數(shù)學(xué)的魅力數(shù)學(xué)難題(免費)

幾個著名數(shù)學(xué)問題范圍：古代三大難題；近代三大難題;現(xiàn)代七大幾個著名數(shù)學(xué)問題

的歷史與現(xiàn)狀幾何作圖三大難題化圓為方倍立方體三等分角費馬大定理哥德巴赫猜想四色猜想龐加萊猜想選題原則：典型、重要、著名、合適范圍：古代三大難題；近代三大難題;現(xiàn)代七大希爾伯特第一節(jié)幾何作圖三大難題幾何作圖三大難題InThisSection一家人化圓為方三等分角倍立方體=×2=（公元前5世紀(jì)——1882年）求作一個正方形，其面積等于已知圓的面積這就是化圓為方問題該問題直到1882年才被德國數(shù)學(xué)家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）證明為不可能。這就是著名的“倍立方體問題”，又叫“第羅問題”：求作一個正方體，其體積等于已知正方體體積的兩倍該問題直到1837年才由萬鍥爾（P.L.Wantzel,1814--1848）給出否定的答案。要確定北門和小橋的位置，關(guān)鍵是算出夾角。記a

為南門S與居室H連線SH與河流之間的夾角，則通過幾何知識可以算出北門N南門SH公主居室小橋P河流a?這個問題流傳下來，直到1837年才由萬鍥爾給出否定的答案。這就是著名的“三等分任意角”問題求作一個角，等于已知角的三分之一3三大作圖難題

難在何處？直尺和圓規(guī)能做什么？作圖工具——直尺和圓規(guī)能做什么？直觀地看：（1）通過兩點作直線；（2）以已知點為圓心，已知線段為半徑作圓；（3）定出兩條已知非平行直線的交點；（4）定出兩個已知圓的交點；（5）定出已知直線與已知圓的交點。1837年數(shù)學(xué)家萬鍥爾（P.L.Wantzel,1814--1848）注意到：直線方程是（一次）線性的，而圓的方程是二次的。通過上述五種手段所能做出的交點問題，轉(zhuǎn)化為求一次與二次方程組的解的問題。簡單的代數(shù)知識告訴我們：通過直尺與圓規(guī)所能做出的只能是已知線段（長度）的和、差、積、商以及開平方的有限次組合。三大作圖問題要作什么？（1）“倍立方體”，要作出數(shù)值三大作圖問題的不可能性（2）“化圓為方”，要作出數(shù)值（3）“三等分角”，如果記a=cosA,要作出角度A/3,也必作出相應(yīng)的余弦值x=cos(A/3),由三倍角公式，此值x是方程的解。三大作圖問題是不可能的（1）“倍立方體”，要作出數(shù)值，

“三等分角”，要作出是三次方程的解。1837年萬鍥爾證明，這兩個問題都是用直尺和圓規(guī)不能作出的。（2）“化圓為方”，要作出數(shù)值，1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）證明了是超越數(shù)，隨即解決了“化圓為方”問題的不可能性。其前提是尺規(guī)作圖。如果不限于尺規(guī)，它就會成為可能，目前已知的方法就有好幾種?！叭确纸菃栴}”除了尺規(guī)要求外，還有一點常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，對于某些具體的角度，比如90，它就是可能的。

幾何三大作圖難題是已經(jīng)解決了的，結(jié)論為“不可能”。zwj@第二節(jié)Fermat大定理第二節(jié)

Fermat大定理

方程沒有正整數(shù)解。（1637年——1994年）該書第二卷命題8給出了方程

x2+y2=z2的整數(shù)通解。若m,n

是兩個正整數(shù)，且2mn是完全平方數(shù)，則通解為

1637年，費馬在閱讀這一命題后，在該命題旁邊空白處用拉丁文寫下一段具有歷史意義的批注：

“將一個正整數(shù)的立方表為兩個正整數(shù)的立方和；將一個正整數(shù)的四次方表為兩個正整數(shù)的四次方和；或者，一般地，將一個正整數(shù)的高于二次的冪表為兩個正整數(shù)的同一次冪的和，這是不可能的。對此，我找到了一個真正奇妙的證明，但書頁的空白太小，無法把它寫下?！?/p>

用式子來表達(dá)這段話就是：方程xn+yn=zn(1)在n>2時沒有正整數(shù)解。在費馬去世五年后的1670年，費馬的兒子在整理父親遺留的書籍時，發(fā)現(xiàn)了這一批注，并公開出版。兩個特例：n=3,42新人出擊瑞士人。

18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。世上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。13歲入大學(xué)，17歲取得碩士學(xué)位，30歲右眼失明，60歲完全失明。歐拉

LeonhardEuler

(1707-1783)歐拉（1707-1783）n=4的費馬大定理證明：

無窮遞降法基本思想：（歐拉：1738）假如（1）有正整數(shù)解(a,b,c),即a4+b4

=c4

(2)則在正整數(shù)解中總有使數(shù)c最小者，然后從這組解(a,b,c)出發(fā)，導(dǎo)出一組新的正整數(shù)解(a1,b1,c1)

，而且c1<c

，這與c的最小性相矛盾

費馬發(fā)明了一種“無窮遞降法”，用以給出了一個定理，由這個定理可以給出n=4的情形。這個定理是：邊長為整數(shù)的直角三角形的面積不是一個完全平方數(shù)。用這種方法可以證明方程x4+y4=z2

（3）沒有正整數(shù)解。從而方程（2）也沒有正整數(shù)解。證明依賴于勾股數(shù)的表示（見本課程第3章）。此處從略。法國人。少數(shù)研究數(shù)學(xué)的女性。提出將“費馬大定理”分成兩種情況：

(I) n能整除x、y、z。

(II) n

不能整除x、y、z。索菲婭SophieGermain(1776-1831)新的方向1831年，一位完全靠自學(xué)成材的法國女?dāng)?shù)學(xué)家索菲婭，依靠自己的聰明才智，把結(jié)果向前推進(jìn)了一大步：在x,y,z與n互素的前提下，證明了對所有小于100的奇素數(shù)，費馬大定理成立。

如果n是不超過100的奇素數(shù)，則不存在正整數(shù)組（x,y,z

），使得x,y,z與n互素且滿足方程xn+yn=zn。理想數(shù)的誕生庫墨爾

ErnstEdwardKummer(1810-1893)德國人1845至1847年間，提出了“分圓整數(shù)”、“理想數(shù)”、“正規(guī)質(zhì)數(shù)”等概念。證明當(dāng)n<100時，“費馬大定理”成立。1857年，獲巴黎科學(xué)院頒發(fā)獎金三千法郎。

1847年，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栍靡环N精巧的證明方法，取消了上述“x,y,z與n互素”的條件限制，實現(xiàn)了第一次重大突破。他因此在1857年獲得巴黎科學(xué)院頒發(fā)獎金3000法郎。

如果n是不超過100的奇素數(shù)，則方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。問題轉(zhuǎn)化代數(shù)問題方程xn+yn=zn的正整數(shù)解的可解性代數(shù)問題方程xn+yn=1的正有理數(shù)解的可解性幾何問題平面曲線xn+yn=1上是否有縱橫坐標(biāo)都是正有理數(shù)的所謂的正有理點問題代數(shù)問題方程xn+yn=1的正有理數(shù)解的可解性費馬猜想每條曲線xn+yn=1上沒有正有理點法廷斯證明莫代爾猜想平面曲線分類：（1）有理曲線：包括直線和所有二次曲線；（2）橢圓曲線：即三次曲線y2=x3+ax+b,其中，a,b是整數(shù)，并且方程x3+ax+b=0沒有重根；（3）其它曲線。（比如：平面曲線xn+yn=1，n>2

)

法廷斯證明莫代爾猜想

1922年，英國數(shù)學(xué)家莫代爾提出猜想：

每條第三類曲線上最多只有有限多個有理點1983年，法廷斯證明了莫代爾猜想.

從而每條曲線xn+yn=1上上最多只有有限多個有理點費馬猜想每條曲線xn+yn=1上沒有正有理點差一點兒……符雷的發(fā)現(xiàn)法廷斯證明莫代爾猜想，吸引了許多幾何高手加入研究費馬大定理的行列，為費馬大定理的證明開辟了多條道路，其中德國數(shù)學(xué)家符雷偶然發(fā)現(xiàn)了一條蹊徑：費馬大定理與第二類曲線（橢圓曲線）有密切關(guān)系。志村-谷山-外依猜想關(guān)于（第二類）橢圓曲線，有許多重要猜想，其中一個由日本數(shù)學(xué)家志村和谷山，以及法國數(shù)學(xué)家外依在1950年提出的猜想，稱之為志村-谷山-外依猜想:有理數(shù)域上的每條橢圓曲線都是模曲線。1985年德國數(shù)學(xué)家符雷在一次會議上宣布：如果對某個n>2費馬大定理不成立，他可以具體構(gòu)造一個橢圓曲線，使志村-谷山-外依猜想對這條曲線不成立。因此（逆否命題）若志村-谷山-外依猜想成立，則對所有n>2費馬大定理成立！1997

年6

月27日，外爾斯榮獲德國懸賞的10萬馬克獎金。最后勝利1.Fermat-Catalan猜想

若正整數(shù)m,n,k滿足

1/m+1/n+1/k<1則不定方程xn+ym=zk只有有限多個互素的正整數(shù)解組（a,b,c）.1995年，H.Damon和A.Granville找到了10個這樣的解，它們是：2.Beal猜想若正整數(shù)m,n,k3，則不定方程xn+ym=zk沒有異于（2，2，2）的正整數(shù)解組（a,b,c）。這一猜想是由一個銀行職員AndrewBeal

提出的。他為此提供5千美圓的征解獎金，而且每延長一年，獎金增加5千美圓，最高到5萬美圓。zwj@第三節(jié)Goldbach猜想Goldbach猜想n>2時，2n=p+q,其中，p,q是素數(shù)(1742年——?!)zwj@數(shù)的分解問題

整數(shù)的分解與分拆：對于乘法，

算術(shù)基本定理：任一自然數(shù)都可以唯一分解為若干個素數(shù)之積。數(shù)的分解問題

對于加法，人們也可以研究自然數(shù)的構(gòu)成：將一個自然數(shù)寫成若干個較小的自然數(shù)之和，這個過程叫做數(shù)的分拆。其結(jié)論是極其復(fù)雜的。如：

5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1一般地，如果用p(n)表示整數(shù)n的加法表示種數(shù)，則它往往是一個很大的數(shù)。

P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=5,P(5)=7,P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,…，

P(100)=190,569,292（1億9千萬）

P(200)=3,972,999,029,388(4萬億)?？梢姡绻患右韵拗?，這樣的問題是復(fù)雜的，也是沒有太大意義的。于是，人們研究各種限制下的整數(shù)分拆問題。這類問題被華羅庚稱為“堆壘數(shù)論”。華羅庚這里面第一個問題就是分拆為方冪和的問題。1770年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange,1736—1813)證明了：

每個正整數(shù)都是不超過四個正整數(shù)的平方和，也是不超過九個正整數(shù)的立方和，還是不超過十九個正整數(shù)的四次方和。對于這種形式的分拆，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert,1862—1943)證得：

對任一正整數(shù)k，都存在一個正整數(shù)c(k),使得每個正整數(shù)都是c(k)個正整數(shù)的k次方和.但是，他并不知道c(k)的具體大小。對于偶數(shù)，一個明顯的分拆是可以寫成兩個奇數(shù)之和。而任意奇數(shù)都可以分解為若干個奇素數(shù)之積，因此可以肯定：每一個大于4的偶數(shù)都是“若干(m)”個奇素數(shù)的積加上另外“若干(n)”個奇素數(shù)的積。這里的“若干(m或n)”都可以限制為1,即“n>2時，2n=p+q,其中，p,q是素數(shù)”問題:這里的“若干”能不能有個限度。哥德巴赫經(jīng)過大量的驗算后猜想：Goldbach

猜想2哥德巴赫（C.Goldbach，1690--1764）是德國數(shù)學(xué)家，畢業(yè)于哥尼斯堡大學(xué)。他本來是住俄羅斯的一位公使，業(yè)余時間研究數(shù)學(xué),后任圣彼得堡科學(xué)院教授、院士。從1729年起，哥德巴赫和瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉經(jīng)常通信討論數(shù)學(xué)問題，這種聯(lián)系長達(dá)35年之久。公元1742年6月7日，住在圣彼得堡的哥德巴赫在給歐拉的信中提出：“我不相信關(guān)注那些雖沒有證明但很可能正確的命題是無用的。即使以后它們被驗證是錯誤的，也會對發(fā)現(xiàn)新的真理有益。比如費馬的……。我也想同樣冒險提出一個猜想：如果一個整數(shù)可以寫成兩個素數(shù)的和，則它也是許多素數(shù)的和，這些素數(shù)像人們所希望的那么多，……?？磥頍o論如何，任何大于2的數(shù)，都是三個素數(shù)的和（注：當(dāng)時認(rèn)為1也是素數(shù)）。例如：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3；5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1”同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中指出“每一個大偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和，雖然我不能完全證明它，但我確信這個論斷是完全正確的?！薄懊恳粋€大于或等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和?！备绲掳秃詹孪朊恳粋€大于或等于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。簡稱（1+1）：“1”個素數(shù)加（+）“1”個素數(shù)；觀察以上兩句話，我們會發(fā)現(xiàn):第一句是基本的，第二句可以由第一句導(dǎo)出。這第一句話就是后人所稱的哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想引起了眾多數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者的極大興趣，但它的證明極其困難，直到19世紀(jì)末的160年間，沒有取得實質(zhì)性進(jìn)展。毫無疑問，證明或否定哥德巴赫猜想，是對歷代數(shù)學(xué)家智慧與功力的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。它的魅力就在于：簡單而艱深!Goldbach

猜想的研究31.研究方向：蘭道的方向：1912年，德國數(shù)學(xué)家蘭道在第五屆世界數(shù)學(xué)家大會上指出：即使要證明較弱的命題：“每一個大于4的偶數(shù)都是m（m是一個確定整數(shù)）個奇素數(shù)之和。”也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)力所不及的。18年后，一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明：這樣的m一定是存在的！這為人們提供了第一個研究方向。

因子哥德巴赫問題方向

先證明：對于某個具體的m,n,

每一個大于4的偶數(shù)都是不超過m個奇素數(shù)的積加上另外不超過n個奇素數(shù)的積，簡稱(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)

然后再一步一步地減小m,n,最后降到m=n=1時(2N=p1+q1)，就完成了證明。2.研究方法：篩法；圓法；三角和法篩法：這是一種由古老方法演變而來的數(shù)學(xué)方法，是迄今為止研究哥德巴赫猜想最為有效且獲得最好結(jié)果的方法。兩千多年前古希臘學(xué)者愛拉托士散納(Eratosthenes)創(chuàng)造了一種得到素數(shù)的方法：在紙上由2開始順次寫下足夠多個自然數(shù)，將其中2的倍數(shù)（當(dāng)然不包括2，下同）都劃掉，然后是3的倍數(shù)，5的倍數(shù)……如此往復(fù)，則最后剩下該范圍內(nèi)所有的素數(shù)。篩法就是以這種方法為基礎(chǔ)演化而來的。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100圓法：圓法是在20世紀(jì)20年代，由英國數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)與李特伍德(Littlewood,1885-1977)系統(tǒng)地開創(chuàng)與發(fā)展起來的研究堆壘素數(shù)論的方法.1923年，他們利用“圓法”及一個未經(jīng)證實的猜測——黎曼猜測證明了任一充分大的奇數(shù)都是三素數(shù)之和．圓法內(nèi)容比較復(fù)雜，此處不予介紹。三角和法：20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉托夫創(chuàng)造了一種“三角和法”。1937年，維諾格拉托夫本人利用“圓法”及他自己創(chuàng)造的“三角和法”基本上證明了“任一充分大的奇數(shù)都是三素數(shù)之和．”3.研究進(jìn)展：蘭道的方向：1930年,蘇聯(lián)25歲的數(shù)學(xué)家史尼爾勒曼證明了命題“每一個大于4的偶數(shù)都是m個奇素數(shù)之和”并估計這個數(shù)m不會超過800000.1935年m2208(蘇聯(lián)羅曼諾夫)1936年m271(德國海爾布倫,蘭道,等)1937年m267(意大利里奇)1950年m220(美國夏彼羅,瓦爾加)1956年m218(中國尹文霖)1976年m26(旺格漢)因子哥德巴赫問題先證明：對于某個具體的m,n,

每一個大于4的偶數(shù)都是不超過m個奇素數(shù)的積加上另外不超過n個奇素數(shù)的積，簡稱(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)

逐步縮小m,n,最后降到m=n=11920年，挪威數(shù)學(xué)家布龍率先證明了（9+9）;1924年，德國數(shù)學(xué)家雷德馬赫證明（7+7）；1932年，英國數(shù)學(xué)家埃斯特曼證明（6+6）；1937年，意大利數(shù)學(xué)家黎絲證明了(5+7）,(4+9)等；1938年和1940年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃先后證明了（5+5），（4+4）；1957年，我國數(shù)學(xué)家王元證明（2+3）；1962年，我國數(shù)學(xué)家王元與潘承洞證明（1+4）；1965年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維納格拉托夫等分別獨立證明了（1+3）；1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了（1+2）:

2n=p+q,或2n=p+q1q2至此，離哥德巴赫猜想（1+1）的證明只有一步之遙。陳景潤與Goldbach猜想4陳景潤其人陳景潤（1933—1996）中國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家1933年5月22日出生于福建省從小酷愛數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)刻苦，成績優(yōu)秀在高中時期，沈元老師教他數(shù)學(xué),沈老師向?qū)W生介紹了“Goldbach猜想”，并補(bǔ)充說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇冠，而Goldbach猜想是皇冠上的明珠?！标惥皾檶Ω绲掳秃盏难芯?966年5月，陳景潤經(jīng)過7個寒暑的艱辛研究，依靠他超人的勤奮和頑強(qiáng)的毅力證明了（1+2）：每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)加上另外不超過2個素數(shù)的積。他的論文手稿長達(dá)200多頁，沒有全部發(fā)表。經(jīng)過壓縮整理，1973年正式發(fā)表。這一研究成果在國際數(shù)學(xué)界引起極大反響，在國內(nèi)家喻戶曉。英國數(shù)學(xué)家哈伯斯坦姆與德國數(shù)學(xué)家李希特合著的數(shù)學(xué)專著《篩法》，原有10章，付印后見到陳景潤的論文，便加入了第十一章，章目為“陳氏定理”，并寫信給陳景潤，稱贊他說：“您移動了群山！”是的，“陳氏定理”離哥德巴赫猜想（1+1）的證明只有一步之遙了。雖然哥德巴赫猜想還沒有最終被證明，但是，在數(shù)學(xué)家們一次次的攻關(guān)過程中，產(chǎn)生了許多新方法、新理論。從這個意義上講，在向世界難題進(jìn)軍過程中所作的努力和嘗試所對數(shù)學(xué)的促進(jìn)與推動，其意義要大于難題的最終解決。zwj@第四節(jié)四色猜想繪制任一地圖，只要四種顏色就夠了！四色猜想（1852年——1976年）zwj@一個故事1國王的遺囑從前有個國王，他有五個兒子，臨終立下一條遺囑并留下一個錦盒：“我死后，請孩子們將國土劃分為五個區(qū)域，每人一塊，形狀任意，但任一塊區(qū)域必須與其它四塊都相鄰。如果在劃分疆土?xí)r遇到困難，可以打開錦盒尋找答案?！卞\盒中國王的親筆信：囑托五位王子要精誠團(tuán)結(jié)，不要分裂，合則存，分則亡。這個故事告訴我們在平面上要想使任一區(qū)域都與其它四個區(qū)域相鄰的五個區(qū)域可能是不存在的。四色猜想的來歷2四色猜想的來歷大約在1852年，英國FrancisGuthrie發(fā)現(xiàn)：繪制地圖，一般至少需要四種顏色。但不論多么復(fù)雜的地圖，只需要四種顏色就足夠了。FrancisGuthrie告訴堂兄FrederickGuthrie。FrederickGuthrie請教老師A.DeMorgan

(1806—1871)。A.DeMorgan在1852年10月23日寫信給英國三一學(xué)院的著名數(shù)學(xué)家W.R.Hamilton

(1805-1865),信中在介紹了四色猜想之后寫到：“就我目前的理解，如果四個區(qū)域中的每一個都和其它三個區(qū)域相鄰，則其中必有一個區(qū)域（下圖中的紅色區(qū)域）被其它三個區(qū)域包圍，因而任何第五個區(qū)域都不可能與它相鄰。若這是對的，則四色猜想成立。”DeMorgan還畫出了三個具體的圖形來說明上述理解，并說：“我越想越覺得這是顯然的事情。如果您能舉出一個簡單的反例來，說明我像一頭蠢驢?！?/p>

Hamilton為此努力了13年，未果而終（死）。1878年6月13日，英國數(shù)學(xué)家A.Cayley(1821-1895)在倫敦數(shù)學(xué)會正式提出四色猜想。1879年，他又向英國皇家地理學(xué)會提交一篇“關(guān)于地圖染色”的短文，該文刊登在該學(xué)會會刊創(chuàng)刊號上，公開征求對四色猜想的解答。該文肯定這個問題是由已故數(shù)學(xué)家A.DeMorgan提出的，并指出了解決四色猜想的困難所在。Cayley的論文引起了人們的重視，四色猜想因此才廣泛流傳開來。哈密頓﹐W.R,(Hamilton﹐WilliamRowan)1805年8月4日生于愛爾蘭都柏林；1865年9月2日卒于都柏林(Dublin)。力學(xué)﹑數(shù)學(xué)﹑光學(xué)。凱萊﹐A.(Cayley﹐Arthur)1821年8月16日生于英國薩里的里士滿；1895年1月26日卒于英國劍橋。數(shù)學(xué)﹑天文學(xué)?？掀盏摹白C明”3最先聲稱證明了四色猜想的是英國律師肯普。肯普年輕時曾拜數(shù)學(xué)家Cayley為師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他閱讀了Cayley“關(guān)于地圖染色”的論文，并認(rèn)真研究了Cayley所指出的證明困難所在，試圖用一“退”一“進(jìn)”的思想來克服這一困難。所謂“退”，就是設(shè)法從n個國家（區(qū)域）的地圖中去掉一個區(qū)域，使之化為具有n-1個區(qū)域的地圖。所謂“進(jìn)”，就是如果對具有n-1個區(qū)域的地圖可以用四色染色，進(jìn)而證明，再添加所去掉的區(qū)域后的n個區(qū)域的地圖也可以用四色染色。在Cayley提出四色猜想的當(dāng)年，即1879年，肯普就聲稱證明了四色猜想。他的證明雖然11年后被人發(fā)現(xiàn)有漏洞，但卻是富有啟發(fā)性的。其成功之處在于他提出了“正規(guī)地圖”，證明了任一地圖均可以修改為正規(guī)地圖，而不需增加制圖色彩。指出了任一正規(guī)地圖都必然有的四種“不可避免組”（如下頁圖）。四種“不可避免組”希伍德的重要發(fā)現(xiàn)：五色定理的證明4

在肯普“證明”四色猜想11年以后的1890年，年僅29歲的英國青年數(shù)學(xué)家希伍德（P.J.Heawood,1861--1955）在《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》上發(fā)表題目為“地圖染色定理”的論文，指出了肯普在1879年所給證明中的錯誤。同時，希伍德利用肯普的證明思想，成功地證明了五色定理：

五色定理：

任何地圖都可以用五種顏色正確染色希伍德關(guān)于五色定理的證明并不困難，除了使用肯普的證明思想外，歐拉公式是一個重要工具。

歐拉公式:對于任一給定的多面體或平面地圖，其面數(shù)f、邊數(shù)e和頂點數(shù)v

有下列關(guān)系：五色定理的證明要點：一個概念：

正規(guī)地圖——任一頂點處相交的區(qū)域數(shù)恰為三個的地圖。五色定理證明步驟：（1）任一地圖均可以修改為正規(guī)地圖，而不需增加制圖色彩。因此，只需對正規(guī)地圖證明五色定理即可。（2）在任一張正規(guī)地圖中，必有一個區(qū)域的頂點數(shù)（邊界數(shù)、相鄰區(qū)域數(shù)）不超過5（四種“不可避免組”）證明：事實上，如果區(qū)域數(shù)本身少于6，則結(jié)論自然成立。一般情況下，記fk為邊界上恰有k個頂點的區(qū)域數(shù)（面數(shù)），則區(qū)域總數(shù)為容易知道，邊界上有k個頂點的區(qū)域有kfk條邊界，而每條邊界都由兩個國家共用，每個頂點都由三個國家共用。從而，邊界總數(shù)e、頂點總數(shù)v必滿足

根據(jù)歐拉公式和上述三式可以看出：即

整理得上式左邊，故至少有一個結(jié)論得證。

（3）對正規(guī)地圖中所含區(qū)域（國家）的個數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明五色定理。

當(dāng)國家數(shù)f=2,3,4,5時，結(jié)論是自明的。假設(shè)當(dāng)fk

時五色定理成立，即對國家個數(shù)不超過k的地圖，可以用五種顏色正確著色。我們證明，當(dāng)f=

k+1時，也有同樣結(jié)論。根據(jù)（2），這樣的地圖必有一個邊數(shù)不多于5的國家。我們只考慮這樣的一個國家的邊數(shù)為5的情況。（其他情況更簡單，證明從略）設(shè)A是這樣的一個國家，考慮與A相鄰的國家的情況。關(guān)鍵證明斷言：與A相鄰的國家中，必然有兩個國家是互不相鄰的。事實上，由于是正規(guī)地圖，任一頂點處相交的國家數(shù)為3，通過分析不難發(fā)現(xiàn)，與A相鄰的國家情況，不外乎下圖中的三種之一。

圖1是A的鄰國中有一個國家（圖中黃色的國家）與A有兩條公共邊界，此時a國與b國是不相鄰的；圖2是A的鄰國中有兩個國家（圖中的黃色與綠色國家）在另一不同的邊界相交，此時亦有兩個國家，a國與b國，是不相鄰的；圖3是最簡單的一種情況，A有五個互不包含的鄰國，顯然，此時a國與b國也是不相鄰的?，F(xiàn)在，我們把這張地圖中a、A、b三國合并成一國，這構(gòu)成了一個只有k-1個國家的正規(guī)地圖，按照歸納假設(shè)，是可以用五色繪制的。（如下圖4、5、6）由于A的邊界只有5條，其鄰國也最多有5個，現(xiàn)在合并掉兩個后，還剩下最多3個鄰國，因此，在A及其鄰國處只須4種顏色就夠了?，F(xiàn)在，再把a(bǔ)、A、b三國恢復(fù)，a、b國保持原有顏色，而將A涂上第5種顏色，這樣這個具有k+1個國家的地圖也可以用5種顏色繪制了。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對所有地圖，五色定理成立。不可小看的四色猜想5五色定理的證明，給了人們很大信心，當(dāng)時許多人都認(rèn)為四色猜想是一個簡單的問題。比如，當(dāng)消息流傳到俄羅斯時，愛因斯坦的數(shù)學(xué)導(dǎo)師、著名數(shù)學(xué)家Minkovski(1864-1909)就認(rèn)為這是一個顯然的問題。他一次在課堂上偶然提到這個問題時說道：“地圖著色問題之所以一直沒有解決，是因為沒有第一流的數(shù)學(xué)家來解決它?！苯又?，他胸有成竹地拿起粉筆在黑板上推導(dǎo)起來，結(jié)果卻沒有成功。他極不甘心，下一節(jié)課又繼續(xù)嘗試，依然沒有進(jìn)展。一連幾天如此，都是毫無結(jié)果。有一天，天下大雨，他剛跨進(jìn)教室，疲倦地注視著依舊掛著他的“證明”的黑板，正要繼續(xù)他的推導(dǎo)時，突然雷聲大作，震耳欲聾。他突然醒悟，馬上愧疚地對學(xué)生說，這是上天在責(zé)備我狂妄自大，我解決不了這個問題。從此以后，人們才真正認(rèn)識到四色猜想是不可小看的。四色猜想成為近代數(shù)學(xué)三大難題之一。閔科夫斯基(Minkowski﹐Hermann)1864年6月22日生于俄國阿列克索塔斯(今屬立陶宛)；1909年1月12日卒于德國格丁根。四色猜想證明的進(jìn)展6

進(jìn)入20世紀(jì)以來，人們一直在不斷地研究四色猜想，也取得了一定成就。1913年，哈佛大學(xué)教授伯克霍夫給出了檢查大的構(gòu)形的可約性的技巧；1920年，F(xiàn)ranklin證明當(dāng)國家個數(shù)不超過25個時，四色猜想是正確的；1926年，雷諾茲進(jìn)一步證明當(dāng)國家個數(shù)不超過27個時，四色猜想是正確的；1936年，

Franklin再次把國家個數(shù)擴(kuò)大到31個；1940年，Winn把國家個數(shù)擴(kuò)大到35個；1968年，挪威數(shù)學(xué)家O.Ore又把國家個數(shù)擴(kuò)大到40個；1975年，國家數(shù)提高到了52個。但這離關(guān)于所有地圖都成立的四色猜想的解決還是遙遙無期。四色定理機(jī)器證明引起的爭論與困惑7四色猜想難在哪里？難就難在要解決四色猜想，要做出大約兩百億次邏輯判斷。而一個人即使每秒鐘做一次邏輯判斷，他要工作將近700年，才能完成這些判斷?？梢姡绻麤]有超智慧的理論突破，單靠一個人的力量是不可能解決這一問題的?？掀盏乃枷?，加上計算機(jī)的加盟，給四色猜想的解決帶來了曙光。1976年9月，美國數(shù)學(xué)會主辦的《美國數(shù)學(xué)會通訊》上載文宣布，美國Illinois大學(xué)的兩位數(shù)學(xué)家K.I.Appel和W.Haken，根據(jù)肯普的證明思想，利用3臺IBM360型超高速電子計算機(jī)，耗時約1200小時，終于證明了四色猜想（全文發(fā)表在次年9月的《IllinoisJ.Math.》V.21上）。這一成就震驚了整個數(shù)學(xué)界，影響到全社會。當(dāng)天，Appel所在的厄巴納郵局為了紀(jì)念這一創(chuàng)舉與成功，特別在郵戳上加蓋了FourCoulorsSuffice

四色猜想的機(jī)器證明開辟了數(shù)學(xué)證明的廣闊前景：人類提供思想，計算機(jī)提供計算與判斷，是理論方法與實驗方法完美結(jié)合的一個典范。這一證明，意義重大，它說明，機(jī)器不僅可以進(jìn)行計算，也可以進(jìn)行推理。目前，我國數(shù)學(xué)家吳文俊、張景中等已經(jīng)系統(tǒng)地建立了機(jī)器證明的理論方法，并成功地解決了許多問題。但同時也有不少人對四色猜想的機(jī)器證明提出異議：一是程序難以檢驗，二是錯誤無法識別。1985年1月，有人找出了上述機(jī)器證明中的一個錯誤，全美數(shù)學(xué)大會宣布他們的證明錯誤。但后來這一錯誤得到修復(fù)，四色猜想是正確的。盡管如此，四色猜想能否用邏輯演繹方式而非機(jī)器來加以證明，至今仍是一個值得研究的未解之謎。結(jié)束語六個著名數(shù)學(xué)問題，跨越2000多年，傾注了無數(shù)數(shù)學(xué)家的心血。有些已經(jīng)解決，有些尚未解決。有些有明顯的應(yīng)用價值，有些卻看不到直接的應(yīng)用前景。但是它們的確是數(shù)學(xué)問題的一個縮影，反映了數(shù)學(xué)問題的共同特征：在多數(shù)情況下，在向世界難題進(jìn)軍過程中所作的努力與嘗試，所產(chǎn)生的思想與方法等，這些對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)與推動，其意義要大于難題本身的意義和難題的最終解決。zwj@第五節(jié)七個千禧年數(shù)學(xué)難題之Poincare猜想第五節(jié)七個千禧年數(shù)學(xué)難題

（2000年5月24日：巴黎）ClayMathematicsInstitute

1.Riemann猜想（Riemann假設(shè)）

Riemann猜想與素數(shù)有關(guān)。早在古希臘時期，歐幾里得就巧妙地證明了：素數(shù)有無窮多個。但是這些素數(shù)的存在有一個固定的模式嗎？十九世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家黎曼(BernhardRiemann,1826—1866)提出猜想：素數(shù)不僅有無窮多個，而且這無窮多個素數(shù)以一種微妙和精確的模式出現(xiàn)。Riemann猜想的具體表述依賴于黎曼函數(shù)：

多項式函數(shù)有兩種表示方法，即

P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

和

P(x)=an

(x-x1)(x-x2)…(x-xn)。

仿照多項式情形，歐拉把黎曼函數(shù)表示為無窮乘積的形式：黎曼又把它開拓到整個復(fù)數(shù)平面，成為復(fù)變量s的函數(shù)，這包含了非常多的信息，當(dāng)然它包含了所有素數(shù)的信息。正如多項式的情形一樣，函數(shù)的信息大部分包含在其零點的信息當(dāng)中，因此，黎曼函數(shù)的零點就成為大家關(guān)心的頭等大事?？梢灾?，黎曼函數(shù)在負(fù)偶數(shù)–2,-4,-6,…等處有零點，人們稱這些為“平凡零點”。Riemann猜想是關(guān)于黎曼函數(shù)的非平凡零點的特征的，具體講為：

Riemann猜想（1859年）黎曼函數(shù)的所有非平凡零點的實部等于1/2，即滿足

0

1/2

1平凡零點:-2,-4,-6,….無零點復(fù)平面ImRe無窮多零點黎曼﹐G.F.B.,(Riemann﹐GeorgFriedrichBernhard)1826年9月17日生于德國漢諾威的布雷斯塞倫茨(Breselenz)；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡(Selasca)。2.Poincare猜想

已經(jīng)解決了龐加萊(Poincare)猜想任何單連通的三維流形（正如我們所在的宇宙空間）一定是一個三維球面。

3.P問題對NP問題

這個問題與哲學(xué)上什么是可知的，什么是不可知的問題密切相關(guān),屬于計算復(fù)雜性理論。在一個盛大晚會上。你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識的人。你的朋友向