G的生成元.(2)設(shè)G=<Z9,>是模9的整數(shù)加群，那么(9)=6.小于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設(shè)G=3Z={3z|z∈Z},G上的運(yùn)算是普通加法.那么G只有兩個(gè)生成元：3和3.循環(huán)群的生成元(續(xù))52循環(huán)群的子群定理設(shè)G=<a>是循環(huán)群，那么

(1)G的子群仍是循環(huán)群.(2)假設(shè)G=<a>是無限循環(huán)群，那么G的子群除{e}以外都是無限循環(huán)群.(3)假設(shè)G=<a>是n階循環(huán)群，那么對(duì)n的每個(gè)正因子d，G恰好含有一個(gè)d階子群.

53例8

(1)G=<Z,+>是無限循環(huán)群，對(duì)于自然數(shù)m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z<m>={mz|z∈Z

}=mZ，m>0(2)G=Z12是12階循環(huán)群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：

1階子群<12>=<0>={0}2階子群<6>={0,6}3階子群<4>={0,4,8}4階子群<3>={0,3,6,9}6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}12階子群<1>=Z12

循環(huán)群的子群(續(xù))54循環(huán)群的實(shí)例例9

任何循環(huán)群必定是阿貝爾群。證明：設(shè)G,*是循環(huán)群，它的生成元是a，

那么對(duì)于x,yG，必有r,sI，使得x=ar,y=as而

x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此G,*是阿貝爾群。

55循環(huán)群的實(shí)例例10設(shè)G,*是無限循環(huán)群，a是生成元，那么a也是無限階元素。證明：設(shè)a為有限階元，|a|=n，令S=a,a2,…,an，an=e，amG，m=nq＋s，q,s是整數(shù)且0≤s＜n，am=anqs=(an)q*as=(e)q*as=e*as=asS，GS，矛盾。所以a是無限階的。

56循環(huán)群的實(shí)例例11設(shè)G,*是循環(huán)群，a是生成元．假設(shè)H,*是G,*的子群。那么H,*也是循環(huán)群。證明：(1)假設(shè)H,*是G,*的平凡子群，那么H=G或H=e，顯然H,*是循環(huán)群。(2)假設(shè)H,*不是G,*的平凡子群。由于H不空，akH，k≠0(即ak≠e)，(ak)–1H。從而H含有a的某些正整數(shù)次冪，令A(yù)=k|akH∧k≥1∧kI，那么A不空，從而有最小者，設(shè)最小者為r。以下證明ar是子群H,*的生成元。amH，如果r不能整除m，那么m=rq＋s，q是整數(shù)，0＜s＜r，am=arqs=(ar)q*as，as=((ar)q)–1*amH，sA。但s＜r，這與r是A中最小者矛盾。此矛盾說明，amH，r能整除m，即am=arq=(ar)q，所以ar是子群H,*的生成元，H,*也是循環(huán)群。

57群群的定義與實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的性質(zhì)子群的定義及判別群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群置換群58n元置換的定義定義14.21設(shè)S={1,2,…,n},S上的雙射函數(shù):S→S稱為S上的n元置換.一般將n元置換記為

例如S={1,2,3,4,5},那么

都是5元置換.59n元置換的定義由于是雙射，

(a1),(a2),…,(an)都是S的元素且互不相同。因此

(a1),(a2),…,(an)必為a1,a2,…,an的一個(gè)排列。而a1,a2,…,an的排列總數(shù)是n個(gè)，因此集合S上的n元置換有n個(gè)。設(shè)S=a1,a2…,an，集合S上的所有n元置換組成的集合記為Sn。600=

1=

2=

3=4=

5=S3=0,1,2,3,4,5

n元置換的實(shí)例例12設(shè)S=1,2,3，試求集合S上的所有3元置換和S3

解：S上的6個(gè)3元置換為：61k階輪換與對(duì)換定義設(shè)σ是S={1,2,…,n}上的n元置換.假設(shè)

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不變，那么稱σ為S上的k階輪換，記作(i1i2…ik).假設(shè)k=2，稱σ為S上的對(duì)換.例如5元置換

分別是4階和2階輪換σ=(1234),τ=(13),其中τ也叫做對(duì)換62例13

設(shè)S={1,2,…,8},

從σ中分解出來的第一個(gè)輪換式(15236)；第二個(gè)輪換為(4)；第三個(gè)輪換為(78).σ的輪換表示式

σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)用同樣的方法可以得到τ的分解式

τ=(18342)(567)注意：在輪換分解式中，1階輪換可以省略.n元置換分解為輪換63分解成對(duì)換任何n元置換可以分解成對(duì)換的乘積,因?yàn)槿魏屋啌Q都可以表示成對(duì)換乘積.一種可行的表示方法是：

(i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik)例如64奇置換與偶置換注意：輪換分解中的輪換是可以交換的，且分解式是唯一的對(duì)換分解中的對(duì)換不能交換，分解式也不是唯一的，是分解式含有對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性不變.如果一個(gè)n元置換在它的對(duì)換表示式含有偶數(shù)個(gè)對(duì)換，稱為偶置換，否那么稱為奇置換.使用一一對(duì)應(yīng)的思想可以知道奇置換和偶置換的個(gè)數(shù)都是n!/2.65n元置換的乘法與求逆兩個(gè)n元置換的乘法就是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算n

元置換的求逆就是求反函數(shù).例14

設(shè)

使用輪換表示是：

=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)

1=(154)1(23)1=(451)(23)=(14